On entend par fonction entière un polynôme entier en x

m est un nombre entier positif, A„, Aj, ..., A„j i, A,„ sont des nombres constants. Une telle fonction, si l'on se donne les coefficients A^, ..., A,„, est évidemment définie dans un intervalle quelconque.

Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes entiers en ce,

A„r»'" + A^x"'-'^ -h ... + A,n-iOc + A,„

une pareille fonction est définie dans tout intervalle qui ne contient pas de valeurs de x pour lesquelles le dénominateur s'annule : pour ces dernières valeurs, la fonction n'est pas définie; elle n'a point de sens, puisque le cas où le diviseur est nul doit toujours être exclu.

Une fonction algébrique de x est telle que chaque valeur de x et chaque valeur correspondante y de la fonction vérifient une équation de la forme

où le premier membre est un polynôme entier en x et y; la définition précise d'une fonction algébrique dans chaque intervalle présente d'ailleurs des difficultés qui ne peuvent être abordées ici. Les fonctions

CHAP. Iir. — PREMIERS PRINCIPES DE LA TIIÉOPJE. 101

non algébriques sont dites transcendantes. On reviendra plus tard sur la définition des fondions transcendantes a^, log ce, sin x, cos x^ ... — C'est l'observation et l'étude des propriétés de ces fonctions particulières (ou d'autres), des relations qu'elles ont entre elles, dos combinaisons qu'on peut en former, etc., qui constitue le véritable objet de l'analyse; il est toutefois commode, quand ce ne serait que pour éviter d'insupportables répétitions, de faire précéder cette étude de quelques tliéorèmes généraux, d'un caractère purement logique, et qui reposent uniquement sur les définitions.

74. Une fonction définie dans un intervalle {ci, h) a nécessairement une valeur finie pour chaque valeur de la variable x qui appartient à cet intervalle; je dirai que la fonction est finie dans cet intervalle s'il existe un nombre positif A tel que chaque valeur de la fonction soit, en valeur absolue, inférieure à A : en ce sens une fonction qui serait

égale à zéro pour x = 0 et à - pour toute autre valeur de x appartenant à l'intervalle (0, 1) n'est pas une fonction finie, quoique sa valeur soit finie pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (0, 1). Cette fonction est au contraire finie dans tout intervalle (a, 1), dont la limite inférieure a est un nombre positif plus petit que un.

Lorsqu'une fonction f{x) est finie dans un intervalle (rt, b), il existe deux nombres M, m qui jouissent des propriétés suivantes : Chaque valeur de la fonction qui correspond à une valeur de x appartenant à l'intervalle est au plus égale à M ; de plus, ou bien il existe au moins une valeur de x, appartenant à l'intervalle, pour laquelle on a

ou bien, quelque petit que soit le nombre positif e, il existe au moins une valeur de x appartenant à l'intervalle, pour laquelle f{x) a une valeur comprise entre M et M — e.

De même, chaque valeur de la fonction /(x) qui correspond à une valeur de x appartenant à l'intervalle est au moins égale à m ; de plus, ou bien il existe au moins une valeur de x appartenant à l'intervalle pour laquelle on a

102 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

OU l)ien, quelque petit que soit le nombre positif e, il existe au moins une valeur de x appartenant à l'intervalle, pour laquelle /"(x) a une valeur comprise entre «i et wi + e.

M est dit la limite stqjérieure de la fonction dans l'intervalle {a, h); m est dit la limite inférieure de la fonction dans l'intervalle (a, h). La différence positive (ou nulle) M — m est dite V oscillation de la fonction dans ce même intervalle.

Pour établir l'existence du nombre M, il suffit de se reporter au paragraphe 16 en considérant l'ensemble des valeurs distinctes de la fonction f{x) qui correspondent aux diverses valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, h); puisque la fonction est finie, chacune de ces valeurs est inférieure à un certain nombre A ; si elles sont en nombre fini, le nombre M sera la plus grande de toutes ; si elles sont en nombre infini, leur ensemble admet une limite supérieure M qui, d'après ce qui a été démontré (§ 16), jouit des propriétés énoncées plus haut. Inversement, ces propriétés caractérisent complètement le nombre M.

L'existence du nombre m s'établit de la même façon.

