Je vais maintenant montrer que la somme de la série

où m est un nombre quelconque et x un nombre dont la valeur absolue est plus petite que un est égale à (1 -1- x)"' (^).

(») Le mode de démonslralion que je développe ici est dû à Abel : Recherches sur la sé.ie 1 + Y ^ -f- ^"^~ ^* + - (Œttvres, 2= éd., t. I, p. 219.)

Désignons en effet cette somme par 9 (ni) et multiplions la série (i) par la série

On peut appliquer la règle du paragraphe 58, puisque les séries (1), (2) sont absolument convergentes; on aura ainsi

9 (nj) X ? (n) = 1 + AjO? + A^a;* + A^xp + ...,

en posant :

On peut, par induction, écrire la formule

et chercher ensuite à établir l'identité

1(m + n) {m 4- n — 1) ... {m 4- n — p + 1) p =zm{m — 1) ... {m—p + 1) + - m (m — 1) ... {m—p ^-2)n ^o;.. ^Up — l)...(p-i+\) , ,, , . ,,

) -h...-h'-^ riT^ -}n{m—l)...{m—p + t+l)

Xn{n—l)...{n — i-\-l) \ + ... -h ?i (n — 1) ... (n — p + 1),

164 THÉORIE DES FONCTIONS d'L'NE VARIAIiLE.

OU, SOUS une forme plus facile à retenir, en faisant en général

[a] = a (a — 1) ... {a — i ni -+- n] :=. l'in] •+■ — [m] n -

mais l'identité (3) peut se démontrer sans calcul; en effet, le procédé même que l'on a employé prouve qu'elle est vraie lorsque tn et n sont des nombres entiers supérieurs à p, car alors il est clair que le produit du développement de (1 + x)'" par (1 -h a;)" doit être égal, terme pour terme, au développement de (1 + ic)'""^ ".

D'ailleurs les deux membres de l'identité à établir (3) sont des fonctions entières du degré }) de m et de n ; donnons à m une valeur entière quelconque supérieure à jj et supposons les deux membres ordonnés par rapport à n ; ils deviendront assurément égaux si l'on y suppose ?i = |) + 1, jj + 2, jj + 3, ... : mais deux polynômes entiers par rapport à n ne peuvent être égaux pour une infinité de valeurs de la variable sans que leurs coefficients soient égaux; donc les différents coefficients des diverses puissances de n, coefficients qui sont eux-mêmes des polynômes entiers en m sont égaux pour toutes les valeurs entières de m supérieures h p;'û résulte du même théorème que ces polynômes sont identiques, et l'identité (3) est démontrée, pour toutes les valeurs de m et de n; le produit des deux séries (i) et (2) est donc

c'est à dire 9 {ui. 4- n) ; en d'autres termes on a

Si l'on donne à x une valeur fixe, la somme* de la série (1) est, comme on l'a vu (§ 91), une fonction de m continue dans tout inter-

valle; à cause de la propriété de cette fonction définie par l'équation (4), la fonction ç est (§ 82) de la forme

ç (Wi) =: A"S

A étant une certaine constante positive, qu'on déterminera immédiatement en faisant m = i; on aura alors

A == <p (1) = 1 + ce; l'égalité

(5) (1 + xy^ = l + -x + -~^ -^ X'

est donc démontrée quel que soit m, pourvu que la valeur absolue de X soit inférieure à un.

Notons, comme cas particuliers, les formules

m (m + l) ... (ni + p — 1) ou, lorsque vi est entier,

'•^'^'•'(^-^) = 1.2.3 ... (m - 1) + 2.3.4 ... mx

+ (p + 1) {p +2){p + 3) ... {p + m — l)xP + ... ; 1 , 1 , 1.3 ^ 1.3.5 ,

103. On peut déduire de la formule (5) du paragraphe précédent le développement de log (1 + x) suivant les puissances entières et positives de x, développement qui est valable tant que l'on a ] d? | <: 1 .

