En comparant une série à termes positifs
(') Les termes linisseat par eleveiiir tous positifs, si lo coefficient de a? tlansfiir) est positif.
78 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
à une série dont les termes sont en progression géométrique, on arrive à deux règles d'un emploi très fréquent.
Vn + i
i° Si le rapport reste, à partir d'une certaine valeur de n,
plus petit qu'un nombre positif k, plus petit que l'unité, la série (V) est convergente; si ce rapport reste, à partir d'une certaine valeur de n plus grand que un, la série (V) est divergente.
2° Si, à partir d'une certaine valeur de n, l'expression Ç''v\ reste plus petite qu'un nombre k plus petit que un, la série (V) est convergente; si, à partir d'une certaine valeur de n, l'expression k tt„ reste plus grande que un, la série (Y) est divergente.
Si, en eflet, on a
i-„+i < kv„,
i\+2 <; ki'n+i < k-i\,
on voit que, à partir du terme i'„+i, les termes de la série proposée deviennent plus petits que les termes de la série
qui est convergente si /t est <; 1, et qui a une somme égale à
kv„
On voit donc non seulement que la série (V) est convergente, mais que le reste de cette série, quand on s'arrête au terme r„ (§ 43), est inférieur à
ki\
La conclusion est la même si l'on a
OU
t\ < k", i'„+i <; Pi" + \ ..., v„+r < k"+'-;
si k est plus petit que un, on peut affirmer que la série (V) est convergente, et que le reste de cette série, quand on s'arrête au k
terme v„, est inférieur à
sions -^^ ou K'i'„ restent, après une certaine valeur de n, supé-
La divergence de la série (V), lorsque ~ — ou k 'U„ restent supé-
rieurs à un est manifeste, puisque, alors, les termes n'ont pas pour limite zéro quand n augmente indéfiniment.
Ces règles s'appliquent en particulier lorsque l'une ou l'autre des
quantités -^ ? K i'„ ont une limite pour n infini ; si cette limite l est plus petite que un, le rapport -^ ou l'expression Vu,,, finit par rester au-dessous de tout nombre k compris entre l et un, et par conséquent la série est convergente. Si — — ? ou i/'i'», a une limite l
supérieure à un, on peut affirmer la divergence de la série (V) ; si cette limite est égale à un, il y a doute, excepté lorsque les expres-
Heures à un.
Si l'on considère, par exemple, les séries
(2)l + !i'x+"'(»'-^)x'+... + "'("'-['-^-"'7"+'>x-+..., où, pour la seconde, m est un nombre quelconque, le rapport du
{n + 1) '^™^ terme au précèdent sera - pour la première, x
pour la seconde; quel que soit x, - a. pour limite zéro quand n
augmente indéfiniment; le rapport de la valeur absolue d'un terme de la série (1) à la valeur absolue du terme précédent, a donc aussi
80 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
pour limite zéro; donc, la série (1) est absolument convergente, quelle que soit la valeur de x. Lorsque n augmente indéfiniment, le rapport des valeurs absolues de deux termes consécutifs de la série (2) a pour limite \x\ei par conséquent, lorsque x est compris entre — 1 et + 1, la série (2) est absolument convergente; lorsque la valeur absolue de x est supérieure à un, la série est divergente, puisque les termes ne tendent pas vers zéro, sauf toutefois quand m est un nombre entier positif, car alors la série est limitée; lorsque l'on a ce ^ ± 1, la série est divergente si yn + 1 est négatif ou nul, il y a doute si )H + 1 est positif.
On verra plus tard que pour x compris entre — 1 et 4- 1, la série (2) représente (1 + ic)"'.
Soit
une suite de nombre tous différents de zéro, dont la valeur absolue croisse indéfiniment avec n, la série
«j a% al
est absolument convergente quel que soit x; en effet, la racine n'^""*
de la valeur absolue du n'^"^" terme est
lorsque n augmente
indéfiniment, elle a pour limite zéro. De même la série
est absolument convergente pour toutes les valeurs de x différentes de «1, «2, ..., a„, ... (1). Si, en effet, on la compare à la série précédente, on voit que le rapport des valeurs absolues des termes de rang n est
dont la limite, pour n infini, est égale à un.
(') Weierstrass. Zw Théorie der eindeutigen analytischen Functionen, p. 2C.