Une fonction peut ne pas atteindre sa limite supérieure ou sa limite inférieure. Si, par exemple, une fonction est égale à x pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle (0, 1), excepté pour x =z i, et si, pour x z= i, la valeur de la fonction est zéro, il est clair que la limite supérieure de cette fonction dans l'intervalle (0, 1) sera un et que, pour aucune valeur de x appartenant à cet intervalle, la fonction ne sera égale à un.

Si la fonction f{x) admet dans l'intervalle (a, h) les limites supérieure et inférieure M, m, et si x, x' sont deux nombres appartenant à cet intervalle, la valeur absolue de la différence f{x) — f{x') sera au plus égale à l'oscillation M — m de la fonction; cette oscillation peut être regardée comme la limite supérieure des valeurs distinctes que prend l'expression | f{x) — f{sc') \ quand on donne à ce et à x' toutes les valeurs qui appartiennent à l'intervalle (a, h).

Si une fonction f{x) est définie dans l'intervalle («, h) et si l'on a, pour toutes les valeurs x, x' appartenant à cet intervalle,

i/-(.T)-r(.ioi<A,

A étant un nombre positif, on peut affirmer que la fonction f{x) est

finie dans cet intervalle, pui.sqiie sa valeur absolue est toujours inférieure à 2 A; on peut affirmer aussi que son oscillation est au plus égale à A.

Soit f{x) une fonction finie clans l'intervalle («, h); soient M et m ses limites supérieure et inférieure. Si l'on divise l'intervalle («, h) en }} intervalles partiels égaux ou inégaux, et si l'on désigne par M,, M„, ..., M^ les limites supérieures,^par «?„ m^,^ ..., m^, les limites inférieures de la fonction dans ces intervalles partiels, M sera le plus grand des nombres M,, M,, ..., Mj„ ni sera le plus petit des nombres m„ m„ ..., m^,.

L'oscillation de la fonction f{x) dans un intervalle («', //) contenu dans l'intervalle {a, h), est au plus égale à l'oscillation M — m de cette fonction dans l'intervalle (a, h).

Si une fonction f{x) est définie dans un intervalle (a, h) sans y être finie, c'est que, quel que soit le nombre positif A, il y a, dans l'intervalle («, &), au moins une valeur x telle que la valeur absolue de f{x) soit supérieure à A; on peut aussi dire qu'il y a au moins deux valeurs x, x' appartenant à cet intervalle, pour lesquelles on a

\f{x)-nx')\^A.

Enfin on voit encore que, si l'on divise l'intervalle (a, h) en un nombre quelconque d'intervalles partiels, il y aura au moins un de ces intervalles dans lequel la fonction ne sera pas finie.

75. On dit qu'une fonction f{x) est continue dans l'intervalle («, h) si à chaque nombre positif s correspond un autre nombre positif r, tel que la différence des valeurs que prend la fonction pour deux valeurs quelconques de x, appartenant à l'intervalle et ayant entre elles une différence moindre que -q, soit, en valeur absolue, moindre que e; en d'autres termes, sous la condition que j; et oî' appartiennent à l'intervalle et que l'on ait

on doit avoir, si la fonction f\x) est continue,

1 ro^) -/■(*') i<^-

Une fonction continue dans l'intervalle {a, h) est nécessairement

finie dans cet intervalle : si, en eflet, après avoir choisi arbitrairement e et déterminé •/) en conséquence, on divise l'intervalle {a, h) en un nombre n d'intervalles dont chacun soit moindre que v;, la fonction f{x) sera moindre, en valeur absolue, que | f{a) \ -+- e dans le premier intervalle, que ] f{a) j + 2c dans le second, ..., que ] f{a) j + ne dans le dernier.

Si f{x) est une fonction continue dans l'intervalle {a, h), on pourra, quel que soit le nombre positif e, diviser l'intervalle (a, h) en un nomljre fini d'intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, l'oscillation de la fonction soit moindre que e.

Réciproquement, s'il en est ainsi, la fonction est continue : car si l'on désii^ne par -q un nombre plus petit que l'étendue du plus petit des intervalles, ^eux valeurs x, x' appartenant à l'intervalle (a, h) et ayant entre elles un€ différence moindre que •/; appartiendront au même intervalle partiel, ou à deux intervalles partiels contigus, ayant pour limite commune un certain nombre ce"; dans le premier cas, on aura

\f{x)-nx')\-<t; dans le second,

I noo) - f(x') = 1 fix) -fix") + nx") -nx') \ < 2s.

