Soit

(1) f{x) = «0 + a^x + a^x'^ + ... + a„Xn + ...

une série procédant suivant les puissances entières et positives de x; supposons qu'elle converge pour toute valeur de x inférieure en valeur absolue au nombre positif A.

La somme f {x) de cette série sera une fonction continue de x dans tout intervalle dont les limites sont, en valeur absolue, inférieures à A.

Ceci posé, désignons par x un nombre dont la valeur absolue x' soit plus petite que A et par /( un autre nondjre dont la valeur absolue // soit moindre que A — x' , en sorte que, x + /t étant inférieur en valeur absolue à A, la série

soit convergente.

Si l'on regarde x comme donné, le second membre est une fonction de /(, définie tant que la valeur absolue de h est inférieure à A — x' et les divers termes peuvent être remplacés par des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de/;; d'ailleurs si l'on désigne par H un nombre positif inférieur à A — x\ la série

où «,',,«!, «1, ••• désignent les valeurs absolues de «„ «,, a„ ... est convergenle; par conséquent, tant que l'on a

on se trouve dans les circonstances prescriies pour l'application du théorème du paragraphe précédent : la variable h remplace la variable x, H remplace a, a^ {x + lif remplace n^ et le développement ordonné suivant les puissances ascendantes de h remplace la série ('2); Ui^ doit ainsi être remplacé par