Ainsi qu'on l'a dit (§ 20), une suite infinie de nombres

(*') u,, it„ ..., «„, ...

est donnée quand on donne le moyen de calculer un terme quelconque connaissant son rang :

Supposons d'abord qu'un même nombre ne puisse figurer dans cette suite qu'un nombre fini de fois et remarquons que tel est toujours le cas des suites formées par les termes d'une série convergente, puisque les termes ont pour limite zéro quand leur rang augmente indéfiniment; on pourra dire que la suite infinie

est composée des mêmes nombres que la suite (it), rangés dans un autre ordre si tout nombre qui figure dans l'une des suites figure

dans l'autre suite, et cela le même nombre de fois. Cette notion suffit pour les séries convergentes.

Toutefois, on peut se placer à un autre point de vue et supprimer la restriction qui a été imposée à la suite (»,).

Soient i et j deux nombres entiers positifs quelconques : imaginons une loi de correspondance entre ces deux nombres telle que lorsque l'un des deux nombres est donné, l'autre le soit aussi; je suppose que la loi de correspondance soit univoque, c'est à dire qu'à chaque nombre entier positif i corresponde un seul nombre entier positif / et réciproquement; si j et j' correspondent à i et i', l'une des deux égalités

entraîne l'autre : par exemple, on peut supposer que si i désigne un nombre pair, son correspondant j soit le nombre impair i — 1, et que si i désigne un nombre impair, son correspondant j soit le nombre pair i -{- i.

On peut encore définir la correspondance de façon à se rapprocher du premier point de vue : la suite des nombres entiers 1, 2, 3, ..., n, ... rangés par ordre de grandeur constitue une suite infinie, à éléments tous distincts. Dès lors on conçoit sans peine une suite infinie composée de^ mêmes nombres entiers rangés dans un autre ordre, chaque nombre entier positif devant figurer dans cette suite à un rang unique et déterminé; si l'on considère deux telles suites

on pourra dire que deux termes i„, /„ de même rang sont deux nombres correspondants et l'on aura ainsi réalisé une loi de correspondance satisfaisant aux conditions imposées. Ceci posé, on dira que deux suites infinies

Mj, Wjj, ..., Itj-, ..., Vj, V„ ..., Vj, ...,

sont composées des mêmes termes rangés dans un ordre différent,

56 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

si l'on a h,- = Vj dès que les indices i, j se correspondent. On en dira aillant des deux séries

tfl + H.J + ... 4- II- + ...,

l\ + V.^ -h ... -\- Vj + ...

54. Si, maintenant, on suppose l'une de ces deux séries absolument convergente, il est aisé de voir qu'il en est de même de l'autre et que les deux sommes sont égales.

Supposons d'abord que la première série soit convergente et ait tous ses termes positifs : Soit A un nombre supérieur à sa somme S ; la somme d'autant de termes qu'on voudra, pris dans la première série (et par conséquent aussi dans la seconde) est inférieure à A ; donc, la seconde série est convergente, et sa somme est au plus égale à A ; soit a un nombre inférieur à S ; on pourra prendre dans la première série (et par conséquent dans la seconde) assez de termes pour que leur somme dépasse a ; donc la somme de la seconde série est supérieure à a; la somme de la seconde série, supérieure à tout nombre plus petit que S, inférieure à tout nombre plus grand que S est nécessairement égale à S.

Il suffit maintenant de se rappeler qu'une série absolument convergente est égale à la différence entre les sommes de deux séries à termes positifs formées, l'une avec les termes positifs de la série proposée, l'autre avec les valeurs absolues des termes négatifs, et d'observer que, en vertu du précédent raisonnement, les sommes de ces deux séries restent invariables quand on modifie l'ordre de leurs termes pour être bien assuré qu'on peut, sans changer la somme d'une série absolument convergente, changer l'ordre de ses termes.

On verra plus loin qu'il n'en est pas de même pour les séries qui ne sont pas absolument convergentes. Toutefois, même pour celles-là, il est clair que l'on peut changer l'ordre d'un nombre fini de termes, car alors, à partir d'un certain rang, les sommes des n premiers termes ne sont pas modifiées.

55. De même, dans une série convergente quelconque, on peut toujours remplacer un nomljre fini de termes par leur somme effectuée; ce théorème, pour les séries absolument convergentes, est

susceptible d'une grande extension; c'est la théorie des séries à double entrée qui va nous la fournir, toutefois une digression est nécessaire avant d'aborder ce sujet.

56. Concevons une table à double entrée comme la table de multiplication :

mais qui, limitée en haut et à gauche, présente une extension indéfinie à droite et en bas : elle comprend ainsi une infinité de files horizontales et de files verticales; chaque file comprend une infinité de cases.