Le lecteur démontrera sans peine les propositions suivantes :

Si deux fonctions f{x), çp(x) sont continues dans l'intervalle {a, h),

il en est de même des fonctions f{x) + 9(0;), /"(x) X ?(^); il en est

f(x) de même aussi de la fonction -— - > si la limite inférieure des valeurs-

absolues de la fonction 9(0?) dans l'intervalle («, h) est un nombre positif.

Une fonction entière est continue dans tout intervalle.

76. Si une fonction f{x) est définie dans l'intervalle {a, h), on dira qu'elle est continue pour une valeur x appartenant à l'intervalle (a, h) si à chaque nombre positif e correspond un nombre positif •/] tel que, sous la condition que x' appartienne à l'intervalle et diflere de x d'une quantité moindre que r,, on ait

\nx)-f{x')\'^t.

ClIAP. III. — PREMIERS PRINCIPES DE LA THÉORIE. 105

Si X est différent de a et de b, on peut dire encore qu'à chaque nombre positif e doit correspondre, si la fonction est continue pour la valeur x, un nombre positif •/; tel que l'on ait

pour toutes les valeurs de G comprises entre — 1 et + 1 ; si œ = a, cette condition doit être vérifiée pour les valeurs de 0 comprises entre zéro et un ; si x =: h, pour les valeurs de 0 comprises entre — 1 et zéro.

On peut dire enfin que si la fonction est continue pour la valeur a?, on peut à chaque nombre positif e faire correspondre un nombre r^ tel que dans tout intervalle (a', &'), d'étendue moindre que ■/], contenu dans l'intervalle («, h) et auquel appartienne le nombre a-, l'oscillation soit moindre que e.

En effet, si e' est un nombre positif moindre que ^ -, on peut faire

correspondre à ce nombre un nombre •<] tel que l'on ait

in.^)-/-(^')l<^',

pourvu que x' appartienne à l'intervalle (a, V) et diffère de x d'une quantité moindre que r^ ; or si l'on a

et si l'on désigne par a?,, x^ deux nombres quelconques appartenant à l'intervalle («', 6'), on aura

ir(^)-r(^.)i <£',

et par conséquent

l'oscillation de la fonction dans l'intervalle (a', 6') est donc au plus égale à 2 £' et par conséquent inférieure à e.

77. Il est clair que si une fonction est continue dans un intervalle (a, 6), elle est continue, au sens qui vient d'être précisé, pour

chaque valeur de x qui appartient à cet intervalle ; mais la réciproque de cette proposition n'est pas évidente (i).

En effet, si on conserve les notations du paragraphe précédent, on voit que, si la fonction /"(x), définie dans l'intervalle («, b), est continue pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, et si l'on se donne le nombre positif s, on pourra faire correspondre à chaque valeur de x un nombre positif y; tel, par exemple, que l'oscillation de la fonction soit moindre que s dans tout intervalle contenu dans (a, h) d'étendue plus petite que •/; et auquel appartienne la valeur ce; mais il n'est pas évident que toutes ces valeurs de y;, correspondantes aux diverses valeurs de x qui vont de a jusqu'à 6, soient supérieures à un certain nombre positif r/, en sorte qu'on puisse affirmer que, dans tout intervalle moindre que r/ et contenu dans (a, 6), l'oscillation de la fonction soit moindre que s. On sait seulement que tous ces nombres ^^^ sont supérieurs à zéro. On ne peut pas non plus affirmer que la fonction f{x) soit finie dans l'intervalle (a, &) au sens du paragraphe 74.

On lève cette double difficulté par la réduction à l'absurde, comme il suit.

Tout d'abord, pour ne pas être obligé de faire deux démonstrations presque identiques, je conviendrai, bien que les définitions qui précèdent n'autorisent à parler de l'oscillation d'une fonction que si elle est finie, de dire d'une fonction f{x) qui est définie dans un intervalle sans y être finie, que son oscillation y est supérieure à tel nombre positif A que l'on voudra, en entendant simplement par là qu'il y a, dans cet intervalle, au moins deux nombres :c, x' pour lesquels on a

Ceci posé, soit /"(x) une fonction définie dans l'intervalle (o, h) : supposons qu'il existe un nombre positif t tel que, de quelque façon que l'on décompose l'intervalle (a, h) en intervalles partiels, l'oscillation de la fonction, dans l'un au moins de ces intervalles, soit supérieure ou égale à s; je vais montrer que cette supposition entraine

