jj + 1) 1.2... {p + \){p

soit moindre que -• Il en est de même, à fortiori, de la valeur

absolue du reste R^, de la série (1) limitée au {p + •!)'*'"<' terme et de la valeur absolue de la somme R^', des termes du développement de

(1 + — ) qui suivent le [p + l)""»' terme; on a d'ailleurs, en dési-

iiO THÉORIE DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE.

gnant par S la somme de la série (1), par S^, la somme de ses p + 1 premiers termes, par SJ, la somme des p -+- 1 premiers termes du

développement de (1 H — ^ | i \ "7

mais S^'; est une fonction entière de — qui se réduit à S,, quand on y

remplace — par zéro; puisque toute fonction entière est continue, il

existe un nombre positif n assez grand pour que l'inégalité

— <;-•> ou m :> ?i,

entraîne l'inégalité

Cette inégalité, jointe aux suivantes

I R„ I <-, I K I <-' montre que la valeur absolue de la différence

est moindre que e pourvu que ni soit un nombre entier positif supérieur à n; c'est ce qui avait été annoncé.

Supposons maintenant que m soit positif, mais non entier; on

/ x\ '" observera d'aljord que l'expression (i h | n'a été définie dans

tous les cas (lue si 1 + ~ est positif, mais cela finit toujours par m

arriver pour des valeurs suffisamment grandes de ni ; ceci posé, soit ;;,

la partie entière de »?, et supposons 1 + - positif; l'expression

sera toujours comprise entre

la première de ces deux quantités sera d'ailleurs la plus petite si x est positif, la plus grande si x est négatif; mais lorsque m grandit indéfiniment, il en est de même de [x, et les formes que l'on a données

1 H ) est compris montrent

clairement que ces deux quantités ont S pour limite; il en est de

même de (1 + .

Supposons enfin m = — m' négatif; on aura

d'ailleurs,

lorsque tu' grandit indéfiniment par des valeurs positives, il en est de même de m' — x; par conséquent, le premier facteur du second membre a S pour limite; quant au second facteur, on a prouvé (§ 83) qu'il a l'imité pour limite; la proposition est donc démontrée.

Pour peu qu'il y rétlécliisse, le lecteur verra que les raisonnements précédents, légèrement modifiés, permettent d'énoncer le théorème suivant, un peu plus général que celui qui a été établi.

Si l'on considère l'expression

i4'2 TIIKORIE DES FONCTIONS D'UNF, VARIAIïLE.

et si l'on se donne un nombre positif e aussi petit qu'on le veut, il existe deux nombres positifs n et a tels que la différence entre

la somme de la série

soit, en valeur absolue, moindre que £, pourvu que l'on ait \m\> H, I .^ — ^ I < a.

Si l'on suppose a? = 1, on voit que la somme de la série

somme que l'on désigne babituellement par la lettre e, est la limite

/ 1 X"* vers laquelle tend l'expression 11 H | quand m augmente indéfiniment en valeur absolue; le nombre e joue dans l'analyse un rôle

considérable. En s'arrétant au terme .— dans la série (3), on

voit que le reste de cette .série, c'est-à-dire la somme de la série 1 1

est plus petit que la sonnne suivante :

On peut donc écrire

0 étant un nombre inconnu plus grand que zéro et i)lus petit que un, cette formule permet de calculer e avec telle approximation que l'on voudra; on trouve ainsi

La même formule (i) montre que c est irrationnel : si, en effet, il

était éq-al à la fraction irréductible -•> on aurait

En multipliant les deux membres par 1/2 ... /j, le premier membre

deviendrait entier, le second membre serait -i quantité qui ne peut

jamais être un nombre entier, même nul. On doit à M. Hermite d'avoir montré que e est un nombre transcendant, c'est à dire que e n'est racine d'aucune équation algébrique entière à coefficients rationnels (^).

L'identité

1 H ) a pour

limite e^ : en effet, lorsque 7^^/ augmente indéfiniment, il en est de

même de — et par suite

a pour limite e-: donc, à cause de la continuité de la fonction z" où z est un nombre positif (§ 83), le nombre |1 + — j'" élevé à la puissance X a pour limite e^. On a donc

de même

\ -' 1 ^1.2 ^--^1:27:7. + ••• L'application de la règle de la multiplication aux deux séries

(') Comptes rendus, t. LXXVII, 1873. Kn allant plus loia dans la voie ouverte par M. Hermite, M. Liadeniann est i)arvenu à établir la même proposilioa pour le nombre tt {Mathematischc Annakn, t. XX, p. 213).

144 THEORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIAULE.

absol iiineni convergentes

donnera immédialemont l'égalité

,(.)Xo(,,)=l + ^^ + i^'H-...,

OTl

? (•?') X ? (;/) = 9 (J? + y)- On peut regarder ce résultat comme une simple vérification ; on peut aussi en déduire directement la forme de la fonction o (x) ; il montre on eflet, en se reportant à ce que l'on a étalili au pai'agraplie 82, que la fonction continue

est de la forme (i% a étant une constante positive, que Ton détermine en supposant ,x = 1 ; on a ainsi

a = o{\)=zl + -^ + -- + ... = 0

et par conséquent

93. On appelle logarithme naturel ou logarithme népérien d'un nombre positif X le logarithme de ce nombre pris dans la base e ; le symbole log sera réservé désormais aux logarithmes népériens; on a ainsi, par déhnition,

glog.r ^

En désignant par log„ x le logarithme du noml^re x dans la base a et en prenant les logarithmes népériens des deux membres de la formule

on trouve

]oo x — ^^^, ^" ' log a

le symbole log désignant le logarithme népérien, et l'on voit comment on peut passer du système de logarithmes naturels à un système de logarithmes quelconques.