En particulier si, pour x = a, la série
(1) iiç^ + n^x + iL^x^ + ... + u„X" -h ... est convergente, les termes de la série
(2) «0 4- Hjrt -h «,0- + ... 4- i(„a" + ...
tendenl vers zéro quand leur rang n croît indéfiniment; ils sont donc tous inférieurs à un certain nombre positif A ; la série (1) est donc absolument convergente pour toutes les valeurs de x inférieures à a, en valeur absolue; elle est uniformément et absolument convergente dans tout intervalle {p, q) dont les limites sont, en valeur absolue, inférieures à a ; mais il y a plus, et c'est en cela que consiste le second théorème d'Abel que j'ai annoncé, la série est uniformément convergente dans tout intervalle qui admet pour une de ses limites le nombre a lui-même, l'autre limite étant un nombre inférieur à a en valeur absolue; je démontrerai la proposition en prenant zéro pour la seconde limite et je désignerai par (0, a) l'intervalle considéré ('). Soit £ un nombre positif quelconque ; puisque la série (2) est
(') On diivrait (g 72) érrire {a, 0), si a était nccçatif.
convergente, au nombre s correspond (§ 41) un nombre entier positif p, tel que sous la condition n ^ j?, chacune des sommes
it„ a"
soit en valeur absolue inférieure à s. D'un autre côté, si x désigne un nombre compris entre zéro et a, pouvant d'ailleurs être égal à l'un ou l'autre de ces nom])res, les quantités
forment une suite de nombres positifs (ou nuls), décroissants (ou égaux), inférieurs (ou égaux) à un; par conséquent (§ 70), la somme
ii„
iCl"
Un + i ft"
... + Un + iX"-^'
est, quelle que soit la valeur de x appartenant à l'intervalle (0, a) et quels que soient les entiers positifs i et n^p, inférieure à e en valeur absolue, cela suffit (§ 89) à prouver que la série converge, ce que l'on savait déjà, et qu'elle converge uniformément dans l'intervalle (0, a).
Il résulte de là, et de la continuité de la fonction x", que la somme de la série (1) est une fonction continue de x dans l'intervalle (0, a) (§§ 75, 91) : cette somme a donc pour limite la somme de la série (2) lorsque x tend vers a par des valeurs plus petites que a en valeur absolue (*).
Par exemple la série
(') Je n'ai fait qu'amplifier ici, afiu d'en faire ressortir toutes les pari les, la démonstraliou qu'Abel a donnée en cinq lignes. Le\eune-ï)iTich\el(Journalds Liouville,^' série, t. VII, p. 251) a n^is sous une forme un peu difTérente la démonstration du même tliéorèm".
172 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
a pour somme log- (1 -f- x), lorsque x est compris entre — i et + 1 ; il résulte du théorème précédent et de la continui'é de la fonction log- (1 + a;), que la somme de la série convergente (§ 69)
est égale à log 2.
Il n'est peut-être pas inutile de faire remarquer qu'on n'aurait pas le droit de conclure la convergence de la séi'ie (6) de ce que la série (5) est convergente quand | ce | est plus petit que un et représente la fonction log (1 + x), continue pour a? = 1. On a par exemple, pour I ce I <: 1,
le premier membre est une fonction continue pour x = — 1 ; et pour cette même valeur de x, le second membre est une série divergente.
On aperçoit de suite la vérité des propositions suivantes.
La série (1) est uniformément convergente dans tout intervalle limité d'une part par le nombre a, de l'autre par un nombre plus petit que a en valeur absolue.
Si une série telle que (1) est convergente pour deux nombres (o, &), elle est uniformément convergente dans l'intervalle (a, h); sa somme est, dans cet intervalle, une fonction continue de x.
Mais il convient de remarquer que la convergence de la série (l), pour x = a, n'entraîne pas la convergence de cette série pour x = — a, cemme on le voit sur la série (5), convergente pour x = i, divergente pour X = — 1 .
108. Si une série procédant suivant les puissances entières et positives de la variable x contient un terme indépendant de x et est convergente pour d'autres valeurs de x que zéro, il existe un nombre positif s tel que, pour toutes les valeurs de x inférieures à £ en valeur absolue, la somme de la série soit différente de zéro.
Soit en effet
f(x) = Vp + u^x + i(,x- + ...
la série proposée, convergente tant que l'on a
\ X \ <z a, (a >- 0), et supposons
La somme f{x) de la série est une fonction continue dans tout intervalle ( — b, h) tel que l'on ait
0 <:?><: a; on a d'ailleurs
A tout nombre positif a moindre que | it„ | correspond donc un nombre positif s, que l'on peut supposer moindre que b et tel que, pour toutes les valeurs de x moindres que s en valeur absolue, on ait
I f{00) — iio I <a et, par conséquent,
On donnera d'ailleurs bientôt (§ ilO) une limite inférieure de la valeur absolue des nombres qui peuvent annuler f{x).