(') Heine, Die Elemente det- Functionenlehre {Journal de d'elle, t. LXXIV, p. I72i. On pourrait peut-être éviter daas renseignement élémontaire, cesdistiDCtions un peu subtiles, en se bornant à considérer la continuité dans un intervalle.

la discontinuité de la fonction pour une valeur de x appartenant à l'intervalle («, h). Si donc la fonction f{x) est continue pour chacune de ces valeurs, le nombre e n'existera pas, en sorte que, si l'on se donne arbitrairement un nombre positifs'," il y aura assurément un mode de décomposition de l'intervalle (a, b) en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, l'oscillation de la fonction soit inférieure à s', et que, par conséquent, la continuité do la fonction f{x) dans l'intervalle (a, 6), au sens du paragraphe 75, sera mise hors de doute. Divisons l'intervalle (a, 6) en 10, 100, ..,, 10" parties égales. Considérons en général les intervalles partiels obtenus en divisant (a, 6) en 10" parties et supposons-les rangés dans l'ordre suivant :

(h — a\ / h — a ^ h — ft\

(10"-i)-hF-'''

Dans l'un de ces intervalles au moins, l'oscillation de la fonction est au moins égale à e; soit (a„, &„) le premier de ces intervalles pour lesquels cela a lieu ; on aura

Ya\ effet, dans les intervalles qui précèdent (a„, 6„), l'oscillation de la fonction est moindre que e; il en est de même dans les intervalles obtenus en les divisant en dix parties égales, c'est à dire dans tous les intervalles partiels obtenus en décomposant (a, b) en 10"+' parties égales qui précèdent l'intervalle

On a donc a„ ^ cLh+i, etc.

Dès lors, si l'on suppose que l'opération soit continuée indéfiniment, on voit que les deux suites infinies

ont une même limite x' ; en effet, d'une part, les termes de la première suite ne vont jamais en décroissant quand on s'avance dans cette

108 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

suite, et restent tous inférieurs à b ; de l'autre, la difFérence b„ — «„

z=z tend vers la limite zéro quand n augmente indéfiniment.

L'oscillation de la fonction dans tout intervalle (a„, h„) limité par deux termes correspondants des deux suites est au moins égale à e; il en résulte que la fonction f{x) est discontinue pour la valeur x' , puisque les nombres a„, 6„ qui appartiennent, ainsi que ce', à l'intervalle (a, 6), peuvent être supposés aussi voisins qu'on le veut de x' .

78. Si une fonction /"(jç), définie dans l'intervalle («, h), est continue pour la valeur x appartenant à cet intervalle et si l'on considère en outre la suite infinie de valeurs

(ij x^, X.2, ..., a?,„ ...,

appartenant aussi à l'intervalle et ayant pour limite œ, la suite infinie

(2) rc^.), r(.i-j, ..., f(a^„), ...

aura pour limite f{x) ; il suffit pour s'en convaincre de rapprocher les définitions des mots contimiité et limite.

Piéciproquement si, quelle que soit la suite (1) ayant pour limite oC, la suite (2) a pour limite f{x), la fonction considérée est continue pour la valeur x.

En effet, nier la continuité pour cette valeur, c'est affirmer l'existence d'un nombre positif £ jouissant de la propriété suivante : quelque petit que soit le nombre positif-/;, il y a un nombre x' dont la différence avec x est moindre que r, et tel que l'on ait

Dès lors si l'on considère la suite de nombres positifs

ayant pour limite zéro et que l'on forme la suite correspondante de nombres

{o) a?j, aîj, ..., x„, ...

de façon que l'on ait toujours

CHAP. III. — PREMIERS PRINCIPES DE LA THÉORIE. i09

il est clair que la suite (3) aura pour limite x et que la suite

n'aura pas pour limite f{x).