On peut évidemment désigner chaque case par deux nombres entiers i, j dont le premier indique le rang de la file verticale, qui contient la case considérée, en comptant les files de gauche à droite, dont le second indique le rang de la file horizontale qui contient la case, en comptant les files de haut en bas. — On peut aussi numcroler les cases, comme on l'a fait dans la figure ci-dessus, au moyen d'un seul nombre entier; la loi qui a été adoptée n'a pas besoin d'explication; on aurait pu en adopter une infinité d'autres.

Concevons maintenant qu'on fasse correspondre au nombre entier n qui sert à numéroter une case dans ce second système, le groupe (i, j) de deux nombres entiers, qui désigne la même case dans le premier système; on aura réalisé im mode de correspondance univoque entre chaque nombre entier positif n et chaque groupe de deux nombres entiers positifs (i, j) ; en sorte que à chaque nombre entier positif corresponde un groupe de deux nombres entiers positifs, et un seul, et que, si les groupes (i, ,/), (î',/) répondent respectivement aux

58 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

entiers n, n', l'égalité ?r = n' entraîne les égalités i = i' , j =:j' et réciproquement.

Rien n'empêche même de supposer qu'on ait effiicé de la table un nombre fini ou infini de cases, en suivant telle loi que l'on voudra, pourvu qu'il en subsiste une infinité, ce qui revient à dire qu'on exclut un nombre fini ou infini de groupes (i, j) ; on pourra toujours réaliser de la même façon une correspondance univoque entre les entiers 1, 2, 3, ..., n, ...' et les groupes (i, j) où les symboles i, j doivent prendre séparément toutes les valeurs entières positives 1, 2, 3, ..., n, ..., excepté celles qui répondent à des combinaisons exclues. Par exemple, on peut exclure toutes les combinaisons où l'indice j surpasse un nombre entier donné k, ce qui revient à supposer que la table est composée de k files horizontales indéfinies. On fera alors correspondre chacun des nombres 1, 2, 3, ... à chacune des combinaisons {i,j), obtenues en donnant à i les valeurs 1, 2, 3, ..., n, ... et kj les valeurs 1, 2, 3, ..., k. Dans ce cas, on pourra, si l'on veut, faire correspondre à chaque couple {i, j) le nombre unique {i — i) k-i- j. Supposons, comme dernier exemple, que, après avoir numéroté toutes les cases au moyen de deux nombres i, /, on efface toutes les cases où les nombres i, j ne sont pas premiers entre eux et que l'on

remplace le symbole {i, j) par le symbole -. ? puis que l'on numérote,

en suivant une loi quelconque, les cases restantes au moyen des nombres 1, 2, 3, ...; on aura réalisé une correspondance univoquo entre chaque nombre entier positif et chaque nombre rationnel positif, résultat d'apparence un peu paradoxale, qui a été signalé pour la première fois par M. Cantor (').

Plus généralement, on peut établir une correspondance univoque entre chaque entier positif >i et chaque groupe de p nombres entiers positifs {i, j, k, ..., s), en sorte que, à chaque entier positif n corresponde un groupe déterminé (i, j, k, ..,, s) et réciproquement, et que, si n et n' correspondent respectivement aux groupes (i, j, k, ..., s), (i', /, A-', ..., s'), l'égalité n = n' entraîne les égalités

(') Acia Matheniatica, t. II, p. 306.

et réciproquement. Cette correspondance peut être établie, soit que dans le symbole (i, j, /r, ..., s) on doive donner séparément aux lettres i, j, fc, ..., s toutes les valeurs positives entières 1, 2, 3, ...; soit que l'on veuille exclure un nombre fini ou infini de combinaisons, les combinaisons conservées devant toutefois être en nombre infini. Pour le montrer, il suffit de remarquer que l'équation

où N est un nombre entier positif donné et où l'on regarde les lettres i, /, k, ..., s comme les inconnues, n'admet qu'un nombre fini de solutions en nombres entiers positifs; rangeons sur une ligne horizontale, dans un ordre déterminé quelconque, tous les groupes qui répondent à ces diverses solutions, sauf, s'il y a lieu, ceux qui doivent être exclus; par exemple, on pourra convenir que le groupe (i, /, A-, ..., s) précédera le groupe (i', /, A-', ..., s'), si l'on a. î >^ i' ; dans le cas où i =z i\ si l'on a j >- j' ; dans le cas où l'on Sii = i' , j =j' , si l'on a /c >► A;', etc.

