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a évidemment zéro pour limite quançl n augmente indéfiniment :

soit A la limite commune aux deux suites. En vertu de la continuité

de la fonction f(x), qui n'a pas encore été invoquée, les deux suites

infinies

ont pour limite commune /"(A) ; mais tous les éléments de la première suite sont négatifs, donc leur limite /"(A) est négative ou nulle; tous les éléments de la seconde suite sont positifs, donc leur limite /'(A) est positive ou nulle; donc, enfin, on a

Voici une conséquence immédiate de cette proposition.

Soit f{x) une fonction continue dans l'intervalle («, h) et N un nombre compris entre f{a) et f{h) ; il y a . un nombre x appartenant à l'intervalle (a, h), différent de a et de b, pour lequel on a

En effet, la fonction f (x) — N est continue et les deux nombres f (a) — N, f{b) — N sont de signes contraires.

On exprime cette propriété des fonctions continues en disant qu'elles ne peuvent passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Il importe de remarquer que cette propriété ne caractérise pas les fonctions continues (^).

(1) M. Darboux a signalé toute une classe de Ibuctions qui ne peuvent pnsser ti'unc valeur à une autre sans passer par les valeurs intermédiaires. {Mémoire sur Us fonctions discontinnes. — Annales scientifiq^ies de l'École normale aupdrieure , 2" série, t. IV, p. lO'.t.) 11 sullira de lui emprunter l'exemiilo suivant: Soit /'{a;) une l'onetion (|ui soit nulle

poura;=:0 et C'^ale à sin - pour toutes les autres valeurs de x. Cette fonction est discontinue pour a; ==0, cependant il est aisé de voir qu'elle ne jieut passer d'une valeur à une autre sans passer par les valeurs intermédiaires.

126 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

85. La seconde propriété fondamentale des fondions continues est la suivante :

Si une fonction f{x) est continue dans un intervalle (a, h) et si M, m désignent respectivement sa limite supérieure et sa limite inférieure, il existe deux nombres X, x, appartenant à cet intervalle, pour lesquels on a

f{X) = M, fijr) = m.

On exprime plus brièvement cette propriété en disant qu'une fonction continue atteint sa limite supérieure et sa limite inférieure (*). Je me bornerai à établir le tliéorème pour la limite supérieure. Divisons encore l'intervalle (a, b) en dix intervalles égaux

Dans l'un de ces intervalles au moins, la limite supérieure de la fonction /' {x) est M : en efl^t, la limite supérieure de la fonction dans l'intervalle total est la plus grande des limites supérieures dans les intervalles partiels; soit (a,, b,) le premier intervalle dans lequel la limite supérieure soit M; en le divisant encore en dix intervalles égaux, on formera un nouvel intervalle (a.,, fe») pour lequel la limite supérieure sera M, etc.; en continuant ainsi indéfiniment, on formera deux suites infinies

jouissant des propriétés suivantes : les nombres de la première suite ne vont jamais en décroissant, ceux de la seconde suite ne vont jamais en croissant ; cbacune des suites a une limite et les deux limites sont égales à un même nombre X, puisque l'on a

(') M. Weierstrass donne depuis longtemps In dcmon?ti-alion de cette proposition dnn^ son enssinnemenl. Voyez l;i Noie de .M. Darhonx Sw vn théorème relatif a la rontiiiuité dus fonctions (Biilletin des Sciences mathématiques et astronomiques, l. III, p. ::0"), où ii établit la proposition aualoguj dans le cas de deux variables, elle Mémoire déjà cité du môme auteur sur les fonctions discontinues, p. 63.

enfin, dans chaque intervalle limité par deux termes correspondants a„, h„, la fonction f{x) admet la limite supérieure M. On déduit de là l'égalité

Supposons, en effet, que l'on ait

et que X ne soit ni a ni b.

Puisque la fonction f (x) est continue, à chaque nombre positif e correspondra un nombre positif y; tel que l'intervalle (X — r„ X + r,) soit contenu dans l'intervalle (a, h) et que, pour toutes les valeurs de X appartenant à l'intervalle (X — -/;, X + -q), la valeur de f (x) soit comprise entre M' — e et M' + e; on peut supposer ce dernier nombre plus petit que M. Mais, d'un autre côté, les termes de la suite (1) finissent après un certain rang par tomber entre X — r^ et X -f- Y]; si l'on a, par exemple,

comme la fonction f (x) doit prendre, pour des valeurs de x appartenant à l'intervalle (a„, h„) et par conséquent à l'intervalle (X — •/;, X + r,), des valeurs plus grandes que tout nombre M' + s inférieur à la limite supérieure M de la fonction dans l'intervalle (a„, b„), la contradiction est manifeste. Si l'on avait X = h, on considérerait un intervalle {b — •/], b) tel que l'on eût, pour toutes les valeurs de x appartenant à cet intervalle,

\fih)-f{x)\^e.

Si l'on avait X = a, il faudrait que l'on eût

et l'on considérerait un intervalle (a, a + r,) tel que l'on eût pour toutes les valeurs de x appartenant à cet intervalle

les termes des suites (2), après un certain rang, finiraient par appar-

428 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

tenir tous à l'intervalle (h — r,, h) ou («, a + r/) et la contradiction apparaîtrait de la inème façon.

86. Les deux propositions que l'on vient d'établir ont été démontrées en supposant seulement que la fonction considérée f (x) est continue, il convient de s'arrêter un peu sur le cas où elle est à la fois continue et croissante, ou bien continue et décroissante. Les choses se présentent alors d'une façon plus simple. Je supposerai dans ce qui suit que la fonction f{x), dans l'intervalle (a, h), est continue et croissante; d'abord, il est clair qu'elle atteint, pour X = a, sa limite inférieure f{a), et pour a; = h, sa limite supérieure f {h).