79. Il convient de signaler ici une nouvelle acception du mot limite.

Considérons d'abord une fonction /"(a?) définie dans l'intervalle (a, h) et soit x' une valeur appartenant à cet intervalle : on dira que, x tendant vers x' , f{x) a pour limite un nombre X' si à chaque nombre positif £ correspond un nombre positif -q tel que l'on ait

pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, h) et pour lesquelles on a

S'il en est ainsi, la valeur absolue de f{x') — X' devra être moindre que tout nombre positif e, puisque \ x' — ic' | =:: 0 est plus petit que tout nombre positif*^. C'est dire qu'on aura nécessairement

et que la fonction f{x) est continue pour x :=^ x' . Mais, au lieu de considérer toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, &), on peut en exclure quelques-unes et même une infinité ; si par exemple on exclut la valeur ce', on dira que x tendant vers x' par des valeurs différentes de a;', f{x) a pour limite un nombre X', si à chaque nombre e correspond un nombre positif q tel que l'on ait

lf(^)-X'|<s

pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle («, ?>), autres que x' et pour lesquelles on a

dans ce cas il n'est pas nécessaire que le nombre /'(•«') soit égal à X'. On pourrait encore exclure une infinité de valeurs

110 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

ayant x' pour limite; il n'y aura rien à changer à la définition, si ce n'est que les valeurs de x qui devront satisfaire à l'inégalité

seront les valeurs de x, autres que x„ x^, ••., a^„, •••et pour lesquelles on a

On peut se placer à un point de vue à peine différent et ne considérer que les valeurs de x qui appartiennent à un ensemble (E) qui toutefois doit contenir, quelque petit que soit a, une infinité de nombres compris entre x' — a et a;' + a, qui, en d'autres termes, doit admettre la valeur x' comme valeur limite (§ 37). Si la fonction f(x) est définie, au moins pour les valeurs appartenant à cet ensemble (E), on dira que, x tendant vers la valeur x' par des valeurs appartenant à l'ensemble (E), f{x) a pour limite X', si à chaque nombre positif ; correspond un nombre positif r, tel que l'on ait

pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'ensemble (E) et pour lesquelles on a

L'ensemble (E) peut être, par exemple, composé des valeurs rationnelles appartenant à un intervalle (a, &), qui comprend le nombre x', ou des noinljres plus petits que x' , ou des nombres plus grands que x\ etc.

De même, si l'on considère un ensemble (E) contenant des nombres plus grands que A, quel que soit A, comme est, par exemple, l'ensemble de tous les nombres plus grands qu'un nombre donné, ou de tous les nombres entiers positifs, ou de tous les nombres rationnels, etc., et si la fonction f{x) est définie, au moins pour chaque valeur de x qui appartient à (E), on dira que, x grandissant indéfiniment par des valeurs positives appartenant à l'ensemble (E), f{x) tend vers une limite X si à chaque nombre positif e correspond un nombre positif m tel que l'on ait

ir(,r)-X|<3

pour tous les nombres x appartenant à l'ensemble (E) et plus grands que m. C'est à ce dernier point de vue qu'on s'était placé jusqu'ici, eu parlant de suites Jnfinies

qui admettent une limite U; le terme général w„ de cette suite peut être regardé comme une fonction de sqn indice n, fonction qui n'est définie que pour les valeurs eritières et positives ; au lieu de dire que la suite infinie a une limite U, on peut dire que if,, a pour limite U quand n grandit indéfiniment par des valeurs entières et positives, c'est la convention déjà énoncée au paragraphe 40.

En se reportant à la définition des suites convergentes, on est amené naturellement à la généralisation que voici :

Considérons comme tout à l'heure une fonction f{x) définie pour les valeurs de x qui appartiennent à un ensemble (E) admettant la valeur x^ comme valeur limite (§ 37). Si à chaque nombre positifs' correspond un nombi'e positif-/)' tel que l'on ait

(1) lfG'^.)-f(^.)l<B'

pour toutes les valeurs .r^, x^ appartenant à l'ensemble (E) qui, mises à la place de ^ dans l'inégalité

satisfont à cette inégalité, la fonction f{x) tendra vers une limite quand x tendra vers la valeur x' par des valeurs appartenant à l'ensemble (E) :

Si, en effet, on considère une suite infinie de valeurs de x appartenant à l'ensemble (E),

et ayant pour limite x\ les termes de cette suite, à partir d'un certain rang, mis à la place de ^ dans l'inégalité (2), finiront par vérifier cette inégalité; on en conclut ([ue la suite

est convergente; soit X' sa limite. Ceci posé, après s'être donné le

112 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

nombre positif s, que l'on prenne e' = - et qu'on lui fasse correspondre le nombre ■•^' comme il a été expliqué plus liaut; si l'on désigne par x^ et x deux nombres qui appartiennent à l'ensemble (E), qui, mis à la place de ç, vérifient l'inégalité (2), dont le premier enfin appartienne à la suite a;,, x.^, ... et vérifie l'inégalité

|f(a;,„)-X' i<s', on aura

La proposition est donc démontrée. Le lecteur énoncera et démontrera sans peine une proposition analogue qui permettra de reconnaître si une fonction tend vers une limite quand x croît indéfiniment par des valeurs appartenant à un ensemble (E).

