nç^{x) = x{x + 1) (a? + 2) ... {x + n) e
en posant
mais on a vu (§ 114) que lorsque n augmentait indéfiniment, la différence s„ — log n avait pour limite le nombre désigné sous le nom de constante d'Euler,
On peut donc, en désignant par £„ un nombre qui a pour limite zéro quand n augmente indéfiniment, poser
S„ — log 71 + C + £„,
et par suite
(3) 1 .2.3 ... n ç„ (iK) = a; (a; + l)(a; + 2) ... Oï; + n) c~"<'"'""^''''")-
On déduit de là, en changeant ic en ic + 1 et en divisant membre à membre l'équation ainsi obtenue et l'équation (3),
Çn (O? + 1) -(log« + C4-î„) X + n -{- l
nx
lorsque n augmente indéfiniment, la limite du second membre est
évidemment - e-^\ on a donc
Si l'on se reporte à la définition de s (x), on voit de suite que l'on a
et l'égalité
sin r.x " = » A x'-\
r.x n-i\ nV
donne ensuite
sin izx ? (.t) ç (— X) iz X
214 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
OU, puisque l'égalité (4) donne, en changeant a; en — x,
On a, d'un autre côté,
",r(i E\^Lv.(-^)^— ^
et en multipliant :
^ "n" (i + î) X "iT (i ï) = 1 ,,, (^) ,, ( X) «'<■..- ••)•
Si l'on fait croître p et q indéfiniment, de façon que le rapport —
tende vers une limite K, la différence Sp — s^ aura pour limite log K, ©p (ce) et Çç ( — x) auront pour limites respectives o {x) et ç ( — a;), le second membre aura donc pour limite
K sin -xa?
125. On a défini, dans le paragraphe précédent, une fonction 9 (x) qui jouit de la propriété
'j (x -h l) = - e-^ 0 (x); il est clair que la fonction
^ {x) = e^^ o {x) jouira de la propriété
pour me conformer aux habitudes, je poserai
II (x) = ^{x + 1)=:: e^f-+" ç (a? + 1) = ?!lli:ï).
on aura alors
(1) Il (X 4- 1) =
Cette fonction H (x), développable comme la fonction s (x), en une série qui procède suivant les puissances entières et positives de x, convergente quel que soit x ('), est définie par les égalités suivantes, où l'on a conservé les notations du paragraphe précédent :
= lim ^^+ ^^ {x + 2)...(x + n) ^__^^„^„ „ = / 1.2.3. ..n
la dernière expression se déduit immédiatement de l'avant-dernière, où l'on remplace log n par log (?i + 1) et log (?i + 1) par la quantité égale
log
(i + ;)-'°8(i-;r^)---'°Ki-*-ï)-
Les formules (2) donnent immédiatement la valeur de la fonction II (x) pour îc =r 0, savoir
(3) "^^^=",!ii''Ir72T::Tt="^'
la formule (1) donne ensuite, pour x entier,
Lu formule (5 bis) du paragraphe précédent montre que l'on a (5) II (a; — 1) n (— x) ==
(I) Co rcsullal est dû à M. Weiorslras?.
sin "Tzx
216 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
Les formules (1) et (5) montrent que, pour avoir la valeur numérique de n (x), il suffit de pouvoir calculer cette valeur numérique
dans un intervalle quelconque d'étendue égale à -• Gauss, à qui l'on
doit l'introduction de la fonction II (x), a donné avec vingt décimales les valeurs de log II (x) pour les valeurs de x comprises entre zéro et un, de centième en centième (Œuvres, t. III, p. 184). M. Bourguet (Acta Mathematiea, t. II, p. 288) a donné avec vingt décimales les vingt premiers coefficients du développement en série de la fonction n (ce — 4).
Cette dernière fonction est l'inverse d'une fonction célèbre, considérée à un point de vue tout différent par Euler, et que l'on désigne haljituellement par T (x) ; en vertu des formules (2) et, en remarquant que e--^'°E" est égal à n""^, on voit que l'on peut écrire
r [X) = lim
aux propriétés de la fonction II (x) correspondent les propriétés suivantes de la fonction T (x),
T (x + l) = xr{x),
r (x) r (1 -x) = -^^^' r (l) = Vr.,
^ ' ^ sm r.X \2/
r (1) = 1, r {n) =1 2.3 ... (?2 — 1) {n entier positif).
