Soit

f {x) =z Mo -f- U^X + U,X- + ...

une série qui procède suivant les puissances entières et positives de x,

convergente pour les valeurs de x inférieures en valeur absolue à un certain nombre positif, et dans laquelle enfin u^ est difl'érent de zéro.

Il résulte du paragraphe 108 que l'expression - — - a un sens et est

continue pour les valeurs de x suffisamment voisines de zéro.

Je vais montrer qu'il existe un nombre positif a tel que dans

l'intervalle ( — a, a) l'expression -7— soit développable en une série

qui procède suivant les puissances entières et positives de x. Cela résultera de la proposition suivante :

Soit

une série procédant suivant les puissances entières et positives de x, et pour laquelle les coefficients a^, a^, ..., a„, ... soient, en valeur absolue, au plus égaux à 1 ; cette série sera manifestement convergente pour les valeurs de x inférieures à un en valeur absolue. Je dis qu'il existe une série

convergente pour toutes les valeurs de x inférieures à - en valeur

absolue et telle que l'on ait, pour toutes ces valeurs,

Si la série à {x) existe, le produit 9 (a?) X ^ {oc) pourra se représenter (§ 58) par la série

en posant

c„ = a,, H- rt„, b^ + ... + tti b„i -h &„,

et, en vertu du paragraphe précédent, on doit avoir

176 THÉORIE DES FONCTIONS d'cNE VARIABLE.

ces équations déterminent les coefficients b^, h^, ..., h,„ ..., et, en vertu de la supposition,

les équatiorts précédentes donneront pour />,, b.^, ..., b,„ ... des valeurs qui devront satisfaire aux inégalités que voici :

1 6J ^ 1 4- 1 ou 2,

I ^3 I ^ 1 + 1 + 2 ou 2%

I &„ I ^ 1 + 1 + 2 + 2^ + ... + 2"-' ou 2"-',

or la série dont les coefficients sont des nombres qui vérifient ces

inégalités, est absolument convergente tant qu'on a | a; | <; - ; son

produit par ç (x) est bien égal à un, si les coefficients vérifient les équations

Cj r= 0, C, =r 0, ..., C„ = 0, ...

Il .suit de là que l'équation '^ (x) =z 0 n'a pas de racine entre

— ;; et -5 et que, dans cet intervalle, la fonction — -, — peut être 2 2 "^ ' 9 {x)

développée en une série procédant suivant les puissances entières et

positives de x.

Si maintenant, on se reporte à la série proposée f {x), on voit, en

y remplaçant x par A;;, qu'elle prend la forme

:;) = uAl + -^ z-h ...+ -^~ ;" + ... ; \ «0 Wo J

'expression \/ — pour >i = 1, 2, 3, ..., l'expression -jjj-rr pourra

si le nombre k est inférieur à toutes les valeurs que peut prendre

être développée en une série procédant suivant les puissances entières

et positives de ;, valable tant que l'on aura | ; | <: -; par conséqueni

l'expre.ssion - — - sera développable en une série procédant suivant les

puissances entières et positives de x, valable tant que l'on aura | x <: -■> en sorte que la valeur absolue de la plus petite racine de l'équation

est certainement supérieure à - •

Quant à l'existence du nombre /.•, elle s'établit comme il suit; soit a un nombre positif pour lo(piL'l la série f {x) soit convergente, on aura

lini I u„ I «" = 0,

et, par suite, on peut prendre p assez grand pour que, sous la condition n ^ p, on ait

I "„ I «" < I «0 N il suffira dès lors de prendre k plus petit que a et que les nombres

Si l'on considère maintenant une expi'ession de la forme ^^^-^>

où f (x) a le même sens que précédemment et où ç (x) désigne une fonction développable en une série procédant suivant les puissances entières et positives de x, convergente pour les valeurs de x qui sont, en valeur absolue, inférieures à un certain nombre positif, les deux

séries qui représentent ç (x) et —— -^ seront absolument convergentes ^ f{x) ^

pour les valeurs de x moindres en valeur absolue qu'un certain

nombre positif a; en les multipliant, on arrivera à une égalité de

la forme

qui sera valable pour ces valeurs de x. La règle de la multiplication montre d'ailleurs que les p premiers termes de la série qui ligure au second membre ne peuvent être nuls que si les p premiers termes

de la série cp (x) sont nuls.

Tanneev. — Théofie. 12

178 THÉORIE DES FONCTIONS d'unE VAIilAIiLE.

Supposons mainfenant que f (x) soit, toujours développable en une série qui procède suivant les puissances entières et positives de x, mais que cette fonction s'annule pour x = 0; elle pourra se mettre sous la forme a?" 6 (x), en désignant parn un nombre entier positif et par ^ (x) une série procédant suivant les puissances entières et positives de x dans laquelle le ternie indépendant de x n'est pas nul; on aura alors, pour toutes les valeurs de x inférieures en valeur absolue à un certain nombre positifs, une égalité de la forme

et par conséquent, pour ces rnèrnes valeui's de x, sauf la valeur zéro,

? {3C) W, fCj r„,

et it'o ne sera pas nul, si l'on n'a pas 9 (0) = 0.

o (x\ On a mis ainsi ' . . ^ sous la forme de la somme d'une fonction f[x)

entière en -•>

qui, d'après une proposition bien connue concernant la façon dont se comporte un polynôme entier quand la variable augmente indéfiniment, augmente indéfiniment quand x tend vers zéi'o et d'une série it'„ + u'„ + i, X + ... dont la somme est finie quand x est suffisamment voisin de zéro.