Les théorèmes énoncés au paragraphe 36 s'étendent sans peine à ces nouvelles acceptions du mot limite; si u, v, vl\ ... sont des fonctions d'une variable x qui, lorsque x tend vers ce', ou bien augmente indéfiniment, ont pour limites les nombres U, V, W, ..., la fonction de ac 9 (m, v, le, ...), où 0 désigne un polynôme entier en tt, V, w, ..., aura pour limite, dans les mêmes conditions, le nombre 9 (U, V, AV, ...); si 'b (î(, r, iv, ...) désigne un second polynôme en u, v, vj, ... qui ne s'annule pas pour les valeurs considérées de .T, qui n'est pas nul non plus pour ii = \],v = Y, iv = W,

, ^ . o (n, V, «s ...) ,. .^ 0 (U, V, W, ...) ..., la fonction '-^ { aura pour hmite ; ) {■

' <h {u, V, IV, ...) <h (U, V, W, ...)

On précisera d'une façon analogue cette expression : lorsque x tend vers x' , f{x) augmente indéfiniment : on entendra par là qu'à chaque nombre positif A, si grand qu'il soit, correspond un nombre positif e tel que l'on ait

pour toutes les valeurs de x (appartenant à l'ensemble que l'on considère) pour lesquelles on a

Le nombre x', en particulier, no pont être l'une des valeurs que l'on considère.

On dira ainsi que la valenr absolue de - augmente indéfiniment

quand x tend vers zéro, que - grandit indéfiniment quand x tend

vers zéro par des valeurs positives, etc. ; c'est dans le même sens

qu'on dit que - devient infini par des valeurs positives ou négatives

quand x tend vers zéro pour des valeurs positives ou négatives, etc.

De même, dire que f{x) grandit indéfiniment avec x, ou est infiniment grand avec x, c'est dire qu'à chaque nombre positif A correspond un nombre positif B tel que l'inégalité

entraîne l'inégalité

Les expressions grandies indéfiniment par des valeurs positives ou par des valeurs négatives n'offrent aucune difficulté.

80. Une fonction /'(>^')' définie dans l'intervalle (a, b), est dite croissante si la différence f{x) — f{x') n'est jamais nulle et est du même signe que la difterence x — x' quelles que soient les valeurs distinctes ce, x' appartenant à l'intervalle («, h). Si la différence f(x) — f{x') est toujours différente de zéro et de signe contraire àx — x' , la fonction est décroissante.

Si la fonction f(x) est croissante dans l'intervalle (a, b), sa limite inférieure est f{a), sa limite supérieure est f{b), son oscillation est f(lj) — f{a) : Si l'on considère une suite infinie

de nombres croissants, appartenant à l'intervalle, ayant x pour limite, la suite infinie de nombres croissants

qui ne peuvent dépasser f{h) a une limite; cette limite, si la fonction n'est pas continue pour la valeur ,r, peut être dilïérenle de f{x).

81. L'importante notion de la continuité permet de compléter on Tannery. — Théorie. 8

'114 THÉORIE DES EON'CTIOXS d'uNE VARIABLE.

quelque sorte la dénnition d'une fonction qui n'est pas définie pour toutes les valeurs de la variable.

Soit, par exemple,

la valeur du second membre est définie pour toute valeur de x autre que un; elle est d'ailleurs égale à celle de la fonction x + i, continue

dans tout intervalle; si l'on veut que l'expression représente

aussi une fonction continue de x, quel que soit x, il faut lui attribuer la valeur 2 pour x =z 4.

L'expression «'', où a est un nombre positif, va nous fournir un exemple beaucoup plus important.

On a rappelé plus haut la définition de a-' pour les valeurs rationnelles de x; on étend sans peine à cette fonction ainsi définie, pour l'ensemble des valeurs rationnelles, la propriété fondamentale qu'exprime l'équation

où ic et î/ sont des nombres rationnels quelconques, propriété qui résulte immédiatement de la définition quand x et y sont des nombres entiers positifs.

