Considérons maintenant un produit infini de la forme

où tous les nombres Mj, ttj, ..., u„, ... sont positifs. Je vais montrer que la convergence de la série

(S) «1 + U.i + ... + 'Un + •••

est encore la condition nécessaire et suffisante pour que le produit infini (P') soit convergent.

Je supposerai, dans la démonstration, que les nombres it^, t/^, ..., M„, ... sont tous plus petits qu'un nombre a -< 1 ; cette restriction sera levée plus tard.

En désignant parp,jle produit des ?i premiers facteurs de (P'), on aura

comme tous les nombres

1 — tfi 1 — u.^ 1 — w„

sont positifs; il faut et il suffit, pour que — tende vers une limite

quand n augmente indéfiniment, que la série à termes positifs (S') i h - — '— + ... + ^ + ...

1 — Wl 1 — H., 1 — «„

soit convergente; or les termes de cette série sont compris entre les termes de même rang des deux séries

Mj 4- Wj + ... + Un + ...,

qui sont convergentes en même temps (§ 44), et en même temps que la série S' , puisque la somme d'autant de termes que l'on voudra pris dans cette série est inférieure à la somme de la première série supposée convergente et supérieure à la somme des termes corres-

pondants de la seconde. Donc, pour que -7 tende vers une limite, ou

pour que pli tende vers une limite différente de zéro, quand n augmente indéfiniment, il faut et il suffit que la série (S) soit convergente : si cette série était divergente, pi aurait pour limite zéro. La valeur du produit infini

supposé convergent, étant indépendante de l'ordre de ses facteurs, il en est de même pour le pi'oduit

(I -tO(l-w.) ...(!-«„) -