CHAPITRE IV

DES SÉRIES ET DES PRODUITS INFINIS DONT LES TERMES SONT DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE.

89. Considérons une snite infinie de fonctions d'une v;irial)le x,

fonctions dont chacune est donnée dans l'intervalle (o, h)\ si pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle la série

(S) if, + Xi, + ... + H„ + ...

est convergente, à cliaque valeur de x correspnndr.i une valeur de la somme de cette série; en d'autres termes, la somme de la série est une fonction de x définie dans l'intervalle («, h).

Désignons en général par R„(a7) le reste de la série quand on s'arrête au terme m,„ c'est à dire la somme de la série convergente

puisque, pour chaque valeur de ,}' appartenant à l'intervalle («, h) la série est convergente, à chacune de ces valeui^s et à chaque nomhre positif £ correspond un nomhre entier positif p tel que l'inégalité n>* j:» entraine l'inégalité

le nomhre p dépend en général de la valeur de x, en même temps que de la valeur de s.

Mais les séries pour lesquelles ce nomhre p peut être détei-rniné indépendamment du nomhre x et ne dépend ainsi que de la valeur de £ offrent un intérêt particulier. En effet dans tout l'intervalle (a, />),

CHAP. IV. — DES SÉrUES ET DES PRODUITS INFINIS. 1:33

la somme des p premiers termes de la série représente la fonction définie par la série avec une erreur dont la limite supérieure e est la même quel que soita:î; en sorte que, en étudiant cette somme, on pourra se rendre compte, au moins approximativement,* des propriétés et de la marche de la fonction; il en est tout autrement si, pour avoir un même degré d'approximation, il suffit, pour certaines valeurs de x, de considérer un petit nomlire de termes de la série tandis qu'il faut, pour d'autres valeurs, prendre un très grand nombre de termes. Les séries qui rentrent dans le premier cas, et que l'on nomme uniformément convergentes, sont donc particulièrement intéressantes. On dit qu'une série

dont les termes sont des fonctions d'une variable x et qui est convergente pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle («, h) est iDiiformémcnt convergente dans cet intervalle, lorsque à chaque nombre positif e correspond un nombre entier positif ^) jouissant de la propriété suivante :

Quel que soit le nombre x appartenant à l'intervalle {a, h) et le nombre entier n égal ou supérieur à j9, le reste R„ de la série limitée au n'^''"*" terme est en valeur absolue moindre que e.

On réunira les conditions nécessaires et suffisantes pour que la série (1) converge (§ 45) et pour qu'elle converge uniformément, en disant qu'à chaque nombre positif e' doit correspondre un entier p tel que, quels que soient les entiers n, m vérifiant les inégalités

J9 ^ n <; ni, on ait

I u„+i + i(„ + 2 + ... + ii,„ I <; s',

pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle {a, h).

Il est clair qiie si une série est uniformément convergente dans deux intervalles contigus (a, b), (b, c), elle est uniformément convergente dans l'intervalle ((/, r) (').

C) Je donne ici la clùfinition adoptée par Heine [Handbuck der Kugelfunctionen, 2" éd., I. I, p. Oo) et par M. Weierstrass {Remaj-ques sur quelques points de la théorie des fonctions analytiques : Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, 2« série, t. V, 1" partie, p. 157). Je croig toutefois devoir faire remarquer qu'elle diilere de celle

134 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

Par exemple la série XX X

l.(j?-f-l) (.3? 4-1) (2a; +1) \{n^\)x+l\[nx-\-\']

est convergente quel que soit le nombre positif ou nul x.

Pour a; = 0, elle a évidemment zéro pour somme, si x est un nombre positif, on voit, en partant de l'identité

[(n — 1) a? + 1] [nx + 1] (n — I) x + 1 que la somme de ses n premiers termes est égale à

nx + \

quel que soit le nombre positif x, cette somme pour n inlini a pour limite un; la série est donc convergente et a pour somme l'unité; le reste, quand on s'arrête au n'^""" terme, a d'ailleurs pour valeur

alii|iléi' iiar il'aulres géomètres, notamment par M. Darboiix (Mémoire sur les fonctions discontinues, p. 77) et par M. Dini (Fundamenti per la leorica délie fv.nzioni di variaiili reali, p. 103j. l'our ces auteurs, uue série est uniformément convergente si, à cluque nombre positif e correspond un enlier posilif^) tel que le reste Rp ixi de la ■ érle bornée au^'ème terme soit, en valeur absolue, moindre que e : on n'a pas à se préoccuper des restes suivants. Par exemple si on considère une série dont les termes «i, «;, ..., Up ... obéissent à la loi suivante, pour « = 1,2, 3, ...