Donnons à N successivement les valeurs p, p + i, p -h '2, ... : pour N = p, on aura un seul groupe (1,1,1,...,!), que l'on mettra le premier sur la ligne horizontale, on le fera suivre des groupes qui répondent à l'hypothèse N = p +1, rangés comme on vient de l'expliquer, ou tout autrement, puis on placei"a les groupes qui répondent à l'hypothèse N =p -t- 2, ...; tous les groupes possibles

(i,i,A:, ...,s) (izrz 1,2,3,..., i=l, 2,3,. ..,..., s = l,2,3,...)

seront ainsi rangés sur une ligne horizontale (sauf ceux que l'on aura voulu exclure), d'après une loi déterminée; il suffira maintenant de faire correspondre chaque groupe à son rang n, pour avoir réalisé la correspondance cherchée.

On voit tout ce qui reste d'arbitraire dans la façon dont on a procédé d'ailleurs, au lieu de l'équation

on aurait pu considérer toute autre équation, telle que

ijk...s = N, i' -i-f- + k' + ... + s'=N,

60 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

qui n'admet qu'un nombre limité de solutions positives entières quand on donne pour le second membre N une valeur positive entière, et dans laquelle le premier membre prend une valeur positive entière quand on donne de telles valeurs aux inconnues i, j, k, ..., s. Remarquons enfin que, de même que l'on peut exclure certains groupes {i, j, A-, ..., s), on peut aussi exclure un nombre fini ou infini de la suite 1, 2, 3, ..., pourvu qu'il en reste un nombre infini, et établir une correspondance univoque entre chacun des nombres entiers n non exclus et chacun des groupes (i, j, k, ..., s) non exclus.

57. Je rentre maintenant dans la théorie des séries. Soit donnée une suite infinie

on peut en faire une suite à double entrée,

■215 22' *••' ^'sn'

en établissant une correspondance univoque entre chaque entier positif n et chaque couple d'entiers positifs (i, j), et en convenant de prendre v^j = t(„ toutes les fois que n et {i, j) se correspondent. Inversement, si l'on considère l'ensemble des nombres v^j, où i et j doivent prendre séparément toutes les valeurs 1 , 2, 3, . . . , en excluant, si l'on veut, certaines combinaisons, on dira que- cet ensemble est donné si l'on donne le moyen de calculer le nombre v,„ connaissant les deux indices i, j. Un tel ensemble étant donné, on peut le transformer en une suite ordinan-e

au moyen de la même correspondance entre chaque entier positif n et chaque couple (i, j) et de la supposition u„ = r,^-, lorsque n et (t, j) se correspondent.

De même la suite simple dont le terme général est r«„, peut être transformée en une suite à triple entrée, dont le terme général

est Wj-yt, en établissant une correspondance entre chaque entier positif n et chaque groupe de trois nombres entiers positifs (i, J, /c), et en convenant de supposer iv^;. = i/„ toutes les fois que n et (i, j, k) se correspondent. On peut aussi effectuer la transformation inverse, etc. Je suppose maintenant que m,, u^, ..., i*„, ... soient les éléments d'une série absolument convergente

(3) i^i -f- Wj + ... + tt„ + ...,

dont on représentera la somme par V«„ = S, et que l'on ait rangé

ces nombres dans les cases d'un tableau à double entrée tel que le tableau (2), je vais montrer que les séries

sont absolument convergentes; que, si l'on représente leurs sommes respectives par s,, Sj, ..., s^,, ..., il en sera de même de la série

(o) Sj + Sj 4- ... + Sj, + ...

dont la somme est aussi S, en sorte que l'on aura l'égalité

ou, d'une façon plus condensée encore,

Réciproquement étant donné un tableau tel que (2), si on le transforme en une suite simple (1), si les séries (4) sont absolument convergentes, si, en désignant par Cj, a^, ..., Cp, ... les sommes des séries qui s'en déduisent en remplaçant chaque terme par sa valeur absolue, la série

62 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

est convergente, la série n^ + u^ + ... -h u„ + ... sera absolument convergente et l'égalité (6) subsistera. Ce théorème et la démonstration qui va en être donnée, s'étendent sans peine aux séries à triple, quadruple, ... entrée.

Remarquons enfin que, dans le cas où quelques-unes des combinaisons (î, j) auraient dû être exclues, on n'aurait qu'à supprimer les termes correspondants des séries (4).