CIlAl'. 11. — DES SKRIKS KT DI'IS l'I'.()m;iTS INFINIS. 81
Soit encore la série
où (I est un noiiit)re positif plus yi-jind que un et ./■ un n(nnl)re quelconque ('), la l'acine iV^"^" du n'""'^ terme est
ft " + ■' = — a"
(juanlité qui, pour ii inliui, a poui' liuiile /.éi"o; celle srrie esl donc convergente.
Des règles relatives aux rapi>orts — — et k i"„, l'une peut, dans un
cas particulier, être d'une application plus commode que Taulre, mais il convient d'observer que si ces quantités ont des limites /-, V pour n infini, ces limites sont nécessairement égales; cela résulte de l'application des deu.x règles à la série
i\x + v^x^ + ... + r^.r" + ..., on a en eftet
hm • — =: hm • .c = I .r,
lim iy7^> =z l'.r.
Si les nombres / et /' étaient dilférents et si l'on su|tposai) ./■ compi-is entre - et -■> l'une des règles prouverait la divergence de la série, l'autre sa convergence. On peut du reste prouver directement que l'existence d'une limite pour -^ implique l'existence d'une limite égale pour l'''n„ (-).
67. Le cas où dans la série à termes positifs (V) c, + c, + ... -t- r,, + ...;
(») Si X est irralionnL'i, on doit adoplor la siuiiiliralioii ijiii ijur les u.xposaiits iiTalionnels (§ 81). (-) Caiichy, Cours (l'Analyse, etc., p. SS.
Tan\erv. — Tliéorie.
82 TIIKORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
le rapport — — a, pour n iiilini, une limite éyale à l'unité mérite un
examen particulier; on peut alors comparer la série (V) à une autre série à termes positifs
(U) M, + Mj + ... + u„ + ...
où la même circonstance se produit, et dont le caractère est connu ; il peut être commode de faire cette comparaison au moyen du théorème suivant.
Soit
et supposons que s„ et •/;„ tendent vers zéro quand n augmente indéfiniment, les deux séries (U) et (V) seront simultanément convergentes ou divergentes, si la série dont le n'^"^ terme est •/;„ — £„ est absolument convergente.
En effet les égalités (1) donnent
Un+1 II, \ l—rj\ l — tJ \ 1 — rj
La quantité -^ ayant zéro pour limite finit, à partir d'une
certaine valeur de n, par devenir plus petite que un en valeur absolue; rien n'empêche de supposer qu'il en est toujours ainsi, puisque, dans l'étude de la convergence d'une série, on peut faire commencer cette série au terme que l'on veut (§ 43). Dès lors, on voit que le second membre a, pour n infini, une limite différente de zéro, si la série
est absolument convergente; c'est ce qui aura lieu si la série (v3: — e.) + {-ri, — 3.) + ... + {r,„ — ej -^ ...
est elle-même absolument convergente, puisque le rapport des deux
termes du rang n, à savoir ? a, pour n infini, une limite égale
1 — 'On à un.
Dans ces conditions le rapport ""^ ayant, pour n infini, une limite
différente de zéro, les deux séries (U), (V) sont simultanément convergentes ou divergentes.
Remarquons en passant la proposition qu'on vient de démontrer. Si les deux suites infinies *
£,, Gj, ..., £„, ..., ■/],, '^.j, ..., •^„, ...,
ne présentent aucun terme égal à un ; si l'on a lim £„ := 0, lim •/;„ =2 0
et si enfin la série dont le ?i'^'"^ terme est | ■q,^ — e„ | est convergente, le produit infini
1 — •'îi 1 — •'Î3 1 — 'On
est convergent et a une valeur autre que zéro.
Appliquons maintenant la règle pour comparer les deux séries
(V), (U) qui vient d'être démontrée; en prenant pour la série (U)
la série
on aura
'i^ = (i + lV
le second membre, comme on le verra plus tard (§ 102), peut se mettre sous la forme
0(n) étant un nombre qui reste, en valeur absolue, quel que soit n, au-dessous d'un certain nombre positif fixe.