On a montré en effet (§ 94) que log (1 + x) était la limite,

166 THÉOniE DES FONCTIONS d'uNK VARIABLE.

pour a := 0, de

or cette expression, pour les valeurs de x dont la valeur absolue est moindre que un, peut se développer en série procédant suivant les puissances entières et positives de x; on trouve qu'elle est égale à

Je supposerai, pour simplifier, que a tende vers zéro par des valeurs positives; il est clair alors que, en supposant a -< 1 et en désignant par ^ un nombre compris entre [ a? | et un, les termes de la série précédente seront, en valeur absolue, moindres que les termes de la série convergente

il est prouvé par là (§ 91) que la somme de la série (1) est une fonction continue de a, on obtiendra donc la limite vers laquelle elle tend lorsque a tend vers zéro par des valeurs positives, en faisant simplement a = 0 dans tous les termes. On a donc, pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 et + 1,

(2) log (1 + ^) =^ - 1 + I' - ... + ( 1/- . î! + ...

Le second membre est encore convergent pour j:* = 1 ; il résulte d'une proposition qui sera établie plus tard que la somme de la série

est encore log 2; pour x =: — 4 le second membre de l'équation (2) est une série divergente (§ 49) ; au surplus log (1 + x), pour x = — 1, n'a pas de sens.

Si dans l'équation (2) on remplace x par — x^ on trouve, en supposant toujours | a? | <; 1,

on a donc encore

logl+'^3 A',.^V. ^'

'l-^-~il ' 3 ' 5 '^-

en remplaçant dans cette formule x nar —

— ■> on obtient la

formule suivante qui, lorsqu'on y regarde n comme un nombre entier positif et h comme un nombre plus petit que un, permet de justifier la règle bien connue pour l'interpolation et qui, lorsqu'on y fait A := 4, permet de calculer de proche en proche les logarithmes des nombres entiers

log(u + /i)

— log H ^ 2 1 i f- ... .

104. Si, dans cette dernière équation, on suppose /t = 1, que l'on remplace successivement n par les nombres 1, 2, 3, ..., n — 1, puis que l'on ajoute membre à membre, on trouve :

log

(2îi — 1)'

La forme même du .second membre montre qu'il augmente avec n ; mais on voit bien aisément que chaque terme entre crochets est

moindre que le précédent multiplié par — et que, par suite, en dési-

gnant par A la somme de la série convergente

168 TlIKor.IK T)KS FONCTIONS D'uNE VAlilAlil.E.

2 A ce second memJn'e reste plus petit que le produit par — de la somme

de la séi-ie convergente

11 résulte de là que, lorsque ?i augmente indélinimenl, le premier membre tend vers une limite; on en conclut sans peine qu'il en est de même de la dilTérence

1 +-+... H log n.

Cette dernière limite porte le nom de constante d'Euler; sa valeur est :

Cet important résultat met bien en lumière, sur un exemple particulier, la possibilité d'approcher d'une limite quelconque, en intervertissant l'ordre des termes d'une série non aljsolument convergente (§ 60) ; si l'on pose en efTet

S„ = l +^-+- ^+ ... -i'j^ = 'io'-n + C + ç (n),

ç (h) étant une quantité qui tend vers zéro quand n croit indéfiniment, on aura

= log2n — - logu— - logp + 9 (2n) — -9 (n) — - 9 (p)

= log 2 + - log 'j + 9 (2,?) - - 9 (n) - l 9 iP\ et il est clair que si n et p augmentent indéfiniment de façon que le

C) Euler : Institvtiones calculi differentialis, i \k'i.

n rapport - tende vers une limite /«, la limite du second membre sera P

lo- -2 + - loy /*.

Les exemples qui précèdent suffisent pour faire pressentir au lecteur l'importance et l'intérêt que présentent les séries qui procèdent suivant les puissances entières et positives d'une variable; ils justifient l'étude que l'on va faire de ces séries considérées en elles-mêmes, indépendamment des fonctions particulières qu'elles peuvent représenter.

103, Étant donnée une suite infinie de nombres

Mo, Mj, t^2, ..., Un, ...

Considérons la série

(1) iIq + UiX + u, x^ -\- ... + n„ X" + ...

Deux théorèmes essentiels ont été établis par Abel (i); voici le premier :

Si, pour X = «, les termes de la série (1) restent finis; en d'autres termes, s'il existe un nombre positif A tel que l'on ait, quel que soii' le nombre entier positif n,

la série (1) est absolument convergente pour toutes les valeurs de x dont la valeur absolue est inférieure à celle de a. En effet, pour toutes ces valeurs, la série