On n'a donc aflaire qu'à la première proposition. Si f{a) etf{h) sont de signes contraires, f {œ) s'annule pour une valeur œ' appartenant à l'intervalle (a, b), autre que a et que h. On observera d'abord qu'il ne peut y avoir qu'un nombre x' appartenant à l'intervalle (a, b) pour lequel on ait f{x') ::= 0 : en effet, la fonction étant croissante est négative pour les valeurs de x inférieures à x\ positives pour les valeurs de x supérieures à x' .

Ceci posé, considérons l'ensemble des valeurs de x appartenant à l'intervalle («, b) pour lesquelles la fonction f (x) est négative, et l'ensemble des valeurs pour lesquelles elle est positive; chaque nombre du premier ensemble est plus petit que chaque nombre du second ensemble; le premier ensemble a donc une limite supérieure x^ et le second ensemble une limite inférieure x,^; d'ailleurs, tout nombre X supérieur à d?, appartient au second ensemble; en effet, on ne peut avoir ni f (X) <; 0, ni f (X) =: 0, puisque, dans le premier cas, X appartiendrait au premier ensemble, et que, dans le second cas, il en serait de même de tout nombre plus petit que X, en particulier des nombres compris entre a7j et X; en d'autres termes, tout nombre plus grand que .r, est aussi plus grand que x.^ ; de même tout nombre plus petit que x^ est aussi plus petit que x^ : donc j-^ = a^,. Jusqu'ici on n'a pas fait intervenir la continuité : elle sert à prouver que l'on a f (x^) = 0. Si l'on avait f{x^) >- 0, par exemple, pour un nombre un peu plus petit que a?,, f {x) serait encore positif, et x.-, = x, ne serait pas la limite inférieure de l'ensemble des nombres appartenant à l'intervalle (a, b) pour lesquels la fonction f {x) est positive.

CIIAP. m. — PREMIERS PRINCIPES DE LA THÉORIE. 1^29

87. Si la fonction f (x) est continue et croissante dans l'intervalle (a, h) et si l'on pose

/■(«)= A, f{h) = B, l'équation

définit X comme une fonction croissante et continue de la variable X dans l'intervalle (A, B).

En effet, à chaque valeur de X appartenant à cet intervalle, correspond une valeur de x et une seule appartenant à l'intervalle (a, h) qui vérifie l'équation (1); x peut donc être regardé comme une fonctioii ç (X) de la variable X, définie dans l'intervalle (A, B). La fonction 9 (X) est croissante : en effet, si l'on a

f{x) = X, f{x')=X', ou

l'expression

est positive, puisque la fonction f (x) est croissante; il en est de môme de l'expression

la fonction ç (X) est donc croissante.

Enfin la fonction ç (X) est continue; en effet, si e est un nombre positif plus petit que b — «, la difterence

lorsque a? varie de a h h — £ reste positive et continue; elle admet une limite inférieure positive r, ; cette limite ne peut être nulle puisqu'elle doit être atteinte pour une certaine valeur ^ appartenant à l'intervalle {a, h — s) et ({ue l'on ne saurait avoir

Si maintenant x et x' désignent deux valeurs appartenant à l'inter- Tannery. — Théorie. 0

130 TIIÉUIUE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

vallo {(I, h) et telles que l'on ait x' — a? >- £, on aura

f{x')>f{.v+z) et, par suite,

f(x')-nx)>r{X+ s)/-(,r)>v;.

Ainsi, pour des nombres x, x' appartenant à ri'nti'i'valle [a, 1)), la supposition

lf(^')-/'(j-)I<r,

entraîne l'inégalité

En d'autres termes, à chaque nombre positifs correspond un nombre positif r, tel que la condition

1X-X'I<-^, entraîne rinéi^alité

pourvu, toutefois, que les nombres X, X' ajipartiennent à l'intervalle (A, B).

La fonction x =: ç (X) est dite la fonction inverse de la fonction

88. Par exemple, la fonction a"^ où a désigne un nombre plus grand que un, est une fonction continue ef croissante dans tout intervalle; elle est toujours positive, s'approche autant que l'on veut de zéro, et peut prendre des valeurs positives aussi grandes qu'on le veut. Il résulte de là que si X désigne un nombre positif, il existe un nombre X et un seul pour lequel on a

ce nombre est dit le logarithme de X dans la base a ; on l'écrit log X ; la fonction log X est croissante et continue dans tout intervalle dont les limites sont des nombres positifs; elle est négative quand X est compris entre zéro et un, positive quand X est plus grand que un (i),

(1) Si » était plus petit que un, le logarillime se définirait de la même façon, log X serait alors une fonction décroissante.

nulle pour X =r 1 ; lorsque X grandit indéfiniment, il en est de même de log X; lorsque X tend vers zéro par des valeurs positives, log X est négatif et grandit indéfiniment en valeur absolue; à la propriété de la fonction exponentielle

correspond la propriété fondamentale de la fonction logarithmique

log(XY)=logXVlogY.

La fonction logarithmique est la seule fonction continue qui jouisse de cette propriété; on établira cette proposition en suivant la même voie qu'au paragraphe 82, ou en considérant la fonction inverse de la fonction logarithmique.

Remarquons encore que, en élevant à la puissance y les deux membres de l'identité

où X est un nombi-e positif, on trouve

ou bien

>/ log X = log X".

Cette dernière égalité peut aussi se déduire de l'égalité fondamentale

log (xy) = log X + log y et de la continuité de la fonction logarithmique.