Soient les deux séries

/(î/) = «o + Wivy + i(,^ii-

où les coefficients it, v sont des constantes. Supposons que la seconde série soit absolument convergente pour x =i a^ a étant un nombre positif; soit h la somme de la série à termes positifs

où 1^05 '*^n ^2> ••• sont les valeurs absolues de i\^ \\^ v.^, ...; supposons enfin que la série (4) soit absolument convergente pour y z=h, c'est à dire que la série à termes positifs

où ttp, u[, u'^, ... sont les valeurs absolues des termes m^; u^, t(,, ..., soit convergente.

Pour chaque valeur de x telle que l'on ait | a? | ^ a, la série {% sera absolument convergente et aura une somme plus petite que h en valeur absolue ; si dans la série (1) on remplace y par cette somme, on aura une série absolument convergente ; la somme de cette série peut ainsi être regardée comme une fonction définie de x pour toutes les valeurs de x telles que l'on ait | a? | ^ «. Je vais montrer que cette fonction

peut être développée en une série qui procède suivant les puissances entières et positives de x et que l'on formera de la façon suivante :

n étant un nombre entier positif quelconque, on peut, en appliquant la règle de la multiplication des séries, mettre [ç (x)]" sous forme d'une série

(5) [9 (.r)]" = v,„ + v^^x + v,nOO' + ...,

198 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

qui sera absolument convergente tant que l'on aura \ x \ <z a; considérons maintenant la série à double entrée dont le terme général est

les nombres m et n doivent prendre toutes les valeurs 0, 1, 2, ..., en excluant toutefois les combinaisons de n = 0 avec toute autre valeur de m que la valeur m =: 0 et en convenant de prendre r„„ = i . On va démontrer tout à l'heure que cette série à double entrée est absolument convergente, sous la supposition \ x \ <: a; en groupant ensemble les termes où n est le même et ordonnant par rapport aux valeurs croissantes de ?i, on retrouve évidemment la série

n, + u, 0 ix) + H, [9 {x)Y + ...,

c'est à dire F {x)\ en groupant ensemble les termes pour lesquels m est le même et ordonnant par rapport aux valeurs croissantes de m, on obtient la série cherchée

F {x) — Uo + 2 'n,V(,„ + ^ 2 '*'"^">" '^ '^' 2] "'«^'^"' "^ •••

Tout revient donc à démontrer la convergence absolue de la série à double entrée; or, si on désigne par x' la valeur absolue de x et que l'on fasse

il est clair que la composition de r,',„ au moyen des quantités v'f,, v[, v^, ..., sera la même que la composition de v„,„ au moyen de i\, Vj, t\, ..., en sorte que l'on a certainement

Si maintenant on considère la série à double entrée, dont le terme général, essentiellement positif, est

cette série est convergente puisque, en groupant ensemble les termes

pour lesquels n est le même, on retrouve la série

m'o + U\ <^' {X') + II'., [9' (x')f + ...,

laquelle est convergente, à cause de la convergence de la série (4), où le nombre positif h est plus grand que le nombre positif 9' {x'). Comme on a d'ailleurs

la convergence absolue de la série à double entrée dont le terme général est

est évidente.

Si la série (1) est convergente quel que soit y, la série qui donne F (x) sera certainement convergente pour toutes les valeurs de x telles que l'on ait | a? | <:: a ; la convergence peut d'ailleurs s'étendre plus loin, comme le lecteur pourra s'en convaincre en prenant

ç,(a?) = ^ — I + | — ... =log(l +a;);

on ne pourra manquer de trouver

et la série limitée qui figure dans le second membre est convergente

quel que soit x.

La proposition démontrée dans ce paragraphe sert surtout à assurer

la possibilité de certains développements en série.

Par exemple, l'expression

(1 + xY

définit une fonction de x tant que l'on a | a; | -< 1 : dans ces mêmes limites, elle peut être représentée par une série; en effet, on a

[l -\- XY =^6=" =:p - 3 4 .

la série qui figure en exposant est absolument convergente tant que

200 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

l'on a I j; I <: 1 ; on peut donc développer (1 + x)'' suivant les puissances entières et positives de x, tant que l'on a | .T | <: 1 : on obtient

^- /. 1 11 , Tf , \

[)ar la multiplication des séries qui représentent e ^,e * , e *,...: c'est là un mode de calcul qui sera légitimé plus tard (§ 122).

119. De même qu'on a considéré des séries dont les termes étaient

des fonctions d'une variable x, de même on peut considérer des

produits infinis dans lesquels les facteurs sont des fonctions d'une

variable.

Soit

ifj, «2, ..., i<.„, ...

due suite infinie de fonctions de a; définies dans l'intervalle (a, b); considérons le produit infini

Si ce produit est convergent pour chaque valeur de x, appartenant à l'intervalle (a, h), on dira qu'il est convergent dans l'intervalle (a, h). S'il en est ainsi et si à chaque nombre positif e correspond un nombre entier positif^ tel que sous la condition q ^ jj on ait

et cela quelle que soit la valeur de x appartenant à l'intervalle (a, h), on dira que le produit infini converge uniformément dans l'intervalle (a, h).

Si un produit infini converge uniformément dans un intervalle (a, h) et si ses facteurs sont des fonctions continues dans cet intervalle, il définit une fonction continue dans cet intervalle.

Si la série

Ui 4- t<2 4- ttj + ...

est absolument convergente dans l'intervalle («, h), on dira que le

produit infini

"If (1 + u„)

est absolument convergent dans cet intervalle, sa valeur ne dépendra pas alors de l'ordre de ses facteurs et ne pourra être nulle que si l'un de ses facteurs est nul.

Les produits infinis qui sont à la fois uniformément et absolument convergents dans un intervalle {a, h) sont évidemment ceux dont la considération fournira le plus de renseignements sur les fonctions qu'ils représentent.

S'il existe en particulier ' une suite infinie de nombres positifs 9i, 9-2^ •••, 9n, ••• tels que la série

soit convergente, et tels que l'on ait, pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, h),

le produit infini

sera uniformément et absolument convergent dans l'intervalle (a, h); si, en outre dans ce même intervalle, les fonctions u^, u^, ... sont continues, le produit infini définira une fonction continue dans ce même intervalle.

Toutes ces propositions ou sont des conséquences immédiates des théorèmes qui concernent les produits infinis, ou s'établissent comme les théorèmes analogues relatifs aux séries dont les termes sont des fonctions d'une variable; je me contenterai, sans insister davantage sur les démonstrations, de signaler quelques applications.