L (4n — l)4nj

on voit que toutes les quantités entre crochets sont" positives pour a? = 2

x^ x'* et l'on constate que pour la même valeur de x la quantité 1 — ^ + ^

est négative, on a donc

Donc la fonction o (x) continue et décroissante dans l'intervalle (0, 2), positive pour x ■=. 0, négative pour .r =: 2, admet une racine et une

seule comprise dans cet intervalle; désignons-la par ^- La formule

montre que l'on a

et la supposition 6 (^ j := — 1 doit être exclue puisque la fonction

<\i (x) est positive entre zéro et deux. Les formules (a) donnent ensuite

d'où

ç (a? + 2-) = 0 {X), 6 {X + 2r) = à {x), etc., ...

D'ailleurs les séries mêmes qui définissent o (x) et 6 (x) montrent que ç {x) est une fonction paire et à {x) une fonction impaire, c'est à dire que l'on a

par suite les formules précédentes, par le changement de a? en — x, donnent :

de

De ces diverses formules, et de ce fait, établi plus haut, que la

fonction 9 (.37) décroît de un à zéro quand x croît de zéro à -5 on

déduit sans peine la façon dont varient les fonctions 9 {x), à {x) ou cos X, sin a?, quand x varie dans un intervalle quelconque.

93. De ce que cos x est une fonction continue et décroissante dans l'intervalle (0, ::) et qui varie de 4- 1 à — 1, il résulte (§ 87) que l'équation en y

(1) 9 ((/) = cos y=: X,

admet, lorsque x appartient à l'intervalle ( — 1, i), une racine et une seule appartenant à l'intervalle (0, tt); cette équation (§ 87) définit donc ;/ comme une fonction continue et décroissante de x dans l'intervalle (—1, 1); la valeur de cette fonction, qui sera

désormais représentée par arc ces x (arc dont le cosinus est x), est toujours comprise entre zéro et tt, limites qui sont atteintes pour X = i ei X = — 1 ; toutes les solutions de l'équation (1) sont d'ailleurs données par la formule

y =z2n- ± arc cos x,

n étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif.

On verra de même que, x étant toujours supposé appartenir à l'intervalle (— J, 1), l'équation en j/

(2) à (y) = sin y = x

admet une racine et une seule comprise entre — ^ et + ^- Cette

équation définit y comme une fonction continue et croissante de x dans l'intervalle ( — 1,1); la valeur de cette fonction est toujours

comprise entre — i; et + [^; ces limites sont atteintes pour x =^ — 1

et a; = + 1 ; on représentera cette fonction par arc sin x (arc dont le sinus est x) : toutes les solutions de l'équation (2) sont données par les formules

y = 2?!- + arc sin x, y = {2n + 1) - — arc sin x,

n étant un nombre entier positif ou négatif. On établira sans peine les formules

arc sin ( — x) ■+■ arc sin x = 0, arc cos x + arc cos ( — x) =■ t:,

arc sin x •+■ arc cos x =^ '^^

Enfin la fonction tg x se définit par la formule

'b (x) sin X

tg X = ^— -' = ;

ç (x) cos X

les variations de cette fonction se déduisent sans peine des variations de sin x et de cos x; elle croît de — oo à + oo quand x varie de

— - à - ; elle est continue dans tout intervalle auquel n'appartient

pas un nombre de la forme (2 n + 1) - ? n étant un nombre entier

positif ou négatif. L'équation en y

(3) tg ^J ■-= X,

admet, quel que soit x, une racine et une seule comprise entre — -

et '^; cette équation définit y comme une fonction continue et croissante de a? dans tout intervalle; cette fonction, dont la valeur est toujours comprise entre — ^-^ e*^ + ^ se représente par arc tg x (arc

dont la tangente est x) ; toutes les solutions de l'équation (3) sont fournies par la formule

y = ?i X + arc tg x,

n étant un nombre entier positif ou négatif; on a

arc tg (— x) + arc tg x =:Q, quel que soit x, et

arc tg a; + arc tg - = ± ^ )

suivant que x est positif ou négatif.

Il n'y a maintenant aucune difficulté à établir les formules de la trigonométrie élémentaire, que je supposerai acquises désormais.

99. La méthode employée au paragraphe 96 peut conduire à de nouvelles et importantes expressions pour les fonctions trigonométriques (^). On a, dans ce paragraphe, utilisé les formules qui donnent le sinus ou le cosinus des multiples d'un arc, c'est en partant de formules du même genre qu'on arrivera aux développements que j'ai en vue.

Par exemple tg x est, comme on sait, une fonction rationnelle de

tg — ; si l'on suppose m pair, le degré du numérateur sera m — 1,

(•) lîuler, Intfoductio, etc., § 178.

158 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

celui du dénominateur sera m ; on trouve aisément l'expression

Iriu^onoinétrique des m racines de l'équation en t"- — oljtenue en

égalant ce dénominateur à zéro : ces racines s'obtiennent en donnant

à k les valeurs 0, 1, 2, ..., «i ^ 1 dans l'expression

elles sont deux à deux égales et de signes contraires, et leurs valeurs absolues sont

En appliquant ensuite la formule de décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples et en réunissant ensemble les fractions qui correspondent à deux racines égales et de signes contraires, on trouve :

tg X -^ 1

2m.tg— '--" \ mm\- — - — — — cos*^ — - — ^ ( «ag— ) • °m L 2w J 2m \ m/

Le terme écrit au second membre, lorsqu'on y fait croître m indéfiniment, a pour limite

(2FTir^f~:;

On est donc amené à comparer le développement (1) à la série

(^) Zé ^o/.^n^^-^ =^i + —- + -Ti + •••'

série absolument convergente (§ 65), pourvu que x ne soit pas un

multiple impair de '^'

La somme de cette série est la limite vers laquelle tend -

2 m ta- —

lorsque m augmente indéfiniment par des valeurs paires.