Vn + 1
Si la série (V) est telle que le rapport puisse se mettre sous la
84 THÉOlîlK DES FONCTIONS D'rNK VA lUA lîM!.
fonno
y. riaiil un ii(»iiil)i(' ('(iiisl.iiil plus i^r.ind (jiie un, ;■ riant un noni))!!'
conslaiil, ci Oi(/') une (jdaiititr (jui, (jucl (jiie soii r<^ l'cstc, en valeur
ahsdinc, aii-(loss()ns d'un cei-taiii noniljre positif lixe; ou pouria
pn'iidiY'
__ r 0 (n) r Oj (n)
n rr '" ?i n^-
G (n) Ôj (î?) 0« — ^« — -^^-i ^ '
or il suflit, ])our voir que la série dont le h"'"" terme est •/;„ — s,,, est alisolunicnt cnnvoi'Licnto, de la comparer à la séiàe dout le n''""'' terme
est --■> en désignant par [i un nombre ])lus grand que un, mais plus
\n'\\\ (|uc deux et que a. Cette dernière série est convergente {^ 49); les deux séz'ies (U), (V) sont donc simultanément convergentes ou divergentes et ce caractère ne dépend que du nombre r. On parvient ainsi à la règle suivante :
Si dans une série à termes positifs
le rapport peut se mettre sous la loi-me
/• étani un nundjre cuiisfani, a nii uomljre constant plus gi'and (]U0 un, cl 0 (n) une quantité qui, en valeur absolue, reste plus petite (pi'un nombre positif fixe, la série (V) sera convergente si l'on a >• >> 1. divergente si l'on a r ^ 1.
Remarquons que si l'on a r <:0, les termes de la série (V; vont en croissant indéfiniment, que si l'on a r = 0, ils tendent, pour /; infini, vers une limite différente de zéro, que si l'on a r :> 0, ils ont pour limite zéro. Cela résulte de ce que le terme v„ + i peut s'écrire
CITAP. Tf. — DHS SKniKS KT DKS PIIODUITS INFINIS. 85
(le ce que le produit iuliiii dont le n'^'"" l'acteur est
a une valeur, difïéreute de zéro, enfiu de ce que le produit des n premiers facteurs du produit infini
auynieiite indélinirnent avec n ou tend vers la limite zéro, pour n infini, suivant que r est nép;atif ou positif.
pji pailic'ulier, si le ra])|)ort -^^ peut se metti'e sous la forme
d'une fraction lalionnelle
71" + Al 91"-' + A^n'"-- -H ...
où le degré p et les coefficients A^, A.^, ..., a^, a,, ..., sont indépendants de ?î ; on voit de suite, en effectuant la di\isi(iu du numi''raleur l)ar le dénominateur et en calculant deux termes au quotient, que l'on peut prendre r^a^ — Ay et que la série proposée est conveigente si l'on a
Al — «1 + 1 < 0,
divergente dans les autres cas.
Ce théorème est du à Gauss (t).
Appliquons-le, comme Gauss l'a fait lui-même, à la séi'ie dite
(I-f-u-^-^O...il--
(' I Disquisitiones générales circa seriem infinitam : 1 ^ -^P ^ 4- « (« + 1) P CP 4- 1) . 4 a(a + l) (a + 2) p (p + 1) (P ^ 2) ,
[C. F. Gauss, Wcrkc, t. III, \<. 138.)
Jiypergéométriqiie :
où a, (3, Y désignent des nombres qui ne sont pas des entiers négatifs ; le rapport du (n + 2)'^"' terme au (n + 1 )'*■"« est
(g + n) (fi + n) (M + 1) (y + n)
pour n infini, il a £c pour limite; on en conclut que la série proposée est absolument convergente lorsque l'on a. \ x \ -<: i; on désigne habituellement la somme de cette série par le symbole
Si l'on suppose maintenante = 1, l'application de la règle qu'on vient de démontrer conduit aux résultats suivants :
Les coefficients augmentent indéfiniment en valeur absolue, avec leur rang, si l'on a g + fi — y — 1 >- 0.
Ils tendent vers une limite différente de zéro, si l'on a a + fi — Y — 1 = 0.
Ils tendent vers la limite zéro, si l'on a a + ^ — y — 1 <: 0.
La série, pour a? = i, est convergente si l'on a a + Ç» — -; -czO, et seulement dans ce cas.