ou voit (le suite que cette série est convergente quel que soit .2», qu'elle a pour somme

-^ — ■ — ^> que le reste est nul si on prend p impair, qu'il est égal à 2<2n — i si l'on

suppose^J pair et égal à 2« — 2 : cette série est uniformément convergente dans tout intervalle, au second sens du mot, puisqu'il y a des restes nuls; elle ne l'est pas, au sens primitivement adopté, dans un intervalle tel que (—1, + 1), en effet u-in—i,

pour 5!=-, se réduit à un; quelque soit le nombre i?, il y aura un reste, après lei^ième, qui sera, pour une valeur convenable de m, égal à un. La seconde définition a donc cet avantage d'être plus lar^e; en outre elle se légitime par ce fait qu'elle suffit pour la démonstration des propriétés fondamentales des séries convergentes relatives à la continuité et à l'intégration, comme on le verra d'ailleurs dans la démonstration de ces propriétés; iniis, d'un autre côlo, il est naturel de faire entrer dans la notion de la convergence uniforme, cette idée que le degré d'approximation auquel on parvient lorsqu'on prend un certain nombre de termes se conserve eu quelque sorte quand on prend un [ilus grand nombre cic termes; on peut vouloir aussi que le reste d'une série uni'ormément convergente soit lui-même donné par une série uniformément convergente. C'est ce qui m'a décidé à adopter la définition que j'ai donnée dans le texte.

CIIAP. IV. — DES SÉIUES KT DKS PRUItL'ITS INFINIS. 135

absolue ~; pour x =— cette valeur est éuale à -; on voit donc

que dans un intervalle dont la limite inférieure est zéro et la limite supérieure un nomljre positif quelconque, la série n'est pas uniformément convergente, puisque, si l'on assigne un terme quelconque, on peut trouver un terme de rang plus éloigné tel que, en adoptant pour op une valeur convenable, le reste de la série, limitée à ce terme,

soit égal à -• On remarquera encore que, dans un pareil intervalle,

la somme de la série n'est pas une fonction continue de x, qu(ii([ii'il en soit ainsi de tous ses termes.

Au contraire, dans un intervalle quelconque («, h) limité par deux nombres positifs, la série est uniformément convergente. Si on se donne en effet le nombre positifs, il suffira de prendre n plus grand

que la partie entière de ' pour que le reste correspondant au r<'^™°

Cl c

terme et les restes suivants soient, quelle que soit la valeur de x appartenant à l'intervalle {a, b), en valeur absolue, inférieurs à t.

90. Les séries dont les termes sont des fonctions d'une variable x et qui sont absolument convergentes pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle («, h) sont dites absolument convergentes dans cet intervalle. Les séries qui sont à la fois absolument et uniformément convergentes dans un intervalle donné présentent évidemment un intérêt particulier : il y a un cas très général où l'on peut reconnaître facilement cette double propriété d'une série (i).

Soit

une série dont les termes dépendent de la variable ./' ; soit en outj'e

une série convergente dont les termes sont des nombres positifs donnés; s'il arrive que pour chaque valeur de x appartenant à rintervalle (a, h), les termes de la série (1) soient, en valeur absolue.

(') Weierslra.ss, à l'cndruil cité ilan? la uoli' pvécôdenle.

130 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

infôrieuis aux termes de même rang de la série (2), la série (1) sera, (l.ius rintcrvalle («, 6), absolument et uniformément convergente. Que la série (l) converge absolument, cela est évident; qu'elle convei'ge uniformément, cela résulte de ce qu'à cbaque nombre e correspond assurément un nomljre enlier j) tel que la somme de la série infinie •

(3) v„+i -h Vp + o + ...

soit inférieure à e; or, quel que soit le nombre entier n supérieur à j3, il est clair que la somme de la série

H„ + : + lt„ + , + ...

est inférieure à la somme de la série (3). Considérons par exemple' la série

Soit A un nombre positif quelconque ; on a vu que la série A A^ A"

était convergente ; donc la série (4) est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle dont les limites sont, en valeur absolue, inférieures à A, c'est à dire dans tout intervalle, puisque A est arbitraire.