•sin X Pour le prouver, on remarquera d'abord que le rapport ■>

quand x varie de 0 à -» reste supérieur à - ; on a par conséquent, quels que soient les entiers positifs m et /c <; — >

m sin —

il est aisé d'en conclure que, en désignant par a un nombre positif

inférieur k ■> les termes du développement (4), pour les valeurs de m

supérieurs à une certaine limite, et à partir d'un certain rang, deviennent en valeur absolue plus petits que les termes correspondants de la série convergente à termes positifs

if^^ g {2k + 1)^ t:^ a.-' 9 ax^ 25 a t:'

Il en est de même des termes du développement (2) ; cette remarque et ce fait que la somme d'un nombre limité j) de termes du développement (1), quand m croit indéfiniment, a pour limite la somme des jj termes correspondants de la série (2) suffisent, en raisonnant comme on l'a fait dans le paragraphe 96, pour établir la conclusion demandée; on a donc

/ tga?^^^ 1

i '^x f^J2k + ly ,

On établira de même la formule

COt 07 r= — + 2J7 V

160 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

Au surplus cette formule peut se déduire de la précédente en y

changeant X en '^ — x.

cos™ — m

Par un procédé tout semblable, en partant de ce fait que — : est

sm a

une fonction rationnelle en tg 5 on parviendra à la formule

,-. , sm a; X ^. x^ — k^-

x'^ — '^' ' x'—ir.'-

Cette dernière formule peut aussi être regardée comme une conséquence des formules (3), (4) et de l'identité

tg ;:: + cot - :=

''2 2 sni X

Les formules (3), (4), (5) sont valables pour toutes les valeurs de x qui ne rendent infini aucun des éléments qui figurent dans les séries.

100. Ces expressions des fonctions trigonométriques mettent en évidence la périodicité de ces fonctions (').

Par exemple la formule (3) du paragraphe précédent équivaut à dire que — tg x est la limite, pour m infini, de la somme

or cette somme, lorsqu'on y change x en x + t., devient :

d'où il résulte que l'on a

lim 6,„ {X + ::) = lim 9„, {x),

>) Hermite, Conrs d'analyse à l'École îwhjUchniqne, p. 4;.

GIIAl'. IV. — DES SKHIKS ET DES l'JlODUITS INFINIS. l()i

OU

101. La formule (1) du parap,Taphe précédent donne encore lieu à une observation importante :

Les deux séries

sont divergentes; mais si on désigne par S,„, Sô, les sommes respectives des m premiers termes de ces séries, la somme S„, + S,',, lorsque m augmentera indéfiniment, aura pour limite — tg x. Si l'on prenait des nombres différents de termes w, n dans les deux séries et si l'on faisait augmenter indéfiniment m et îi, rien, dans ce qui précède, n'autorieerait à penser que la somme S,„ + S« dût tendre vers — tg X, ou vers quelque autre limite.

Au contraire, les séries dont les {k ■+• iy^"'<'^ termes sont respectivement :

ri ^1 n^ X ^

1^.^ + (2fc -M) ^ {2k + iy-j {2k + 1) ^x + (2 A- + if^ ^ (A- = 0, 1,2,...)

sont absolument convergentes (i) (§ 65) ; en désignant par Z,„, Z,' les sommes respectives de leurs m et n premiers termes, on est assuré que, de quelque façon que l'on fasse croître indéfiniment î)i et n, la somme 2,„ + Il tend vers une limite ; cette limite est d'ailleurs — tg X, comme on le voit en faisant m =. n.

Si l'on suppose maintenant ?)*- = n + |3, p étant un nombre entier

(') C'est l'applicalion à un cas particulier d'un procède très général dû à M. Mitta^- Letfler : Sur la représentation analytique des fonctions monogénes uniformes d'une indépendante (Acta matltcmatica, t. IV, p, 1).

Tanne» Y. — TMorie. 11

162 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

positif, OU aura

Zn^, + s: ~ (s„+^ + s;o

et il est aisé de voir (§ 49) qu'on peut faire augmenter n et p indéfiniment de telle façon que le second membre dépasse tel nombre que l'on voudra : dans ces conditions il est clair que S„+p + SI ne pourra avoir — ig x pour limite.

On peut aller un peu plus loin ; on montrera en effet (§ 104) que si l'on pose

(p (?i) est un nombre positif, croissant avec n et tendant vers une limite lorsque n augmente indéfiniment. On en conclut que la somme

[2n + 1 "^ ■•• "^ 2n + 2p — ij

1 , n + p peut se représenter approximativement par - log et que si p

p et n augmentent indéfiniment de telle façon que le rapport - ait pour

limite le nombre h, on aura

lim (S„+p + s;,) = — tg.x — - log (1 + h).