S'' AT

premier membre de la dernière égalité a donc pour limite l'unité;

par conséquent le produit infini

où figure, dans les dénominateurs, la suite des nombres premiers, a pour valeur l'inverse de la somme de la série

où figure, dans les dénominateurs, la suite des nombres entiers.

60. Ce qui précède suffit pour que l'on comprenne le rôle que les séries absolument convergentes jouent dans l'analyse, à cause de la façon dont on peut les manier et les transformer; il en est tout autrement des séries qui sont convergentes sans l'être absolument; leur somme dépend alors essentiellement de l'ordre des termes.

Soit (S) en effet une telle série ; soient s^ la somme des p premiers termes positifs, s^ la somme des valeurs absolues des q premiers termes négatifs ; la série n'étant pas absolument convergente, on doit supposer que s^, s^ augmentent indéfiniment avec p et g ; la série étant convergente, on doit supposer que les termes ont pour limite zéro quand leur rang augmente indéfiniment : dans ces conditions je vais montrer que la limite de la différence s^ — s^ dépend essentiellement de la façon dont on fait croître p et q, et qu'on peut faire croître ces deux nombres de façon que la différence s^ — s^ ait pour limite tel nombre a que l'on voudra.

En effet, à chaque nombre q correspond un nombre p, tel que

l'on ait

Sp > s, -H a ^ .Sp,, ou

.s^, — Sg> a^ Sp i — s,/, la différence

^p — ^, — {Sj, - l — Sç) = S„ — Sp i,

est un terme de la série qui tend vers zéro lorsque q, et par conséquent p, augmente indéfiniment : il faut donc que, dans ces conditions,, les deux nombres s^ — s^, .Sj,i — s^ aient a pour limite.

On peut encore présenter les choses comme il suit : Écrivons d'abord les premiers termes positifs de (S), dans l'ordre où ils se présentent, et arrêtons-nous dès que leur somme dépasse a; écrivons à la suite les premiers termes négatifs de (S), sans changer leur ordre, et arrêtons-nous dès que la somme de tous les termes écrits est inférieure à a ; écrivons à la suite des termes positifs de (S), en commençant par le premier de ceux qui ont été négligés, et arrêtons-nous dès que la somme de tous les termes écrits est supérieure à a; recourons ensuite aux termes négatifs, etc.. En continuant ainsi indéfiniment, on formera une nouvelle série, composée des mêmes termes que (S) et dans laquelle la somme des n premiers termes est tantôt plus petite, tantôt plus grande que a; on voit sans peine que cette somme lorsque n augmente indéfiniment, a a pour limite.

61. L'intérêt qui s'attache aux séries à termes positifs, se retrouve dans les produits infinis

(P) (1 + n,) (1 + iQ ... (1 + n„) ...

pour lesquels tous les nombres rti, u^, ..., u„, ... sont positifs. Il est aisé, tout d'abord, d'avoir la condition de convergence d'un tel produit ; le produit

2^n = {l + H,)(l + iQ ... (1 + «J

des n premiers facteurs va évidemment en augmentant avec n; il suffit, pour la convergence, qu'il n'augmente pas indéfiniment avec n ; or ce produit est évidemment supérieur à

Il faut donc que la somme s„ des n premiers termes de la série à termes positifs

ne croisse pas indéfiniment quand n augmente indéfiniment, ce qui revient à dire que la série (S) doit être convei-gente. Réciproquement, il est aisé de voir que, s'il en est ainsi, le produit (P) est convergent ; en effet si l'on se donne un nombre positif e -< 1, il existe un entier positif 71 tel que, quel que soit l'entier positif r, on ait

if„ + i + n„ + 2 + ... + u„+^ < e; on a d'ailleurs

P„ + r=P,, (1 + '««+0 (1 + ^<n + 2) ... (1 + Un + ,);

mais il est clair que l'on a

(1 + îf,+i) (1 + w«+2) ... (1 + n„ + ,.)

donc '• '

lors donc que r augmente indéfiniment, Pn+r reste au-dessous d'une limite fixe et par suite le produit P est convergent.

On pourrait encore, d'une façon plus directe, remarquer que l'on a

où K désigne un nombre quelconque supérieur à la somme de la série (S) : la série qui figure dans le second membre est toujours convergente, comme on le verra bientôt.

Les produits convergents à termes tous positifs tels que (P) jouissent de la propriété suivante, analogue à celle qui a été signalée § 50, pour les séries à termes positifs : si A et a désignent des nombres supérieur et inférieur à la valeur du produit, d'une part le produit d'un nombre quelconque de facteurs pris dans la suite

72 THÉORIE DES FONCTIONS d'UNE VARIABLE.

est toujours inférieur à A; d'autre part, on peut toujours prendre dans cette suite assez de facteurs pour que leur produit dépasse a ; on déduit de là, par un. raisonnement pareil à celui qui a été employé pour les séries, que la valeur du produit (P) est indépendante de l'ordre des facteurs.