Soit encore la série

Soit z un nombi-e positif inférieur à un, et M un nombre positif quelconque, la série à termes positifs

est convergente.

CIIAP. IV. — DKS SKRIES ET DES PRODUITS INFINIS. 137

On peut considérer les termes de la série (5) soit comme des fonctions de x, soit comme des fonctions de m. En se plaçant au pre)nier point de vue, on voit que si m est un nombre donné, inférieur à M en valeur absolue, la série (5) est uniformément et absolument convergente dans tout intervalle dont les deux limites sont, en valeur absolue, inférieures à ;, ou, puisque H est aussi voisin de un qu'on le veut, dans tout intervalle dont les limjtes sont, en valeur absolue, inférieures à un. De même, en considérant les termes de la série (5) comme des fonctions de «i, on voit que, si x est un nombre donné plus petit que un en valeur absolue, la série est absolument et unilormément convergente dans tout intervalle dont les limites sont, en valeur absolue, moindres que M, c'est à dire dans tout intervalle, puisque M est un nombre arbitraire.

91. Lorsqu'une série dont les termes sont des fonctions continues de la variable x dans l'intervalle (a, h) est uniformément convergente dans cet intervalle^ la somme de cette série est une fonction continue de X dans l'intervalle (a, h).

Soit en effet,

la série considérée, où s,, ç.,, ..., s,,, ... désignent des fonctions continues de x dans l'intei-valle (o, h) ; soit F {x) la somme de cette série. Désignons par t un nombre positif quelconque; il y a un nombre entier n tel que, pour toute valeur appartenant à l'intervalle (a, &), le reste R„ {x) de la série soit en valeur absolue moindre

que -; on a d'ailleurs en pusant

s» (-^0 = ?, (•'■) + ?, (J7) + ••• 4- ç„ (X-), F (.r) = S„ {x) + R„ ix) ;

mais, les n premières fonctions 9 étant continues, il en est de même de leur somme S„ (x-), il existe donc un nombre -q tel que l'on ait

pour toutes les valeurs de x et x' qui apparlienneni à rinlorvalle

138 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

(a, b) et dont lu différence est moindre que r, ; cette inégalité jointe aux suivantes

montre que, dans les mêmes conditions, la différence

F (x) - F ix') = S„ (x) - S,. (./;') -^ R„ (x) - R„ {x'} est moindre en valeur absolue que

c'est dire que la fonction F (x) est continue dans l'intervalle (a, h).

Ainsi la série (4) du paragraphe précédent est une fonction continue de X dans tout intervalle; la série (5), si l'on y regarde m comme donné, est une fonction continue de x dans tout intervalle dont les limites sont, en valeur absolue, moindres que un; la même série, lorsqu'on y regarde x comme un nombre donné moindre que un en valeur absolue, est une fonction continue de 7n dans tout intervalle.

92. Le mode de raisonnement si simple qui a été employé dans le paragraphe précédent permet d'établir une propriété très importante de la série

je vais montrer en effet que si, laissant x fixe, on fait croître ni indéfiniment, l'expression

a une limite et que cette limite est la somme de la série (1). D'une façon plus précise je vais montrer que, x étant un nombre donné quelconque et £ un nombre positif quelconque, il existe un nombre

positif n tel que la diflérence entre li~\ | et la somme de la

série (1) soit, en valeur absolue, moindre que s lorsque la valeur absolue de tn est plus grande que n.

Supposons d'abord que m ne prenne que des valeurs positives entières ; on aura, par la formule du Ijinôme,

(xX"^ m X m (m — 1) x^

tu/ 1 m 1.2 w

m (m — 1) {m — 2) ... {m — p + 1) oc^ 1.2 ... p mP

VI {m — I) ... l X'" 1.2 ... m 7n™

ce qui peut s'écrire encore

Ceci posé, soit A un nombre positif quelconque égal ou supérieur à la valeur absolue de x. La série à termes positifs

A A^ kp

est convergente et chacun de ses termes est supérieur à la valeur absolue du terme de même rang dans le second membre de l'équation ('i); on peut prendi'e p assez grand pour que la somme de la série