Si l'on a, en con.servant les notations précédentes

nx) = o

pour X =z a^„ I x^ \ étant un nombre plus petit que A, on pourra mettre f{x) sous la forme

f(.,) = (jo-x,)"^(x).

n est un nombre entier positif qui indique l'ordre de la première des

188 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

dérivées

r(^), ror), ror), ...,

qui ne s'annule pas pour x = ;r, ; et l'on a

c'est, une série qui procède suivant les puissances entières et positives de X — .c,, convergente tant que l'on a

et dans laquelle le premier terme n'est pas nul.

Si l'on désigne par f (x) et ç (x-) des séries qui procèdent suivant les puissances entières et positives de x, convergentes tant que la valeur absolue de x est inférieure au nombre positif A, et si, en désignant par x^ un nombre dont la valeur absolue est inférieure à A, la fonction f (x) n'est pas nulle pour x = x^, on aura une égalité de la forme

jj^^ = A, + Aj {x - X,) 4- A, {x - x,Y -H ...,

où A^, Aj, A,, ... sont des constantes; cette égalité est valable pour les valeurs de x — Xj telles que l'on ait, en désignant par £ un certain nombre positif,

Ao ne peut être nul que si la fonction o (x) est nulle pour x = x^.

Si, en conservant la même signification aux symboles f (x), o (x), la fonction f (x) était nulle pour x ■=. Xj, on pourrait poser comme tout à l'beure

et l'on parviendrait à une égalité de la forme

? (^) Ao Aj A„i

+ A„ + i (.c — a'i) + A„+2 (.c — Xj)- + ...,

où Aj, Aj, ... désignent des constantes; cette égalité serait valable

CHAP. lY. — DES SÉRIES ET DES PRODUITS INFINIS. 189

pour toutes les valeurs de x — Xi autres que zéro, et moindres, en valeur absolue, qu'un certain nombre positif. Enfin Ao ne pourrait être nul que si l'on avait

116. Voici encore une application du théorème du parai^raphelli

dans le cas où les séries désignées par tii se réduiseni à des polynômes.

Partons de la formule

(1) (1 + xr = 1 + - a; -(- ^^^^ x^ + ...

et regardons-y x comme une quantité donnée dont la valeur absolue x' est inférieure à un; les deux membres sont alors des fonctions continues de m. Si l'on désigne par M un nombre positif supérieur à | lu |, la série

est convergente; dès lors, si l'on regarde les coefficients des diverses puissances de x comme des polynômes ordonnés par rapport aux puissances ascendantes de la variable m, on pourra, pour toutes les valeurs de m inférieures à M en valeur absolue, ou, puisque M est arbitraire, pour toutes les valeurs de m, appliquer la transformation décrite au paragraphe 111 ; on mettra ainsi (1 + x)'" sous la forme

v.,ri}- +

... + Vj,m

en

posant

< 1 VÏ73

Vj,=

xi'

...ip-

— Ij

ttjj, est la somme des pi'odiiils diflérents obtenus en prenant p

190 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VAUIABLE.

facteurs dislincts panai les nombres

Toutes les séries i\, r,, ..., î'^„ ... sont couvergenles tant que l'on a I >c I <: 1. Mais, d'un aulre côlé, on a (§ 9i)

[l0ir(l + X)]"

Les deux séries procédant suivant les puissances entières et positives de m doivent être identiques terme à terme; on a donc, pour | ce | <; 1,

log(l+x) = -2 + 3-...

[log (l + x)Y- X-

117. Je vais maintenant donner des applications du théorème du paragraphe 111 pour lesquelles les termes de la série transformée sont des séries indéfinies procédant suivant les puissances entières et positives de la variable.

Reprenons la formule

établie au paragraphe 99.

Cette série est convergente, en particulier, pour les valeurs de ce*

tu" plus petites que — ; mais pour ces mêmes valeurs de x^, on a, en

désignant par n un nombre impair quelconque,

Si l'on désigne par a un nombre positif quelconque <:ô' ^'"^ Iransforrnation du paragraphe 411 sera légitime tant que l'on aura | a; 1 < a, c'est à dire | x | <: ^ et l'on pourra, dans ces conditions, écrire

en faisant

si l'on désigne en général par S^ la somme de la série, convergente pour )• >» 1,

^ = p + 2. + 3,.+ -, on a (§ 59)

et par conséquent

On désigne sous le nom de nombres de Bernoulli, les nombres B définis par l'équation

on a par conséquent

et

tg^2(2--l) , 2M2--1) 2^ - 1.2 ^'^ 1.2.3.4 ^^"^ +•••

'^ 1.2.3 ... {2p -i- 2) ^"' La définition qu'on a donnée plus haut des nombres de Bernoulli

192 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

cache leur propriété d'être des nombres rationnels; mais cette propriété apparaît bien facilement comme il suit.