Je me bornerai à remarquer sur la série F (a, ^, y, x), pour l'étude de laquelle je ne puis que renvoyer le lecteur à l'admirable Mémoire de Gauss (^), qu'elle se réduit à un polynôme entier en x quand l'un des nombres a, ^ est entier et négatif, et qu'elle se réduit à la série déjà considérée
m m(m — 1) „ în(w — l)...{m — n -+- 1)
'+ï^+^î:f-"+- + ^ — rwhi ■-''+■■■•
(M Cette série a été l'objet de travaux considérables, parmi lesquels je citerai ceux de M Kummer {Journal de Crelle, t. XV, p. 39), de Riemanu (Werke, p. 62), de .M. Schwarz (Journal de Crelle, t. LVI, p. 149), de M. Goursat {Annales de l'Ecole normale sniériewe, 2= série, t. X, supplément),
quand on y suppose j^ =: y, a = — în et qu'on y remplace x par — x.
68. Toutes les règles qu'on vient de donner pour reconnaître la convergence ou la divergence d'une série à termes positifs reposent au fond sui' la comparaison de la série proposée avec l'une ou l'autre des deux séries
(1) 1 + a; + cc^ 4- ... + ce" + ...,
je signalerai encore la règle suivante, due à Cauchy ('), dont la démonstration repose encore sur la considération de la série (2) : Étant donnée la série à termes positifs
(U) M, + Ko, + ... + ^^n + ...,
si l'on a, pour les valeurs de n supérieures à un nombre positif p,
k étant un nombre positif plus grand que un, la série (U) est convergente.
En effet l'inégalité précédente entraîne la suivante :
etc. On verra de même que si l'on a, pour les valeurs de n supérieures à p,
log —
log n
k' étant un nombre positif plus petit que un, la série (U) est divergente.
Tous ces exemples montrent de quelle utilité serait, pour des
recherches analogues, la connaissance d'autres types de séries auxquels
(1) Cours d'Analyse, clc, ]i. 137.
88 TIIKORIK r)E« FONCTIONS ij'UNE VARIAHLE.
on poiiii'.iil ((iiiiiiaivi- les s(''i-ios à Ici'inrs |i(isilits dmit n\i veiil coniuiîtie le cai'aclrrc .l'iii(li(in(M-ai quelqiu-s rrsiillats <liis à AJjel ( ' ' ci (jui coiitionneiil (railleurs comme cas liés jiarliciiliiTs les proposilinns du |)arai^ra))lie 40.
Soit
LUie série (jiii'l»nii(|iie à leriiies jtusilils; la sl-rie
où
.Sj =z ttj, Sj nr ■u^ 4- H,, ..., S„ = 1<, + H^ + ... + »„, ...
est convergente ou divergente en même temps que la série (U).
Si la série (U) est convergente, la série (U') l'est aussi, puisque ses termes sont plus petits que les termes correspondants de la série (U) respectivement divisés par ii^.
Supposons maintenant la série (U) divergente. La divergence de la série (U') va résulter du caractère général établi au paragraphe 45.
Considérons en effet la somme des /) ternies qui suivent le n''^"'% savoir
puisque l'on a
cette somme est plus grande que
n„ + , + ii„ + , + ... + U„+j, imaginons qu'on donne à n une valeur détermiuée; la série
'',, + 1 + v„ + .i + ... 4- u„ + ^, H- ... est divergente, on peut prendre }> assez grand pour que la somme de
(1) Sur les séries {Œuvres. 2« éil., I. II, p. 198).
CHAP. If. — DES SÉRIES ET DES PRODUITS INFINIS. 89
SCS p premiers termes dépasse tel nombre que lt)n voudra, et (Mi particulier le nombre u^ -+- ii, + ... + u„; dès lors la fraction qui lii^ure dans le second membre de l'égalité précédente sera supérieure
à -; il en sera ainsi de la somme des p termes de la série (U') qui
suivent le n"™'" ternie; la série (U') est donc divergente.
Il convient de remarquer que les termes de la série (U') décroissent bien plus rapidement que les termes de la série (U); la série (U') diverge en quelque sorte moins rapidement que la série (U); de la série (U') on peut déduire par le même procédé une série (U") qui diverge encore moins rapidement, etc.
Abel a montré en outre que, en supposant toujours la série (U) divergente, la série
H, II, u,,
où a est un nombre positif, est convergente.
