Soit

(1) Uq 4- u, + n, 4- ... -t- u„ + ...

une série dont les termes sont des fonctions de la variable x, qui procèdent suivant les puissances entières et positives de x, en sorte que l'on ait, pour toutes les valeurs 0, 1, 2, 3, ..., attribuées à l'indice i,

(2) u^ = «;o + Ui^x -h ... + «,•„.?" + ...:

supposons que toutes les séries (2) soient absolument convergentes

pour X =^ a^ a étant un nombre positif; désignons par U^ la somme de la série (2) lorsqu'on y remplace x par a et chaque terme par sa valeur absolue, en sorte qu'on ait

(3) U; =: u\o + ^''i» + ■•■ + H,'„rt" + ...,

en désignant en général par h-„ la valeur absolue de it,„. Si la série à termes positifs

est convergente, il est clair que, tant que x appartiendra à l'intervalle ( — a, + a), la série (1) sera uniformément convergente et qu'elle définira une fonction F {x) continue dans l'intervalle ( — «, + a). Je vais montrer que cette fonction peut être développée en une série procédant suivant les puissances entières et positives de x^

F {x) = l'o + VjO; + t\x^- + ... + i'„a;" + ...

et que l'on a, pour toutes les valeurs 0, 1, 2, ..., attribuées à l'indice n,

le second membre étant d'ailleurs une série convergente.

Considérons les deux séries à double entrée dont les termes généraux sont respectivement

Les indices i et n devant prendre indépendamment toutes les valeurs 0, 1, 2, ..., il est clair que les valeurs absolues des termes de la première sont plus petites que les valeurs absolues des termes de la seconde ; mais la seconde a tous ses termes positifs et est convergente : car si l'on groupe ensemble les termes qui répondent à une même valeur de i, on trouve pour somme U; et, en ordonnant ensuite suivant les valeurs croissantes de i, on retrouve la série (4) ; donc la série à double entrée dont le terme général est itj„iC" est absolument convergente et l'on retrouvera toujours la même somme de quelque façon que l'on groupe les termes. En groupant ensemble ceux qui répondent à une même valeur de i, on trouve pour somme Ui et en ordonnant ensuite par rapport aux puissances croissantes de i, on retrouve la

180 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

série (1) dont la somme est F (oc); au conti'airo, en g^roiipant ensemble les lertnes (|ui répcmdent k une même valeiic t]o n, on a pour somme 1',,./;"; (irdonnant enfin par )'ap|)ort aux valeui's croissantes de n, on aura

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Il est bien évident que le théorème qu'on vient d'établir ne suppose en aucune façon que les séries (2) soient illimitées; elles peuvent se réduire toutes à des polynômes et sont alors toujours convergentes. C'est une circonstance qui se présente dans l'importante proposition qui fait l'objet du paragraphe suivant.