Supposons que l'on ait
et que les deux séries
(&) bi + &j + ^3 + ...,
soient absolument convergentes : désignons-en les sommes par A et B ; il est aisé de voir que l'on a
'^v,j = ^a,'^hj = kB;
supposons d'abord que tous les nombres a, b soient positifs, les séries (4), si l'on conserve les notations du paragraphe précédent, sont évidemment convergentes et l'on a
Sp = V v^. = ciph^ + a^6, -\- a^&3 + ... := a^B,
par conséquent
Sj + S.J + S3 + ... = «iB + «jB + «jB ...,
ce qui montre que la série qui figure au premier membre est conver- Tannery. — Théorie. 5
6G THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
gente el a pour somme
(«1 + a, + «3 + ...) B — AB.
Si les deux séries (a), (b), supposées toujours absolument convergentes, contiennent des termes positifs et des termes négatifs, on voit de suite, en conservant toujours les notations du paragraphe précédent, que les séries (4) et (7) sont absolument convergentes : il suffit, pour le voir, de supposer qu'on remplace tous les nombres a, b par. leurs valeurs absolues : en sorte que, en employant le langage qui a été expliqué plus haut, on peut dire que la série à double entrée
est absolument convergente; dès lors les égalités
s, + s, + §3 + ... = AB,
subsistent évidemment.
Si maintenant on transforme la série à double entrée en une série simple, par le procédé qui a été expliqué précédemment, en rapprochant tous les termes dans lesquels la somme des indices est constante, on en conclut que la série,
(I) a^^b^ + aj}.^ -\- a.,h^ + a, 63 + a^b^ + aJ)^ 4- ...
est absolument convergente et que sa somme est égale à AB.
Si, d'ailleurs, au heu de la série (I), on considère la série (II), dont le (?2 — l)'^'"nerme est
(II) «i?>H-i + «o&«-2 + ... + a„i &i,
on voit, d'après une remarque faite à la fin dii paragraphe 41, que cette série est convergente et a la même somme que la série (I). On a donc le théorème suivant :
Si les deux séries
sont aljsolumcnt convergentes, il en est de même de la série dont les
termes successifs sont
a^h,i.i 4- aJjn--2 + .•• + «n-i tj, ...
et la somme de cette dernière série est le produit des sommes des deux séries proposées.
59. Voici une autre application, qui fournira la démonstration d'une curieuse et importante identité numérique due à Euler (i) et qui montrera la puissance de transformation du procédé qui consiste à changer une série simple en série à double entrée.
La suite des nombres entiers 2, 3, 4, ..., peut être disposée dans un tableau à double entrée, par le procédé suivant, que le lecteur saisira sans peine, s'il veut bien se reporter à la règle que l'on donne dans les traités d'arithmétique, pour la formation d'une table de nombres premiers.
Supposons d'abord écrite la suite indéfinie
Imaginons qu'on place, sur une première ligne horizontale, tous les nombres pairs 2, 4, 6, ..., que l'on barrera en même temps de la suite (1), puis que, pour placer sur la seconde ligne horizontale, on prenne dans la suite (1), à partir du premier nombre non barré 3, tous les nombres de trois en trois, sauf ceux qui ont été déjà barrés, en sorte que cette seconde ligne contienne tous les nombres impairs divisibles par trois,
que ces nombres soient barrés de la suite (1) ; que, pour placer sur la troisième ligne, l'on prenne dans la suite (1) à partir du premier nombre non barré 5, tous les nombres de cinq en cinq, sauf ceux qui ont déjà été barrés, et que, en même temps, on les barre dans la suite (1), on aura ainsi pour la troisième ligne les nombres
etc.
(1) Introductio in analysin injinitonmi, § 283; voyez aussi B, Rkmann's ]]'erke, p. 136: Veber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebene Grosse.
68 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
Le premier élément de chaque ligne horizontale est un nombre premier j)', tous les éléments de cette ligne sont divisibles par ce nombre premier p et, si on les divise par ce nombre, on aura pour quotients ceux des nombres de la suite 1, 2, 3, ... qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers inférieurs à p ; ainsi les éléments de la première ligne divisée par 2 seront les nombres 1 , 2, 3, ... ; les éléments de la seconde ligne divisés par trois seront les nombres impairs, ceux de la troisième ligne divisés par 5 seront les nombres premiers à 2 et à 3, etc.. On peut dire encore que les éléments de chaque ligne, divisés par le premier élément, sont les nombres qui subsistent dans la suite 1,2,3,... lorsqu'on en a supprimé tous les nombres contenus dans les lignes précédentes.
Ceci posé, soit r un nombre positif plus grand que un, affectons tous les éléments de la suite 2, 3, 4, ..., etc., du tableau à double entrée de l'exposant — r ; soit enfin
Le second membre est, comme on sait, une série convergente et l'on a défini, dans ce qui précède, un mode particulier de transformation en série à double entrée de la série
Faisons les sommes des séries partielles répondant à chaque ligne horizontale du tableau, et désignons en général par s^ la somme des éléments de la ligne qui commence par le nombre premier p, et par p' le nombre premier immédiatement inférieur k p; la loi d'après laquelle on a formé le tableau fournit immédiatement les égalités
suivantes :
«i.= ^(s — s, -s,— ... — Sy),
d'où l'on déduira sans peine
s — s, — S3 — s, — ... — SP' = p'Sj,
lorsque p augmente indéfiniment, la somme s^ + s, + s^ -f- ... s^,
a pour limite la somme s — 1 de lar série rT + ô" "^ F "^ •••' ^®
