n toutefois, on doit avoir

et les ternies qui ne satisferaient pas à cette condition doivent être effacés. Enfin la quantité désignée dans le paragraphe précédent par U^ n'est autre chose que a- {x' + H)'.

La fonction de /i, f {x + h) peut donc être développée suivant les puissances ascendantes de h, et le coeflîcient de /i" qui remplace le terme v,^ du paragraphe précédent sera ici

ri n 2^ ' ^' ~ -^^ ••• ^' — '' ■*■ ■^' '*'^''~"'

la quantité multipliée par — ■> écrite plus explicitement, est

n (n — 1) ... l.rt„ + (n + 1) n ... 2.a„+iX -\-{n-{-2)n...3.a,+2X^+---+{n+2)){:n-hp—l)...{p-hl)a„+p.xP-i-...

C'est, en vertu du paragraphe précédent, une série convergente tant que I a? I est plus petit que A.

En résumé, on est parvenu au théorème que voici.

Soit

I f (x) = «0 + u-iX + a,x- + ... + a„x" -+- ...

une série procédant suivant les puissances entières et positives de x., convergente pour les valeurs de x qui sont, en valeur absolue, inférieures à A ; pour ces mêmes valeurs de x, les séries

/ f (x) = «j + 2ri,x + SctyX'- + ... + (n + 1) a„+^ x" + ..., " l f" {x) = 1.2«, -+- 2.-Sa^x + ... + (n + 1) {n -h 2) a„ + .,x" -h ...,

l /'w') (.r) = 1.2 ... pa„ + 2.3 ... {p + 1) a,^,x + ...

182 THÉORli: DES FONCTIONS d'uNE VAUIABLE.

sont converçentes et l'on a

/ f {x + /() = a^ + fl, {x + h) + a, {x + hf + ..

fix)

pour toutes les valeurs de x et de h qui satisfont aux conditions IV 1 a; I < A, 1 i; I + I /, I < A,

le signe <; excluant l'égalité.

Les séries/"' {x), f (x), ... sont dites dérivées première, seconde ... de la série f (x).

Il convient de remarquer que loi's même que la série (I) serait convergente pour x = A, on ne saurait affirmer la convergence des séries (II) pour cette valeur de x; par exemple si l'on prend

rw = ,, + 2^, + .

on aura

rw = 'M + ..

la première est convergente pour x = 1, la seconde est divergente.

D'un autre côté, si l'on se donne le nombre x plus petit que A en valeur absolue, il peut se faire que la convergence de la série

s'étende à des valeurs de /( pour lesquelles on ait

. Si l'on prend par exemple

f{x)=l—x + x^ — x'+... = —!^-^^ I -^M < 1. on trouvera sans peine, en appliquant les formules (II) et en tenant

GlIAP. IV. — DES SÉRIES ET DES PRODUITS INFINIS. 183

compte des formules finales du paraij;raj)he i02,

en sorte que l'équation (III) donnera

f IX + h)

l -h X + h l + X (1 + x)- (1 + xf

résultat que l'on aurait d'ailleurs pu déduire immédiatement de l'identité

On voit par là-même (|ue la dernière série converge tant (juc Ton a

tandis que les inéi^alités (IV) auraient donné 1 — [ .r j pour la limite supérieure de | /; | .