Pour définir ensuite a^, quand x est irrationnel, on suit la même marche que lorsqu'on a voulu définir la somme ou le produit de deux nombres irrationnels : on considère une suite infinie de nombres rationnels

Xi, x^y ..., â?„, ...

ayant le nombre x pour limite et on montre que la suite

a 'une limite qui est toujours la même, quelle que soit la suite infinie de nombres rationnels qui sert à définir le nombre x : c'est cette limite qui est, par définition, la valeur de a''; cette définition est d'ailleurs nécessaire, si l'on veut que la fonction a'^ soit continue. Avant de faire cette démonstration, il convient d'établir quelques

CIIAP. Iir. — PREMIERS PRINCIPES DE LA THÉORIE. 1-15

propriétés de la luuction a', qui peuvent se résumer comme il suit. A ne considérer ({ue les valeurs rationnelles de la varia])le x, la fonction a-^, où a est un nombre positif, est continue et croissante dans tout intervalle si a est plus grand que un, continue et décroissante si a est plus petit que un.

Je supposerai dans ce qui suit « >- 1 .

Je remarque tout d'abord que les puissances entières et positives d'un nombre sont plus grande? ou plus petites que un, suivant que ce nombre est lui-même plus grand ou plus petit que un; il en est de même par conséquent des racines d'un nombre. Donc si j9 et g désignent des nombres entiers positifs, on aura

«« = Va^'^ 1.

Si donc X est un nombre rationnel positif, «^ est plus grand que un.

L'égalité fondamentale (i) montre ensuite que a' "^■", où x et y sont des nombres rationnels, est plus grand que a^, si y est positif : car alors le facteur a" est plus grand que un, cela revient à dire que la fonction a"" croît avec a;, cette variable étant toujours supposée rationnelle.

Quant à la continuité, bornons-nous à considérer les valeurs de la variable qui sont, en valeur absolue, plus petites qu'un nombre positif rationnel r, arbitrairement fixé à l'avance; si x' et x" sont deux nombres rationnels plus petits que r, on aura

I cf" — ce- I = a'-' I a^"-^' — 1 I < a'- 1 a^'"-^' — 1 ].

Pour prouver que, e étant un nombre positif quelconque, on peut lui faire correspondre un nombre positif y; tel que, pour toutes les valeurs rationnelles de x' et x" qui satisfont à l'inégalité

a'' 1 «'"""' — 1 I et par conséquent ] a^" — cv"' \ soit plus petit quee, il suffit de démontrer que a^ — la pour limite zéro quand x tend vers zéro par des valeurs rationnelles.

Soit m un nombre entier positif égal ou . inférieur à la valeur

116 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

al)soliie de — ? on aura, si x est positif,

0 <«' 1 ^fC"— 1, et, si a? = — ; est négatif,

tout revient donc à prouver que y a — la pour limite zéro quand m augmente indéfiniment par des valeurs positives entières. Or, puisque va est un nombre plus grand que un, soit, en désignant par a un nombre positif,

y^a r= 1 + «; on aura

rt = (1 + «)'" >- 1 + m a ;

en d'autres termes

>",- a — 1 Va — 1 < ,

le second membre a manifestement zéro pour limite quand m augmente indéfiniment.

En résumé, si l'on se donne le nombre positif z, il suffira de

1 . • . , ■ • !«'"(« — 1) prendre m supérieur a la partie entière de — ^ pour que 1 on ait

pour toutes les valeurs rationnelles de x' et x' moindres que r en

valeur absolue et dont la difï'érence est, en valeur absolue, moindre

que — •

Soit maintenant x un nombre irrationnel plus petit que r et soit

une suite infinie de nombres rationnels, plus petits que r, ayant x pour limite. Si l'on se donne arbitrairement le nombre positifs, il existera toujours un nombre entier positif n tel que, quel que soit

CHAI'. III. — PUEMIEUS l'IUXCIPES DE LA THÉORIE. 117

rentier p plus grand que n, on ail.

