Le produit infini

donne lieu à des remarques analogues à celles que l'on a faites (§ 101) à propos des développements des fonctions trigonométriques en séries

ClIAP. IV. — DES SÉRIES ET DES PRODUITS INFINIS. 211

de fractions. Tout d'al)ord, ainsi que je l'ai déjà dit, la forme même du produit infini met en évidence la périodicité de la fonction sin tîj-.

La décomposition en facteurs du premier degré donne lieu à la remarque suivante :

Le produit de

par

. sni r.x a pour limite lorsque 1 on suppose p := n ei que n augmente

indéfiniment; il n'en est pas ainsi, comme on le verra bientôt, lorsque les deux nombres n et p augmentent indéfiniment tous les deux indépendamment l'un de l'autre, et cela tient à ce que le produit infini

n'est pas convergent.

On peut toutefois substituer à ce produit divergent un autre produit infini, absolument et uniformément convergent, et où figurent les

facteurs x, \ + -■> 1 + 0' •••' tel est en effet le produit (•) :

Ou a en effet

en posant

2n- 1 3 71' ■■■ ^ ^ 1.2 ... {p — 2)pnP

(') L'introduction des facteurs exponentiels dans les produits de ce genre esl due à M. "Weierstrass; elle lui a permis d'établir un théorème d'une graudo généralité. Le mémoire de M. Weiorstrass jiublic dan^'les Ahliandlungen {1870) de l'Académie de Berlin, acte traduit par M. Picard diins les A un. de l'École normale (2"^ série, t. VIII, p. 211).

212 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

01- si l'on pose, en désignant par A un nombre positif plus grand que I X I,

on voit sans peine que la série à termes positifs

Uj4- U, + ... 4-U„+ ...

est convergente; car la série à double entrée dont le terme général est

l^A^ rp = 2, 3, 4, ... \ p^p' \n=l, 2, 3, ... /

si l'on réunit ensemble les termes pour lesquels p est le même et si l'on pose

prend la forme

Or, il suffit de remarquer que les quantités S^ diminuent lorsque p augmente, pour être assuré de la convergence de la dernière série; la série à double entrée et la série

sont donc convergentes.

Il résulte de là que le produit infini (2) est absolument convergent pourvu que l'on ait | ce | <: A, c'est à dire quel que soit x, puisque A est arbitraire, et qu'il peut être mis sous forme d'une série procédant suivant les puissances entières et positives de x, convergente quel que soit x.

124. Désignons par 0 {x) la valeur de ce produit infini et par 5„ (x) le produit de ses n + 1 premiers facteurs ; on aura