D= II
où K désigne un nombre quelconque plus grand que | a; |; à cause de la convergence de ce produit, à chaque nombre positif e correspond un nombre]? tel que, pour ce nombre (ou les nombres plus grands), on ait
On aura à fortiori, à cause de | j:; |
car la valeur absolue du résultat obtenu en ne prenant dans le premier membre qu'un nombre limité de facteurs est plus petite que le résultat
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correspondant obtenu en prenant dans le premier membre de (6) le même nombre de facteurs, comme il devient manifeste en supposant les multiplications effectuées.
De même, dès que m sera assez o-rand pour que l'inégalité
soit vérifiée, on aura
tyi — 2 2 )i + d
en effet, puisque r est au plus égal à — - — ? les quantités "
it toutes comprises entre zéro et ^; on a donc
to- (^'^ + 1) - (2n + 1) -^ inégalité qui, jointe à l'inégalité (7), donne
m iix
Ceci posé, désignons par A, B, C les produits respectifs des p premiers facteurs du second membre de l'équation (1), du produit infini (3) et du produit infini (4), par A', B' les produits respectifs des facteurs qui complètent soit le second membre de l'équation (1), soit le produit infini (3) : supposons p déterminé de façon que les inégalités (6) et (8) soient vérifiées, on pourra en conclure
i' et r/ étant des quantités dont la valeur absolue soit inférieure à s.
Il s'agit de montrer que la quantité
( I AA' — BB' 1 = 1 A (1 + e') — B (1 + -q') \
i ^lA-B| + ls'Al + |VB
reste au-dessous de telle limite que l'on voudra fixer lorsqu'on prend m suffisamment grand.
Or, si l'on détermine un entier positif n assez grand pour que, sous la condition m :> n, on ait
(7) w tg — <; K
et
on aura, à cause de l'inégalité (7),
puis, à cause de l'inégalité (9), et en remarquant que C est plus petit que D,
I AA' — BB' 1 <: (2D + 1) s.
En d'autres termes, sous la condition îu >- n, la différence
cos X
cos'"
est en valeur absolue moindre que (2 D + 1)£; puisque D est fixe,
que c est arbitraire et que, enfin, cos"' — a pour limite l'unité quand
m augmente indéfiniment, il est clair que l'on a
(11) cos X =
on aura de même
TiTi ^1—1
C) Ces formules sont dues à Euler : Introductio, clc, § 158. Euler les déduit des formules
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