CHAPITRE JII

72. Considérons un ensemble (E) de nombres tous distincts et regardons ces nombres comme des valeurs attribuées à une variable a; ; si à chacun de ces nombres x on fait correspondre un nombre y, on dira que y est une fonction définie de x pour chacun des nombres appartenant à l'ensemble (E). Par exemple a étant un nombre positif donné, l'expression a^, où x est un nombre entier positif, représente le produit de x facteurs égaux à a; a^ est en ce sens une fonction définie pour l'ensemble des valeurs entières et positives attribuées à x. Si l'on adopte les conventions qu'expriment les formules suivantes, où p, q sont des entiers positifs,

on peut dire que a'' est une fonction de x, dont la valeur est toujours positive, et qui est définie pour l'ensemble des valeurs rationnelles de x.

Soient a, h deux nombres quelconques, a étant le plus petit des deux, j'appellerai intervalle (rt, h) l'ensemble des nombres «, h et de tous les nombres rationnels ou non qui sont compris entre a et?>; je dirai de l'un quelconque de ces nombres qu'il appartient à l'intervalle (a, b) ; les deux nombres a, b sont les limites de l'intervalle ; la différence b — a est V étendue de l'intervalle; un intervalle (a', b') est contenu dans l'intervalle (a, b) si les nombres a' , b' appartiennent à cet intervalle.

Une fonction y de x est définie dans l'intervalle {a, b) si à clia({ue valeur de x appartenant à cet intervalle correspond une valeur déterminée de y.

JUO THÉORIE DF.S FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

La noiioli de fonction, ainsi entendue, est extrêmement générale ; elle paraîtrait autoriser l'introduction de fonctions à définition tout à fait arbitraire : ainsi, ce serait définir une fonction dans l'intervalle (2, 3) que de convenir qu'on prendra y = x pour toutes les valeurs

rationnelles de x qui appartiennent à cet intervalle et j/ = — pour

toutes les valeurs irrationnelles.

En procédant ainsi, on risquerait singulièrement d'introduire des fonctions qui n'offriraient aucun intérêt aux géomètres ; les fonctions dont l'étude s'est trouvée féconde n'ont pas été construites arbitrairement; dans le développement de la science, elles se sont présentées d'une façon nécessaire : telles sont, pour ne citer que les plus simples, les fonctions entières, les fonctions rationnelles, les fonctions algébriques, les fonctions transcendantes a^, log x, sin x, cos as, etc.