D'un autre côté l'identité
^.x g.rloga^
qui devient évidente en prenant les logarithmes népériens des deux membres, montre que l'on a, quel que soit le nombre positif a,
X log a (X loff aY (x log a)p
«' = ' -^ -f- + -uT- + ■•• + TTâTri -^ -
De cette égalité on déduit la suivante :
a'' — 1 . X (log ciY x"-^ (loo- a)p
dont le second membre est une fonction continue de x; en faisant tendre x vers zéro, on voit que le second membre a pour limite log a; telle est donc aussi la limite, pour a? = 0, de
En remplaçant x par — et a par x, on arrive à la conclusion suivante ;
lorsque î)i augmente indéfiniment par des valeurs positives et entières, l'expression
où X est un nombre positif quelconque, a pour limite log x. Cette propriété du logarithme népérien répond à la propriété de e^ d'être la limite de
hïï
quand m augmente indéfiniment.
95. On appelle cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique, les fonctions de x définies par les formules
ch X
sh X
th X
sh "~ch
gx
Tanneky. — Théorie.
En posant e' =: y ces formules deviennent
ch^ = ^y+^^), s\.œ = l(^y-]j^. tha.:=
Les fonctions ch x, sh x, th x sont continues dans tout intervalle; en se rappelant que lorsque x croît de zéro à l'infini positif, y croît de un à l'infini, on voit de suite que, dans les mêmes conditions, ch X croît de un à l'infini; sh x, de zéro à l'infini, et th x, de zéro à un. Les formules
ch (— x) = ch X, sh ( — x) = — sh x, th ( — <r) = — th a?
achèvent de faire connaître la façon dont varient ces mêmes fonctions quand x est négatif. Enfin le lecteur établira sans peine les relations suivantes :
ch (a + h) = ch a ch h ■+- sh a sh b, sh (a + b) = sh a ch h -h ch a sh b,
, , th ft + th b
th (a + b) = -—5
^ ^ 1 + th a th b
ch a = 1 -+ sh a =
ch- a — sh- rt = 1, a- a'\
Les trois premières sont des conséquences immédiates des définitions des fonctions sh x, ch x, th x et de la formule
96. La méthode qui a été suivie au paragraphe 92 pour obtenir
l'expression de la limite de ( i -\ — ^ j peut servir, ainsi qu'Euler (')
l'a montré, à déduire des propositions les plus élémentaires de la trigonométrie les développements en série des fonctions sin x et coso?;
i') lntro<hictio in analysin irtjinitornm, § 134.
CHAP, IV. — DES SÉRIES ET DES l'RODUITS INFINIS. 147
tout en suivant la même marche, c'est à un point de vue un peu différent que je me placerai.
On définit les fonctions sin x et cos oc, au début de la trigonométrie par des considérations géométriques; il y a un intérêt philosophique évident à introduire dans l'analyse le moins possible de données expérimentales, et il importe par conséquent de donner des fonctions sin X et cos x une définition qui repose uniquement sur la notion de nombre et n'emprunte rien à l'idée d'espace.
On établit encore par des considérations géométriques les formules
(cos (a + b) =: cos a cos h — sin a sin h, { sin (« + h) z=^ sin a cos h + cos a sin h.
Je vais montrer (en supposant toutefois leur existence) comment on peut déterminer toutes les fonctions continues ^ (x), <]> (x) qui jouissent des propriétés définies par les formules
et satisfont en outre à une autre condition qui sera introduite plus tard. Si, après avoir élevé au carré, on ajoute les équations (2) membre à meml)re, on obtient
^^ (« + 6) + ^^ (rt + b) = \o^- («) + ^^ («)] ["/ (/>) + ^^ (b)].
Cette égalité montre que la fonction
jouit de la propriété
si l'on exclut le cas où cette fonction serait identiquement nulle, on voit (§ 82) qu'elle est de la forme A'' ou, ce qui revient au même, e""", g étant une certaine constante numérique.
Mais il est clair que si les fonctions 9 (j;), •^ (x) jouissent des propriétés que définissent les équations (2), il en est de même des
148 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
fonctions e ^ ç (a?), e * tj/ (a?) : si l'on pose
e ^ (f (a;) =r cos a;,
e ^ (]; (a?) = sin a?,
en désignant par cos x et sin x des fonctions dont on sait seulement qu'elles sont continues et qu'elles doivent satisfaire aux équations (1), on devra, à cause de la relation
ç' {x) + <>^ {x) = e«^, avoir la relation
(3) sin^ X + cos* a? = 1,
tout revient à déterminer les fonctions inconnues sin x et cos x par les relations (1) et (3). Si d'ailleurs on fait 6=0 dans les équations (1) et que l'on résolve par rapport à cos 0 et à sin 0 les équations que l'on obtient, on trouve
cos 0 = 1, sin 0 = 0; j'ajoute maintenant cette condition que le rapport ? quand on fait
tendre x vers zéro, ait l'unité pour limite.
L'application répétée des formules (l) conduit, par un procédé bien connu, aux relations suivantes où m désigne un nombre entier positif quelconque :
m [m — 1) cos w a = cos"" a — cos'"-^ a sin" a
m (m — 1) (w — 2) (m — 3) „, ^ . ^ -I i \ o / cos"'-^ a sin^ a — ...,
m rii (m — 1) (m — 2) sin ma = -j cos""-' a sin a
a sm^ a —
En remplaçant dans ces formules a par — ? divisant par cos™ — et
m rn
posant enfin
sin —
cos —
elles deviennent : , ^
cos cos"
(-,^)(-l)(-3fe
m tg - ) m)
sin a;
X l \ un) \ m/ 1.2.3
cos"* — m
A iWi i\ /i iWi - i\ ^ '^^^>^
Considérons par exemple le second membre de la première formule (4) et supposons que m grandisse indéfiniment par des valeurs entières.
La quantité
sin —
m tg — = )
m XX
cos — —
aura pour limite x : en effet, cos — a pour limite l'unité, puisque
sin —
l'on a cos 0 = 1, et a la même limite, à cause de la condition
sin X lim = 1,
150 TIIKORIE DKS FONCTIONS d'uNF, VARIAHLF.
Si donc A désigne un nonil)re positif plus grand que ] x ], les termes du second membre seront, en valeur al)Solue, pour des valeurs suffisamment grandes de »>?, plu& petits que les ter.mes correspondants de la série convergente à termes positifs
Or, si £ est un nombre positif quelconque, on peut détei'minef un nombre entier positif /^ tel que la somme de ky^'érie
^ip+'i A-''"'"'
soit plus petite que-; il en sera de même à fortiori de la valeur o
absolue du reste R,. de la séri
le
