IV V I <^ V V

or, £ étant un noinlire positif quelconque, il existe un entier positif q tel que, sous la condition

la différence V^m — V^„ soit moindre que s; il en est de même de la différence Vj„„ — Vp„ ; lors donc que n augmente indéfiniment, V^„ tend vers une limite et si on la désigne par V^,, on aura

Puisque la série (7) est convergente, la série (8) Vg + Vjjî + \\x- + ...

est absolument convergente pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle ( — a, a).

Ceci posé, il reste à prouver que, si l'on considère une valeur fixe quelconque de x appartenant à cet intervalle, la somme S (ce) de la

série (8) est égale à la valeur f {x) du produit infini ïï (1 h- u^),

c'est à dire à la limite, pour n infini, du produit de ses n premiers facteurs, ou encore à la limite, pour n infini, de la somme S„ (a) de la série

dans laquelle les coefficients V„,., Vj„, ..., Vp„, ..., ont respectivement pour limites les quantités V„, Vj, ..., V^,, ... : désignons par S'^', Sl.^> les sommes des p + 1 premiers termes des séries (8) et (5), par R^^'^ R,V" leurs restes.

Si l'on se donne arbitrairement un nombre positif s, il existera, à cause de la convergence de la série à termes positifs,

un nombre entier positif p tel que le reste de cette série, limitée au terme Vp a'', soit moindre que e ; en vertu des inégalités

les restes Wp\ R;/'^ des séries (7) et (5) seront à fortiori moindres que £ en valeur absolue, et cela quel que soit le nombre n ; d'ailleurs puisque S^"^ a, pour n infini, une limite égale à S"^\ on peut, au nombre £, faire correspondre un entier positif m tel que l'on ait, sous la condition n ^ >n,

I S'^" — S,V'^ I <£; dès lors l'égalité

S {x) — S„ {x) = S^-*') — '^\^^ + p,(p) KO')

montre que l'on a

|S(^)-S„G^)|<3e, Tanneky. — Théorie. u

SOUS la seule condilion n :> m. La proposition est donc entièrement démontrée.

Considérons par exemple le produit infini

. ^, , , , sin -KX dont la valeur est, d'après le paragraphe Vil, égale a - ^ ; de ce

que la série

est convergente quel que soit x, on peut conclure que le produit infini

peut être développé, par le procédé du paragraphe précédent, en une

série procédant suivant les puissances entières et positives de x*,

convergente quel que soit x; le coeflicient de x- sera la somme de la

série

Comme on a, d'autre part,

sin T.x Jl r^ {r.xy ~] j l^^ ,

on en conclut

c'est l'un des résultats obtenus au paragraphe 117 où l'on a donné l'expression des nombres de Bernoulli, au moyen des séries