COS

m Il est d'ailleurs aisé de voir que les relations (1) et (3) entraînent la suivante :

cos a =: 1 — 2 sin* .

on doit donc avoir

cos'" — in

lorsque m grandit indéfiniment 2«? sin — — a pour limite x; on voit

donc que, à partir d'une certaine valeur de «?, les termes du second membre développé par la formule du binôme sont, en valeur absolue, inférieuis à partir du second aux termes du développement par la

152 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

même formule de l'expression

ces termes sont eux-mêmes plus petits que les termes correspondants de la série

2m \2m} \2mJ

par conséquent la différence

1 — cos"* —

est moindre que la somme de la série

Im \2mJ \2m/

T "^~X2~ "^ TTO^'

somme qui est égale à

et qui, pour m infini, a zéro pour limite. Il en résulte que cos" a l'unité pour limite; on a donc

(6) ces a; = 1 - j^^ + :^^ - ^^f^^^ + -.

et de même,

97. Dans le raisonnement précédent, on a constamment supposé l'existence des fonctions sin x et cos x satisfaisant aux conditions imposées; on peut en conclure seulement que s'il existe de telles fonctions elles sont données par les formules (6) et (7). Mais ces formules définissant des fonctions évidemment continues dans tout intervalle, on peut les regarder comme les définitions analytiques des

fonctions sin x et cos x et il ne reste qu'à montrer comment ces fonctions satisfont effectivement aux conditions dont on est parti.

L'application de la règle pour la multiplication des séries aux fonctions

permet de vérifier sans peine les formules

/ ç (.'T + y) = ç (a?) ç {]}) — ^{x)^ iu), (b) t}^{x + y) = <^ (x) ç (î/) + <!^ (^) ? {x\

' [<?{x)f+['}^ix)Y=l.

Je ne m'arrêterai pas à développer ces calculs, d'autant qu'on aura plus tard l'occasion de déduire ces formules de la définition des fonctions ç (x) et t\i(x) par une voie simple et naturelle (§ 113). Je me bornerai à montrer comment on peut établir la périodicité des fonctions o (x) et (]> (x) en partant des formules (a) et (b). Il faut tout d'abord arriver à la notion du nombre t.

La série qui définit ^j; (x) peut s'écrire :

toutes les quantités entre crocliets sont évidemment positives si l'on

a a?^ <: 6 et à fortiori si l'on a | a? | <: 2; ainsi <b (x) a une valeur

toujours positive si x est compris entre zéro et deux; il en est de

û) (x) même de — ^ si x est compris entre — 2 et + 2. D'un autre côté

les formules (b) donnent sans peine l'égalité

154 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

qui montre que le premier membre est toujours négatif s\ x ei x -\- h appartiennent à l'intervalle (0, 2) ; car alors ( ^ + ô ) appartient à

ce même intervalle et — est certainement compris entre — 1 et + 1 :

donc les deux facteurs qui figurent dans le second membre sont positifs ; ainsi dans l'intervalle (0, 2) la fonction o (x) est décroissante ; mais cette fonction se réduit à la valeur positive + i pour a; = 0 et en l'écrivant sous la forme

~ 2" "^ 24 ~ 1.2.3.47576 L ~ tTsJ ~ ■"