En vertu de la convergence de la série

1 1 1 P -^ 2^ -^ 3^ -^ le produit infini

202 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

est absolument et uniformément convergent dans tout intervalle; il définit une fonction continue dans tout intervalle, impaire, s'annulant pour X = 0, ±1, ±2, ... et seulement pour ces valeurs de x; une autre propriété de cette fonction apparaît facilement sur cette forme, à savoir la périodicité de la fonction à (x). La démonstration est toute pareille à celle du paragraphe 100.

On verra de la même façon que le produit infini, convergent dans tout intervalle,

définit une fonction continue dans tout intervalle et jouissant de la propriété

121. Les fonctions o (x) et à (x) qu'on a introduites au paragraphe

sin T.x . .

précèdent ne sont autre chose que les fonctions ? cosTrrc, ainsi

qu'on va le démontrer en appliquant la même méthode qu'aux paragraphes 92, 96 et 99.

cos X sin X X

Les fonctions — ? — sont des polvnôrnes entiers en tg — ;

cos"' — sm'" — m m

les principes de la trigonométrie fournissent sans peine les racines de ces polynômes et la formule de décomposition d'un polynôme en facteurs binômes donne ensuite les équations

^j^coso.

sinj-

(2) =miii

cos'" —

Dans la première formule 2 r + 1 est égal à m — 1 ou à m — 2,

selon que m est pair ou impair; dans la deuxième s est égal à

m — 2 , ou a — - — 5 selon que m est impair ou pair.

Occupons-nous de la première équation : faisons-y croître m indéfiniment par valeurs entières et positives, et comparons le second membre au produit infini

dont les divers facteurs sont les limites vers lesquelles tendent les facteurs correspondants du second membre de l'équation (1). Considérons en même temps le produit infini