La série (1) ou (2) est absolument convergente tant que l'on a

I x I -<: ^'; si on la muliiiilie par la série

on devra retrouver la série

sin a; 11 1 a?* 1 oc>

en égalant les coefficients des diverses puissances de x^ on obtient une infinité d'équations du premier degré qui permettent de calculer de proche en proche les quantités A^, Aj, A^, ..., et dont voici les premières :

Ao = 2'

A, — ri. ^0 = —

ces équations montrent bien que les noml)res A, et par conséquent les nombres B, sont rationnels; on trouve ainsi

et

Ao

Les nombres de Bernoulli qui viennent ensuite sont

3 en 43 867 174 611

Le développement de tg x en série se présente sous une forme un peu plus simple, si l'on pose

a,^^, r= 2.1.2.3 ...(2iJ + l) A,, ^-—A__ Ib,^,;

les formules qui ont permis de calculer de proche en proche les quantités A donnent alors

+ ...H.(-ir^-^a,^(-ir;

elles montrent que les nombres a sont entiers. La formule

(!) Les nombres do BeraouUi s'iatroduisent dans de nombreuses questions d'analyse et jouissent de curieuses propriétés arithmétiques parmi lesquelles je citerai la suivante, découverte en même temps par v. Standt et Giausen. On a

en désignant par E„ un nombre entier positif ou négatif et par 2, a, p, .■., X les nombres premiers qui, diminués d'une unité, divisent 2 n.

On doit à M. Kummer la proposition suivante {Journal de Crelle, t. XL, p. 130) : L'équation de Fermât x + y =z z ne peut pas être résolue en nombres entiers si ^ est un nombre premier impair qui ne figure pas en facteur dans les numérateurs

des ^ (^ — 3) premiers nombres de Bernoulli; parmi les nombres premiers inférieurs

à 50, il n'y a que le nombre 37 pour lequel le Ibéorômo de Fermât ne se trouve pas démontré par la proposition de M. Kummer.

Tanneuv. — Théorie. 13

met de même en évidence la possibilité de développer en une

série procédant suivant les puissances entières* et positives de x, convergente tant que l'on aura

Sil

'on pose

cos* = "»

on aura pour déterminer 1

es

quantités «„,

, . la formule

où

pn + 1

ÏH+I

et les

équations

qui montrent que les nombres a sont entiers (-).

J'ajoute à ces développements le suivant que le lecteur établira sans peine et qui est dû à M. D. André :

les développements de tsr x et de ■ s'en déduiraient immédiatement.

cosx

(>, Euler, Litroihictio, etc., § 175.

(5} Les nombres «2p4-i' ^-in ^^'^ ^^^ considérés par M. Catalan (Mémoires de l'Académie royale de Belgique, t. XLVII, 1877) et par .M. D. André (Journal de Liouville, série III, t. VII), qui en a donné une curieuse définition combiuatuire.

th X

Si l'on clierchail, en supposant possible le développement de — — •> réaliser ce développement, on poserait th X sh X

2x 2x ch X

les termes de degré impair n'ont pas été écrits parce que le premier membre ne change pas quand on y remplace x par — x ; puis l'on égalerait, terme par terme, la série obtenue en multipliant la série qui figure dans le dernier membre par la série

à la série

sh £C 1 1 \ x"- i X'

Yx ~ 2 1'^ 2 1.2.3 "*" 2 1.2.3.4 "^ "■'

on obtiendrait ainsi une infinité d'équations qui permettraient de calculer de proche en proche les coefficients A'; il suffit de comparer ces équations à celles qui nous ont permis de déterminer les coefficients A pour s'assurer qu'on les vérifie toutes en prenant

le développement

Aq — ^^x- + K^x' + ... + {—ly k^.x'^p + ...,

th X auquel on parvient ainsi, est bien égal à - — > tant que l'on a | ce |

<; '-• Dans cette condition, en effet, il est absolument convergent et

son produit par ch x est égal à

Relativement à la dernière série obtenue, il peut être utile de remarquer qu'on déduit sans peine de la première expression donnée pour A^, l'inégalité

en sorte que, dans cette série, les valeurs absolues des termes vont en diminuant constamment, tant que l'on a | ,x | <; ^^-

196 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

De l'égalité

th ^ . » 9 A .

on peut déduire, en remontant la chaîne des raisonnements que l'on a descendue pour obtenir le développement de -^ — j la formule

''='> {2 k + Vf y + X-

qui, à la vérité, ne serait démontrée par cette voie indirecte que pour

les valeurs de x moindres que ^ en valeur absolue, mais qui subsiste

pour toutes les valeurs de x.

On trouvera de la même façon

(6) ,- C - c«t ^) = h + rP^^ C^'^-^' + -

^ ^ Ax\X / 1 .2 1.2.3.4

"^"^^ {2xr^^' + ...,

On doit supposer dans ces équations | aH <; ■;:. Au surplus, on transforme les unes dans les autres les formules (2), (6), (7), au moyen des relations

tg a; = cot a? — 2 cot 2x,

= cot - — cot X.

sm X 2

pour les fonctions -

contenterai de citer la formule

On a des formules analogues pour les fonctions - — ? - — -; je me

. . tli a; sh .r

r i ^ ni^B. B,

Bp + ,

qui est applicable tant que l'on a | J2 | <; 2 t:.