II. Soit

une série convergente ou divergente, mais dans laquelle la somme des n premiers termes reste toujours, quel que soit n, inférieure en valeur absolue au nombre positif «, soit en outre

une suite infinie de nombres positifs tels que chacun d'eux soit égal ou inférieur à celui qui le précède, tels en outre que l'on ait

lim £„ = 0,

la série

est convergente.

On a en effet, quels que soient n et p,

1 v„+i + v„ + 2 + ••• + v„+p \ <: 2a et, en vertu du lemme,

I e„+i r„ + i + e„ + 2 ^'« + 2 + ••• + ^n+p r„ + j, \ < 2£„ + , a; or, à cause do la supposition

lim £„ = 0,

Tannery. — Théorie. 7

on peut supposer n assez grand pour que 2 £„+i a soit plus petit que tel noniljre positif que l'on voudra. La convergence de la série (V) est donc démontrée.

Le théorème du paragraphe 69 n'est qu'un cas particulier de celui-ci; il suffit pour s'en convaincre de remplacer les quantités Sj, cj, ..., par les quantités Hj, h^, ... et de prendre pour la série (V) la série divergente

+ 1 — ] + 1 — 1 + ..., dans laquelle la somme des n premiers termes est zéro ou un.