Supposons d'abord que tous les nombres u et par conséquent tous les nombres v soient positifs. Il est clair alors que les séries (4) sont convergentes et que la somme de chacune d'elles ne peut dépasser la somme S de la série Wj + m^ + . . . ; désignons maintenant en général par s^"' la somme des n premiers termes de la série

et considérons la somme

Comme elle ne comprend qu'un nombre limité de termes de la suite (1), elle est inférieure à S; laissant p fixe, faisons croître indéfiniment n, s^"\ s["\ s^^^ tendront respectivement vers les sommes s^, Sj, ..., .Sj, des p premières séries (4); on a donc :

Sj + Sj + ... + Sp^ S

et cela quel que soit p ; cette inégalité montre que la série (5)

est convergente et que la somme de cette série est au plus égale à S. Soit maintenant a un nombre quelconque inférieur à S; on peut prendi-e dans la suite (1) assez de termes pour que leur somme soit supérieure à a, cela revient à dire que l'on peut prendre assez de termes dans les séries (4) pour que leur somme dépasse a, ou encore que l'on peut prendre n et p assez grands, pour que l'on ait

mais le premier memljre est évidemment inférieur à la somme de la série (5); donc, a fortiori, cette dernière somme est-elle supérieure

à a, OU à tout nombre plus petit que S, comme elle ne peut dépasser S, elle est égale à S.

Réciproquement, si l'on se donne le tableau (2) composé d'éléments tous positifs, si les séries (4) sont converg-entes, et s'il en est de même de la série (5) formée avec leurs sommes, la série (3) dont les éléments correspondent un à un aux éléments du tableau (1) sera convergente et aura une somme égale à celle de la série (5). En effet, la convergence de la série (3) est manifeste : la somme d'autant de termes que l'on veut s'obtient en ajoutant un certain nombre de termes pris dans les séries (4), or une somme ainsi formée ne peut dépasser la somme de la série (5) ; dès lors on peut appliquer le théorème direct et l'égalité entre les sommes des séries (3) et (5) en résulte.

Supposons maintenant que la série (2), tout en étant absolument convergente, contienne des termes positifs et des termes négatifs; si l'on remplace tous les termes par leurs valeurs absolues, le raisonnement précédent montre encore que les séries (4) sont absolument convergentes et qu'il en est de même de la série

formée avec leurs sommes respectives, car les termes de cette série sont inférieurs en valeur absolue aux termes correspondants de la série

(Tf) ' Cj + Cj + (Ta 4- ...

formée avec les sommes des séries déduites des séries (4) en remplaçant chaque terme par sa valeur absolue.

Ceci posé, la somme S de la série (3) est égale à la différence entre les sommes S' et S" de deux séries formées, l'une avec les termes positifs, l'autre avec les valeurs absolues des termes négatifs de la série (3); de même, les sommes Sj, s^, Sj, ... des séries (4) sont respectivement égales aux différences s,' — s", sJ — s", sJ — s,, ... entre les sommes des séries à termes positifs que l'on déduit de la même façon des séries (4). D'ailleurs, si du tableau (2) on supprime tous les termes négatifs, les éléments qui restent correspondront un à un aux termes positifs de la série (3), c'est à dire aux élémenls de la série dont la somme est S' ; en appliquant maintenant le théorème

qu'on vient de démontrer dans le cas des séries à termes positifs, un voit que l'on a

on aura de même

et par conséquent

ou enfin

S =:= Sj 4- Sj 4- S3 + ...

C'est ce qu'il fallait démontrer. Quant à la réciproque, énoncée plus haut, elle résulte du théorème direct, puisque, dans l'hypothèse où on se place, la série (3), dont les éléments correspondent aux éléments du tableau à double entrée (2), est absolument convergente, en vertu de la convergence de la série à termes positifs (7).

Sous les conditions imposées dans l'énoncé de cette réciproque, à savoir la convergence absolue des séries (4) et de la série (7) ; ou sous la seule condition de la convergence absolue de la série (3), il est permis de parler de la somme S des éléments du tableau (2), somme que l'on désigne sous le nom de série à double entrée, l'égalité (6) ou (6 his) montre comment on peut calculer cette somme; au surplus, il est clair que l'on aurait tout aussi bien pu écrire ^

2^'in+ •••=2 2^'"''

en effectuant d'abord les sommations des éléments contenus dans une file verticale, etc. La somme S de la série à double entrée se représente encore souvent par le symbole

On peut considérer de même des séries à triple entrée; soit lOy^. un symbole à trois indices ; le tableau à triple entrée formé par les éléments xv^jj. doit être regardé comme donné quand on donne le moyen de calculer le terme U',y;t., lorscju'on connaît les trois indices

i, j, k; l'ensemble des éléments peut être arrangé en une suite

simple ttj, 1*2, îij, ..., comme il a été expliqué précédemment; si la

série u^ + u^ -+- u^ + ... est absolument convergente et a pour somme S, on aura

les sommations peuvent d'ailleurs être effectuées dans un ordre quelconque; au surplus, la façon détaillée dont on a traité le cas des séries à double entrée permettra au lecteur de constituer sans peine la théorie des séries à entrée multiple. Je me bornerai à donner quelques applications relatives aux séries à double entrée.