Soit enfin un produit

pour lequel les nombres x\^ v^, ..., v„, ... peuvent être positifs ou négatifs, mais sont tels que la série

soit absolument convergente; je suppose de plus que tous ces nombres soient, en valeurs absolues, plus petits qu'un nombre positif a <: 1 ; si l'on désigne par Mj, u^^ ..., U;, ... ceux des nombres t'j, r,, ..., t)„, ... qui sont positifs, et par u[, w/, u'j ceux qui sont négatifs; les deux produits

(1 -hu,){l + u,) ...{[ +n,)..., (1 + u,') (1 +u',) ... (1 -hul) ...,

sont convergents et le second a une limite différente de zéro; un raisonnement pareil à celui qui a été employé pour les séries montrera que le produit des n premiers facteurs du produit infini Q, lorsque 71 augmente indéfiniment, a une limite égale au produit des valeurs des deux produits infinis qui précèdent (§ 50).

Enfin, on peut s'affranchir de la restriction imposée aux termes de la série

d'être, en valeur aJjsolue, plus petits que un, pourvu que cette série soit absolument converg-ente. A partir d'un certain rang n, en effet, les termes satisferont certainement à cette condition, on est donc assuré que le produit infini

est convergent et a une limite différente de zéro; soit T cette limite; le produit des m premiers facteurs du produit infini

(I +1^(1 + tg ... (1 + r„^,) ...,

lorsque m grandira indéfiniment, aura pour limite

Cette limite sera différente de zéro, si aucun des facteurs 1 + i-,, 1 4- r^, ..., 1 -+- v„ n'est égal à zéro.

On peut maintenant énoncer les définitions et les propriétés qui suivent :

Un produit infini

où les nombres Mj, it.,, ..., tf„, ... peuvent être positifs ou négatifs, est dit absolument convergent si la série

est absolument convergente.

Le produit des n premiers facteurs d'un produit absolument convergent tend, lorsque n augmente indéfiniment, vers une limite; cette limite est la valeur du produit; elle est indépendante de l'ordre des facteurs du produit infini ; elle est nulle si l'un de ces facteurs est nul, et seulement dans ce cas.

On voit que les produits absolument convergents sont maniables au même degré que les séries absolument convergentes.

64. On peut transformer un produit infini simple absolument convergent

(P) (H-tf,)(H-tO...(l +tO-,

en un produit infini à double entrée, en établissant une loi de correspondance entre chaque entier positif n et chaque couple (a, ^) de deux entiers positifs et en posant

quand n et (a, ^) se correspondent; les produits

P^={1 + Val) (l + t'a2) ..• (1 + Van) ...

sont absolument convergents et il en est de même du produit

dont la valeur est égale à celle du produit (P). On écrit cette proposition sous la forme

n (n-M„)= n II (i-t-i'ap)

Le lecteur établira sans aucune peine toute cette théorie ; il pourra s'exercer à l'appliquer à la démonstration de l'identité suivante, où q désigne un nombre plus petit que un en valeur absolue,

(l+g)(l+,')(H-,.)...(l+r)...= (,^)(^,^.)'.(^^,...).J c'est une conséquence facile d'une identité établie au paragraphe 42 (*).

65. En raison des propriétés des séries absolument convergentes, il est très utile de savoir décider si une série à termes positifs est, ou n'est pas, convergente. Je vais donner, dans ce but, les règles les plus simples et les plus usuelles.

Un premier procédé, celui dont dérivent d'ailleurs presque tous les

(') Celte identité signalée par Euler, daus \ Inti-odiictio in analysin infliiitomm (§ 326), intervient dans la théorie des fonctions elliptiques; voyez Jacobi : Ftmdmienta nova thtoria funclionvm ellipticarum (§36).

76 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

autres, consiste à comparer la série proposée

à une série connue

(U) tt, + Mj + ... + ^^„ + ...

Je suppose les deux séries à termes positifs : si la série (U) est convergente et que les termes de la série (V) ne dépassent pas les termes correspondants de la série (U), il est clair que la série (V) est convergente ; de même si la série (U) est divergente et que les termes de la série (V) soient plus grands que les termes correspondants de la série (U), il est clair que la série (V) est divergente.

Un moyen commode de faire la comparaison consiste à étudier le

rapport — de deux termes correspondants, si, à partir d'une certaine

valeur de n, ce rapport reste compris entre deux nombres positifs a et h, différents de zéro ; la série (V) sera convergente ou divergente en même temps que la série (U), puisque ses termes seront compris entre les termes des deux séries

aUi + aii^ + ... + au„ + ..., hu^ + bttj + ... + hu^ + ...,

convergentes ou divergentes en même temps que la série (U) ; on

voit de môme que si le rapport — reste inférieur à un nombre

"'« positif b, et si la série (U) est convergente, la série (V) est aussi

convergente ; si le rapport — reste supérieur à un nombre positif a,

différent de zéro, et si la série (U) est divergente, la série (V) est aussi divergente. Ce procédé s'applique particulièrement lorsque le rap-

port — a une limite, pour ?i infini : si cette limite l est différente de

zéro, et si l'on considère deux nombres a, h positifs et difTérents de zéro tels que l'on ait a <; ï <; ?>, à partir d'une certaine valeur de ?i,

le rapport — finira par tomber entre a et &; si la limite est nulle,

le rapport — finira par rester inférieur à n'importe quel nombre

positif b, etc.

Par exemple on a démontré (§ 49) que la série

était convergente pour p :> 1 ; il en résulte que si f{x) désigne un polynôme entier en x de degré p et qui n'admette pas de racine positive entière, la série

est absolument convergente (*), puisque le rapport — — - a, pour n

infini, une limite finie. De même la série

où 7.1, OL^^, ..., a„, ... désignent des nombres positifs ou négatifs, mais inférieurs en valeur absolue à un certain nombre positif K, est absolument convergente.

De la divergence de la série

on conclura de même la divergence de la série

a -h b a + 2b a + 36 a + nb

où a et b sont des nombres quelconques.