Il résulte de ce tbéorème que, si deux séries

Uq + ttjiC + ... + u^x" + ...,

convergentes pour toutes les valeurs de x plus petites en valeur absolue que le nombre positif a, ont même somme pour une infinité de valeurs distinctes

plus petites que a en valeur aljsolue, différentes de zéro et telles que l'on ait

lim X,, = 0,

(') Il ne sera peut-ùlre pas iaulile de faire remarquer ca passant ijuc. quels que soient les signes des nombres A, 15, l'inesalité | A + B | <C entraîne les inégalités 1 A |< I B 1 + C, 1 B |< I A I + C.

174 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

elles sont identiques, c'est à dire que l'on a

Supposons en effet les n premiers coefficient! égaux dans les deux séries, mais «„ différent de t\, la série

aurait une somme nulle pour l'une quelconque des valeurs x^, .Tj, ... attribuées à. x; il en résulterait que la série

dans laquelle le premier terme (?/„ — t'„) n'est pas nul, aurait aussi une somme nulle pour x = x^, x^, ..., ei par conséquent pour des valeurs de x aussi voisines de zéro qu'on le voudrait, ce que l'on a démontré être impossible.

Si, par conséquent, une fonction f{x) peut, pour toutes les valeurs de X inférieures en valeur absolue à un nombre positif «, être représentée par une série qui procède suivant les puissances entières et positives de x, elle ne peut l'être que d'une façon.

Si une telle fonction s'annule pour x =:0, dans la série qui la représente, le terme indépendant de x doit être nul, en vertu du paragraphe précédent; plusieurs des coefficients qui suivent peuvent aussi être nuls; ils ne peuvent d'ailleui^s l'être tous, si la fonction n'est pas constamment nulle; si le premier coefficient qui n'est pas nul est le coefficient de x", on .voit que la série qui représente f\x) sera de la forme

tt„ X" ■+• iin+i a?"+* + M„+2 a?"+- + ... = a;" 9 {x),

en posant

0 {x) = U„ + Un + l OC + W„ + 2 X^ + ...

la série ç (.c), dont le premier terme it„ n'est pas nul, est convergente entre les mêmes limites que la série qui représente f {x).