La propriété fondamentale

(l) ? {oc) X ? (?/) = ? 0?^ + y)

dont jouit la fonction a^ caractérise cette fonction ; toute fonction ç (x), continue pour toute valeur de x et qui jouit de la propriété (1), est de la forme «''; j'emprunte la démonstration de cette proposition à Cauchy (i).

En remplaçant d'abord dans l'égalité (1) x et y par —■> on trouve

ce qui montre que la fonction 9 {x) doit être positive quel que soit x. Puis la supposition y = 0 donne

o(x) X?(0) = 9(.i-); on a donc

si l'on ne veut pas supposer que la fonction o (x) soit constamment nulle.

En faisant y = — x dans (1), on trouve

(3) ^{X) Xç(-,'K)r=cp(0)rr:l.

L'égalité fondamentale (1) conduit immédiatement à la suivante :

9 (.1;,) X o {x,} X ... X 9 {3C„) = .^{x,+x,+ ... -i- xX d'où, en supposant toutes les quantités x^, x.^^, ..., j",,, égales à x

cette égalité, établie pour un nombre entier ??, s'étend aux nombres quelconques.

Lille s'étend d'abord aux no)nl)r(\s positifs ;( do la forme -•> où p est un nombre entier, car l'égalité (4), quand on y remplace n par p

1} Cours d'analyse de l'École royale iwlyteclmique, p. lOl).

et X par - ■» devient P

d'où

(5) . {^ = iy7^ = \.(^-

c'est Ijien la détermination arithmétique qu'il faut prendre pour Vo (.a?), puisque ^ \ \ *^^oit •^'ti'<^ positif: l'égalité (5) n'est autre que

l'égalité (4), où — remplace n.

Si maintenant on élève à la puissance ^, q étant un nombre entier positif, les deux membres de l'égalité (5), on a

mais en vertu de l'égalité (i) on a, par suite on a

Ainsi l'égalité (i) est étendue à tous les nomljres rationnels positifs; en tenant compte de (3), elle s'étend immédiatement à tous les nombres rationnels négatifs : elle est vraie pour n =. 0, en vertu de ('2).

Jusqu'ici, on ne s'est pas servi de cette supposition que la fonction 9 ipc) est continue.

Cette supposition intervient pour étendre aux nombres irrationnels l'égalité (4).

Soit en effet

une suite intinie de nombres rationnels ayant pour limite le nombre

122 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

irrationnel n ; on aura, quel que soit l'indice r,

lorsque r augmente indéfiniment, n^x tend vers nx^ et puisque la fonction ç est continue, ç (n,.a?) a pour limite 9(71 a;); de même [5 (a7)]'V a pour limite [0 {x)\\ à cause de la continuité de la fonction ci'; les limites des deux membres sont égales et l'on a ainsi, quel que soit le nombre ?t,

ç (na?) = [. (.r)]«.

Observons en passant que le même mode de raisonnement appliqué à la fonction a'', montrerait que l'on a, quels que soient les nombres n et ic.

Si maintenant, dans l'égalité

? (na:) == [9 (ù;)]", on remplace ,27 par un et n par j', il vient

en désignant par a la constante positive 9 (i), on aura finalement 9 (rr) = ft''.

83. Lorsque ?n est entier positif ou négatif, la fonction a?'" est entièi^e ou rationnelle. Si w est un nombre fractionnaire ou irrationnel, la fonction x"'^ est définie pour toutes les valeurs positives de a;. La formule

montre qu'on peut se borner à l'étude du cas où m est positif. Alors la fonction x'" est nulle pour x = 0, comprise entre zéro et un quand x est compris entre zéro et un, plus grande que un pour Jt' :> 1.

L'équation

où h désigne un nombre positif, montre que la fonction a?"' est croissante, puisque l'on a

La même égalité fliit voir que pour établir la continuité de la fonction pour toutes les valeurs positives de x inférieures à un nombre arbitrairement cboisi A, il suffit de prouver que la fonction (1 + rj'" a pour limite l'unité lorsque •(] tend vers zéro par des valeurs positives : or, si y; est un nombre positif moindre que un, on aura, en désignant par M un nombre entier positif plus grand que m^

inégalités qui mettent en évidence la proposition énoncée; si l'on prend, en désignant par e un nombre positif.

l'égalité (1) montre que l'on aura

pour tous les nombres positifs x' , x" moindres que A et dont la diflérence est, en valeur absolue, moindre que -f].

Si 7» était négatif, la fonction a?'" serait continue et décroissante dans tout intervalle limité par dos nombres positifs. La fonction

jouit de la propriété

? {-r) X o (y) = 9 {xy).

On pourra montrer, par \m procédé analogue à celui qui a été employé au paragraphe précédent, que toute fonction positive et continue pour les valeurs positives de x qui jouit de cette propriété est de la forme x"'.

84. Revenant maintenant à la théorie générale, je vais démontrer, relativement aux fonctions continues, deux théorèmes fondamentaux.

Le premier de ces théorèmes, que l'on a longtemps admis comme évident, a été démontré d'une façon rigoureuse par Cauchy (^). Voici en quoi il consiste :

Si f{x) est une fonction continue dans l'intervalle (a, h) et si les deux nombres /"(a), f{h) sont de signes contraires, il existe un nombre a?, appartenant à l'intervalle (a, h), différent de a et de 6, pour lequel on a

Supposons en effet f{a) < 0, f{h) > 0 ; divisons l'intervalle (a, h) en dix intervalles égaux (a, «H ttt— )' '■' (« + 9 — j — -? h\

et substituons dans fi^x) les onze nombres a, a H — — , . . . , h qui

limitent ces intervalles ; si l'un des résultats de la substitution est nul, il n'est pas nécessaire d'aller plus loin ; si aucun de ces résultats n'est nul, désignons par h^ le premier nombre qui fournit un résultat positif, par a, celui qui le précède; on aura

l'on pourra raisonner sur l'intervalle («j, b,) comme sur l'intervalle («, 6), le décomposer encore en dix intervalles égaux et en déduire ou une valeur de x qui annule f{x), ou un nouvel intervalle (ttj, &,) pour lequel on aura

En continuant toujours de la môme façon, si l'on ne rencontre jamais de nombre qui annule f{x)^ on formera deux suites infinies

a, ttj, flo, ..., «n, ■■■, h, h^, h^, ..., ?v„, ...,

jouissant des propriétés suivantes : les noml)res de la première suite [*)2Cow-s d'analyse de l'École ,oyale polytecUnique, p. 4GU.

ne vont jamais en diminuant, ils sont tous inférieurs à Z> ; les nombres de la seconde suite ne vont jamais en augmentant, ils sont tous supérieurs à a; chacune des deux suites a une limite, ces limites sont égales, car la différence