X) = COS
<li [x) = Slll 3C =: -' —
1 1.2.3 1.2.3.4.5 on trouvera, pour les séries dérivées,
les dérivées se reproduisent ensuite périodiquement de quatre en quatre ; la formule (6) donnera alors
,0{X + h) = 0 {X) (1 - ^ ib {x -Y- h) = <h {x) { 1
ou
C'est la vérilication annoncée au paragraphe 97
114. On a vu (§ 108) que si, dans une série qui procède suivant les puissances entières et positives de la variable, un coefficient n'est pas nul, il existe un nombre positif loi que la somme de la série soit différente de zéro pour toutes les valeurs de la varialjle, autres que zéro, qui sont, en valeur absolue, inférieures à ce nombre.
11 est aisé d'en conclure que si
f{x) = «0 ~h ll^X -h 11, X- + ...
désigne une série convergente tant que l'on a | x | -< A, A élant un nombre positif, et dans laquelle tous les coefficients n^, Uj, î/^, ...
ne sont pas nuls, il est impossible que la fonction f{x) et ses dérivées
f (x) = n^ + 2u,x + Su^x^ + ...,
/•" (x) = \.2u^ + 2.3uyX- + 3Au,x^ + ...,
soient toutes nulles pour un nombre x = x^, dont la valeur absolue est moindre que A.
En effet la formule
valable tant que l'on a
Ixl-^a, l/^|<A-l^|, montrerait, en y remplaçant x par a?,, que la supposition
f{x,) = o, r{x,) = o, rix,) = o,...
entraînerait l'égalité
pour toutes les valeurs de /( satisfaisant à l'inégalité
Ainsi la fonction f{x) serait nulle pour toutes les valeurs de x appartenant à un intervalle fini (a, ^); il en sei^ait de même de toutes ses dérivées; en effet, si l'on applique la formule (1) à une valeur de x qui appartienne à l'intervalle (a, P), le second membre devra être nul pour toutes les valeurs de h telles que x -^ h appartienne aussi à l'intervalle (a, ^); or cela, d'après le théorème du paragraphe 108 que l'on vient de rappeler, ne peut avoir lieu que si tous les coefficients /■(.«), f (x), f" (x), ... de la série ordonnée suivant les puissances de h qui constitue ce second membre, sont nuls. Si l'intervalle (a, 13) contient le nombre zéro, la même proposition montre que l'on doit avoir
Uq = 0, H, .= 0, if^ = 0, ...;
si l'inlervalle (a, (3) ne conlicnt pas le nombre zéro, sui)pos()ns, jiour fixer le langage, que ses deux limites a, p soient posilivcs, en sorte
186 TIIKOJUE DES FONGTIUNS d'uNE YAIUAULE.
que l'on ait
En fai.s:inl dans la formule (1) j? = a et en observant que cette formule convieni cei'laiiiement pour les valeurs de /« telles que l'on ait
on voit que la supposition
eniraine l'égalité
pour toutes les valeurs de h qui vérifient l'inégalité précédente; ainsi, pour toutes les valeurs de x comprises entre a — ([3 — a) et a la fonction f{x) et toutes ses dérivées seraient nulles; si l'intervalle que limitent ces deux nombres contient le nombre zéro, le théorème est démontré ; s'il n'en est pas ainsi, on continuera de la même façon et il est clair qu'on finira par prouver l'existence d'un intervalle fini, comprenant le nombre zéro, et dans lequel la fonction f{x) est constamment nulle, ce qui, encore une fois, ne peut avoir lieu sans que tous les coefficients it,,, ^t^, u^^ ... soient nuls. Soit toujours
une série convergente tant que l'on a | x | <; A, A étant un nombre positif et supposons qu(î tous les coefficients «„, u^, !<„ ... ne soient pas nuls.
11 ne peut y avoir une infinité de nombres distincts x^, as^, ..., x„, ... plus petits que A en valeur absolue et ayant pour n infini une limite ^ plus petite que A en valeur absolue, tels que l'on ait
f{x,) = o, r(-r,) = o, ..., nx,,) = o, ...,
il suffit en effet de poser
X = ^ ~\- /(, Xi-=l + /il, ... x„=. ç, + /'„, ...,
et de considérer le développement de /'(?, + /') suivant les puissances entières et positives de h pour voir que la somme de la série ainsi
obtenue devrait être nulle pour les valeurs h^, h„, ..., /(„, ... données à /i; or la suite infinie de ces valeurs a pour limite zéro; il faudrait donc que tous les coefficients de la série fussent nuls; en d'autres termes la fonction f (x) et toutes ses dérivées seraient nulles pour X = ^q.
La proposition ne serait plus vraie si l'on avait ç = A.
Dans un intervalle ('p, q), dont les limites sont inférieures à A en valeur absolue, il ne peut y avoir une infinité de valeurs distinctes de X pour lesquelles la fonction f{x) soit nulle. En effet le tbéorème démontré dans le paragraphe 38 prouverait l'existence d'un nombre ^ appartenant à l'intervalle (}:>, q) et qui .serait la limite d'une suite infinie de nombres cCj, a*,, ..., cc„, ... appartenant au même intervalle et pour lesquels f (x) s'annulerait. Deux séries
? {^) = ^'û -^ '*'rï''+ ^'r*' + •••.
convergentes tant que l'on a | ic ] <: A, ne peuvent être identiques pour une infinité de valeurs distinctes appartenant à un intervalle (p, g), dont les limites sont inférieures à A en valeur absolue, à moins d'être identiques terme à terme, en sorte que l'on ait
Dans cette proposition, on ne peut supposer que l'une des limites jj, q soit égale à ± A.
Deux séries procédant suivant les puissances entières et positives de X ne peuvent représenter la même fonction de x dans aucun intervalle, si petit qu'il .soit, sans être identiques.
