Soit

un produit infini dans lequel les quantités î^j, h,, ..., i*,^, ... soient des fonctions de x développables en séries suivant les puissances entières et positives de x, en .sorte que l'on ait, pour n = 1, 2, 3, ...,

et supposons que, a étant un nombre positif, les séries (2) soient, pour X = a, absolument convergentes, soit en généi^al

en désignant par t'i„, dî,,, Vo,,, ... les valeurs absolues de v,„, i'j„, x\^, ...; si la série à termes positifs

est convergente, il est clair que le produit infini (1) définira une fonction f {x) continue dans l'intervalle ( — a, + a); je vais montrer que cette fonction peut être représentée par une série, convergente

analogues pour ch x et sli x qu'il élablit par l'analyse suivante : l'identité

- — i= n (i-2îcos^+2M = »» n ^

! 2 — 2 cas — I

iloane après un calcul facile, en remplaçant z i)ar 1 + '

en faisant ensuite croître m indéîiniment et remplaçant chaque terme par sa limite, on trouve

— ^ = sb.^.J^(l + ^^l);

ch jT s'obtient de la même façon ; il serait facile de rendre cette analyse aussi rigoureuse que celle qui a été développée dans le texte.

dans le même intervalle, qui procède suivant les puissances entières et positives de x.

Désignons en effet par

(5) V,„ + Vj„a; + V,„a?- + ...

la série obtenue en multipliant les n premiers facteurs du produit (1) d'après la règle ordinaire de la multiplication des séries, et par

(6) V'„„ + VV„a + V;„a^ + ...

la série obtenue de même en multipliant les n facteurs 1 + ttj, 1 + u[., ..., 1 + u'n; la composition des quantités Vo',„ Vj',,, V^a, ... au moyen des quantités v\j est la même que celle des quantités ¥„„, ^1715 Vg^, ... au moyen des quantités Vij-, en sorte que l'on a, quels que soient les entiers positifs 2', q-,

la somme de la série (6) est d'ailleurs supérieure ou égale à celle de la série (5) tant que x appartient à l'intervalle ( — a, a); soient d'ailleurs A et B deux nombres positifs, l'uri supérieur, l'autre inférieur à la valeur du produit

p="n^(i + iC)-

la somme de la série (6) est inférieure à P, il en est de même des quantités Vô„, V,'„ a, ..., V^„ a^, ...; considérons par exemple A^,. et supposons qu'en conservant le premier indice p, on fasse croître n ; il est clair que les quantités Vp„ iront en grandissant avec n ; puis-

qu'elles restent inférieures à — 5 la suite

admet une limite que je désigne par V^ ; de même, quand n grandit indéfiniment, la quantité

toujours inféiieure à A, tend vers la limite

v; + V',a + ... + V^rtP

208 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

qui est elle-même au plus égale à A, quelque y rand que soit p ; la série (7) V; + \\a + ... + Yla" + ...

est donc convergente et sa somme est au plus égale à A.

D'un autre côté, on peut prendre n assez grand pour que le produit des 71 premiers facteurs du produit infini P, c'est à dire la somme de la série (6), soit supérieur à B; il en sera de même, à fortiori, de la somme de la série (7) : cette dernière somme devant être comprise entre A et B est nécessairement égale à P.

De ce que, p restant fixe et n croissant indéfiniment, V^',j tend vers une limite, il résulte que, dans les mêmes conditions, V^„ tend vers une limite; cela résulte, au fond, de ce qu'une série convergente à termes positifs reste convergente quand on change le signe d'autant de termes que l'on veut ; mais on peut se dispenser de porter l'attention sur la composition, quelque peu compliquée, de la série en question en raisonnant comme il suit : soient 77i, n deux nombres entiers positifs et supposons m >- n; si l'on imagine les quantités Vp„, V^,, écrites sous forme de polynômes entiers par rapport aux quantités positives t'îj, on voit de suite que tous les termes qui figurent dans V^„ figurent aussi dans V^^; en sorte que la différence V^',„ — V/,,, se compose de termes essentiellement positifs; d'ailleurs la différence ^pm — ^pn se compose des mêmes termes, pris les uns positivement, les autres négativement, en sorte que l'on a