I CV^n — a^p I -<; £ ;

cette inégalité, en effet, sera vérifiée, pourvu que l'on ait, en conservant les notations précédentes,

La suite

est donc converj^ente. La limite de cette suite sera, par définition, la valeur de a'. Il suffit, pour légitimer cette définition, de prouver que si l'on considère une seconde suite de nombres rationnels

Ui, y,, ■■-, Un, •••

ayant aussi x pour limite, la suite

a la même limite que la suite ('2), ou encore que la suite

a zéro pour limite : or cela résulte de ce que l'on peut supposer n assez grand pour que l'on ait, pour tous les nombres entiers p ■>- n,

On peut maintenant étendre à la fonction a'% entièrement définie dans l'intervalle ( — r, + >*), les propriétés établies seulement pour les valeurs rationnelles de x. D'abord, si x est un nombre positif, a" est un nombre plus grand que un; en effet tous les nombres de la suite Xi, x^, ..., x„, ..., qui a pour limite le nombre positif .a? finissent, après un certain rang, par être plus grands que tel nombre rationnel positif ^ -<■ X que l'on voudra; à partir du même rang tous les termes de la suite (2) sont donc plus grands que a? >> 1 ; la limite de cette suite, au moins égale à «5, est donc plus grande que un.

L'égalité fondamentale

est vraie quels que soient les nombres x et y : car si l'on considère deux suites infinies de nombres rationnels

ayant respectivement x et y pour limite, la suite infinie de nombres rationnels

a?, + î/„ x, + y^,..., x„-hyn,...

aura pour limite x + y et les trois suites

auront respectivement pour limites»^, a", rt''"+^ : comme on a d'ailleurs, quel que soit n,

on a nécessairement

tout ce qui a été démontré concernant la croissance et la continuité de a^ pour les valeurs rationnelles de x s'appuyait uniquement sur cette égalité et sur ce fait que a'' est un noml^re plus grand que un quand x est positif; les conclusions, établies pour les nombres rationnels, sont donc valables dans tous les cas et la fonction a'' est continue et croissante dans tout intervalle.

Il n'est peut-être pas inutile d'observer qu'on aurait pu établir cette dernière proposition sans s'appuyer sur les propriétés particulières de la fonction a^. La proposition suivante résulte en effet immédiatement du paragraplie 79 :

Si une fonction f{x) est définie pour l'ensemble des valeurs rationnelles appartenant à l'intervalle {p, q) et si cette fonction est continue pour l'ensemble do ces valeurs, elle tend vers une limite lorsque x tend par des valeurs rationnelles vers une valeur x' appartenant à l'intervalle (p, (j). Cette limite, si x' est irrationnel, peut servir à la définition de l'expression f{x'). La fonction f{x), ainsi définie dans tout l'intervalle {p, q), est continue. — Si la fonction primitivement

donnée pour le.s valeurs rationnelles de la variable était croissante pour l'ensemble de ces valeurs, il en est de même de la fonction complétée.

Enfin on aurait pu encore, pour définir a^, lorsque x est irrationnel, se placer à un point de vue un peu différent, en portant d'abord l'attention sur ce fait que, pour des valeurs rationnelles de x, a"" est une fonction croissante : considérons l'ensemble (E) des nombres obtenus en élevant a à une puissance dont l'exposant est un nombre rationnel moindre que x, et l'ensemble (E') des nombres obtenus en élevant a à une puissance dont l'exposant est un nombre rationnel plus grand que X. Chacun des nombres de l'ensemble (E) est plus petit que chacun des nombres de l'ensemble (E'); l'ensemble (E) a une limite supérieure (§ 16) plus grande que chacun de ses éléments, plus petite que chacun des éléments de l'ensemble (E'); de même l'ensemble (E') a une limite inférieure, plus petite que chacun de ses éléments, plus grande que chacun des éléments de l'ensemble (E); comme il y a dans les ensembles (E) et (E') des nombres qui diffèrent entre eux aussi peu qu'on le veut, il faut que les deux limites soient égales. Leur valeur commune peut servir à définir a''. Cette définition n'est pas distincte de la première, comme on le voit en prenant pour cette suite x„ x.^, ..., Xn, ..., qui a pour limite le nombre x et dont on est parti dans la première définition, une suite de nombi'es rationnels croissants. Il ne serait pas difficile, en restant au même point de vue, d'établir les propriétés fondamentales de la fonction a-^.

La fonction a'' grandit indéfiniment avec x (supposé positif) ; il suffit de le prouver quand x croît par valeurs entières : or, cela résulte immédiatement de l'inégalité

(1 + a)"' > 1 -4- IV a,

où a est un nombre positif et m un nombre entier positif; l'égalité

a~^ = —montre ensuite que, lorsque x augmente indéfiniment par

des valeurs négatives, a"^ a pour limite zéro.

Enfin si « = — est un nombre plus petit que un, on définira a''

par la formule

120 TlIKOKIE DES FONCTIONS D'uNE VAUIABLE.