l > B > Soy

On n'a pas encore fait intervenir la condition ■ lim u„ :

elle conduit à la conclusion A m B; en effet ces deux nombres sont compris entre s^^, et s-,j,+ u dont la différence Uip + i peut être supposée aussi petite qu'on le veut.

Ainsi la série (U) est convergente : sa somme est plus grande

CHAI'. II. — DKS SKKIES KT DES PRODUITS INKIMS. 93

qu'une somme quelconque s.>p ù indice pair, plus petite qu'une somme quelconque .s.> ,^4.1 à indice impair. En prenant pour la .sonnne de la série la somme des n premiers termes, on commet une erreur en plus ou en moins, selon que le premier terme néglig-é est néfiatif ou positif et qui est moindre en valeur absolue que ce premier teiane négligé, puisque la somme de la série est comprise entre la somme des n premiers et celle des n + i premiers termes.

On aurait pu aussi élahlir la convergence de la série U en appliquant le caractère général Aw [laiagraphe 44; la somme des m Icrnies qui suivent le n'^"'" est en efl'et

la quantité entre parenthèses est positive, en vei1u du lemme, elle est moindre que ^(„^i, puisqu'on peut l'écrii'e

Un + l — («„ + . — «•«4-S + ... + Un + m)

et que, dans cette dernière expression, la (juantité euti-c ])arenthèses est positive en vertu du même lemme; la valeur absolue de la somme des 11} termes est donc moindre que h„+i, et cela quel que soit i» ; comme on peut, quel que soit le nombre positif s, piendre n assez grand pour que l'on ait

la convergence est démontrée.

Par exemplf^ la séi-ie

esl convergente sans l'être absolument. C'est une de ces séries don! la souune dépend de l'ordre dans lequel les termes sont écrils.

Voici un exemple de ce fait dont la raison a éié donnée au paragraphe 60. Si l'on pose

^■>„-ii = l -{-- + - -h ... +

94 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

on établira sans peine l'identité

San — 1 Sjn - (^Sa,, — ! — Son),

en faisant croître n indéfiniment, on voit que le premier membre a pour limite la moitié de la somme de la série proposée; c'est dire que cette somme est double de la somme de la série suivante, dont la convergence s'établit sans peine,

Il est clair qu'une série appartenant au type qu'on a défini dans ce paragraphe peut être absolument convergente, telle serait la série

que l'on obtient en faisant oc = — 1 dans la série déjà signalée

X x^ ce'

Il convient encore de remarquer que la règle précédente permet d'affirmer la convergence de séries qui ne satisfont aux conditions imposées qu'à partir d'un certain terme : on a vu en effet (§ 45) que les premiers termes d'une série n'avaient pas d'influence sur la convergence ou la divergence d'une série.

Si par exemple on considère la série

i-iy

l.Y i.2.Ye^+l)

obtenue en faisant x=: — 1 dans la série hypergéométrique F (a, ^, y, x), on voit que le rapport d'un terme au précédent,

liiiit, pour n suffisamment grand, par être négatif, donc les termes finissent par être alternativement positifs et négatifs; on sait qu'ils tendent vers la limite zéro si l'on a a + (3 — y — 1 <: 0, et l'on reconnaît sans peine qifà partir d'un certain rang ils décroissent constamment; on en conclut que sous cette condition la série est convergente ; elle n'est d'ailleurs absolument convergente que si l'on a a + [3 — Y < 0-

70. D'autres propositions, d'une nature un peu plus cachée, se déduisent d'un lemme dû à Abel (i), et que j'énoncerai après avoir fait la remarque presque évidente que voici :

Soit

A^x^ + A, ce, + ... H- A„a^„

une fonction linéaire des variables x^, x^, ..,, x„, dans laquelle les coefficients A,, Ag, ..., A„ sont positifs ou nuls; si l'on considère deux systèmes de valeurs des variables x„x^, ...,«„ d'une part, x\^x[^ ..., x'n de l'autre, tels que l'on ait

1 zz: \i '^a r^ 25 '••? "^n ■:=. "^nJ

on a

A^x\ -h A,x^ + ... + A^xl ^ A,cc, + A^cc^ + ... + A„a;„;

en effet la différence entre les deux membres, à savoir

A, {x\ — X,) + A, (4 — 5c,) + ... + A„ {xl — x„),

est évidemment positive ou nulle.

Voici maintenant en quoi consiste le lemme d'Abel : Soient y,, v^, ..., v„ n nombres positifs ou négatifs, a un nombre au plus égal au plus petit des nombres

A un nombre au moins égal au plus grand de ces mêmes nombres ; soient enfin £„ £„ ..., £„ n nombres positifs rangés par ordre de

(I) Recherches sur la série 1 + r a? H r—z — cc^ H ■ ^ ■ w^ + ...

{Œuvres, 2» éd., p. 222.)

U() TIlKUniE llES l'ONt/nONS n'r.NK VAlilAlîl.i:.

Lir.iiidciir ilrci'oissante, on aura

on cflVt la (|iiaiitil<'' iiitéi'nK''(liair(' pt'iit s'rciirc

£,S, + 3, v^, — sj 4- ... + s„(n„ - N„,)

l(^s coeflicicnls s, — s,, s, — e^,, ..., $„, — 5,^, ..., s,, élant jxtsilifs, ou ne ju'ul que diiuinuer lo second membre de l'éj^alité précédente en y remplaçant, s,, s,, ..., s„ par o; on ne peut que l'augmenter en y remplaçant les mêmes (piantilés par A; or on trouve ainsi i^d d'une pai't. Cl A de l'autre; la proposition est donc démonti'ée.

Il résulte de là que si on désigne par K un noudjre égal ou supérieur à la plus grande des valeurs absolues des nombres Sj, s.,, ..., ,s„, on aura

— sjv ^ Eji", + z,v, + ... ^^- £„r„ ^ £,K,

ou, si l'on veut,

71. Voici maiuleiiant deux couséqueucos do ce lomme : T. S,.it

(V, i\ + Tj + ... + r„ + ...

une séi'ie convergente, soit

une suite inlinio do nomJiros positifs tels que cbacun sdil inféiMciudU égal à celui qui le précède, la séi'io

(V) £iCi + t,v, + ... + tj-\, -h...

est convergente.

En efTel, à cause de la convergence de la série (V), à chaque nombre positif a correspond un entier positif n tel que les (pianlilés

soient toutes inférieures à a; à cause du lemnie, les quantités

I -H 4- 1 Vn +1 + £„ 4- 2 l'n 4- 2 + • • • + 'n + p 1'« +p \i ■ • ■ ■,

seront toutes inférieures à a £„+i, et par suite à a Sj; comme a est arbitraire, la convergence de la série (V) est démontrée.

On voit, par exemple, en conservant aux s la signification précédente, que la série

est convergente.