Je remarquerai d'abord que si x et ))( désignent deux iKinibres positifs, dont le premier est inférieur à un, on a l'inégalité, ({ui sera établie plus tard -^ 10t>: :
on aura donc
.1 1 1 xi'„
d-'ÏÏ ' '^
et par conséqi
on en déduit siuis [icin
l'emier
le second nuMiibrc, cl pai- cDiisi-cpiciil I<> premier, est inférieur
90 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
et cela, quel que soit n; la série proposée est donc convergente quand x
est positif, et sa somme est inférieure à (1 -i — )— • Quand a est
négatif, la même série est divergente puisque ses termes sont respectivement plus grands que les termes correspondants de la série divergente (U').
Si l'on prend par exemple pour la série (U) la série évidemment divergente
on obtiendra, en appliquant les propositions précédentes, les résultats du paragraphe -49.
Si l'on prend pour la série (U) la série divergente
on en conclura que la série
nsl+''
général
est convergente pour a positif, divergente pour a nul ou négatif; le
lecteur verra (§ 104) que le rapport a pour limite l'unité quand
n augmente indéfiniment ; il en déduira que la série 1 1 1
2 (log 2)1+" 3 (log 3)'+^ n (log nf
est convergente pour a positif, divergente pour a nul ou négatif.
Je me contenterai de citer le résultat plus général qui suit, en renvoyant le lecteur, pour la démonstration et pour les conséquences, à la note d'Abel déjà signalée, au Mémoire de M. Joseph Bertrand sur les règles de convergence des séries à termes positifs {Journal de
Liouville, l'"'' série, t. VII, p. 35) ou au Traité de calcul différentiel et intégral du même auteur.
La série dont les termes successifs s'obtiennent en faisant n = 2, 3, 4, ... dans l'expression
n.log n.log^ n.log' n ... log"~' n [log" nY'^'^
est convergente si a est positif, divergente si a est nul ou négatif.
Dans cette expression log n désigne le logarithme népérien (§ 88) du nombre n, log^ n est mis à la place de log log n, de même log^ n est mis à la place de log log log n, etc.
69. Relativement aux séries qui sont convergentes sans l'être absolument, je me bornerai à établir quelques propositions dont la première concerne les séries à termes alternativement positifs et négatifs.
Une série à termes alternativement positifs et négatifs est convergente si la valeur absolue de chaque terme est plus petite que la valeur absolue des termes précédents et si, en outre, les termes décroissent indéfiniment en valeur absolue quand leur rang s'éloigne indéfiniment.
Cette proposition repose sur le lemme que voici :
Si a, &, c, ..., j, /c, l sont des nombres positifs rangés par ordre de grandeur décroissante, la quantité
a — h + c — ... ± j zf k ± l,
où les signes vont en alternant, est positive : on peut en effet l'écrire sous l'une ou l'autre des deux formes
suivant que le nombre des quantités a, ..., î est pair ou impair. Soit maintenant
1)2 TIIKOIS1I-; IlKS KONCTIONS J)'r.NK VAlilABLK.
la si'i'ic iiniiiosi'c, ni'i loiis les noiiilji'es ;<- suiil |io,'<ilir>; eloù Ton suppo^^e
Hj > H, >> 1^3 > ... >. l<„ > ...,
lim «„ z=z 0.
J)ési!4 lions par s„ la somme des n premiers termes u^ — it^ + . . . ± if„. Le leinme précédent donne immédiatement les inégalités
Les deux premières ont lieu quels que soient les nombres )?, p, q; les deux dernières supposent q-^- p; il suffit, pour vérifier ces inégalités, de former les différences Sj„4., — s^,, So.j — 8,^,, i^->q+i — •''i';,4-i- Les sommes à indices pairs
S^, .s',^, Sg, ..., .S^^,, ...
vont en cfoissant; elles restent inférieures à une somme (iiielcoiique d'indice impair «2,^ + 1; elles tendent donc, lorsque leur indice augmente indéfiniment, vers une limite A, pour laquelle on a, quels que soient P et r/,
les sommes à indices impairs
vont en décroissant et restent supérieures à une somiii<> (iiielconqiie d'indice pair Sg,^; elles tendent donc vers une limite B, poiu' laquelle on a, quels que soient p ei q,
