CHAPITRE V

DES DERIVEES.

126. Lorsqu'on se donne une fonction f {x) continue dans un intervalle (a, h) et que l'on veut connaître la marche de la fonction pour les valeurs de la variable voisines d'un nombre x compris entre a et &, il est naturel de comparer les variations de la fonction à celles de la variable; en d'autres termes, si l'on donne à la variable un accroissement h, d'où résulte pour la fonction un accroissement f {x + h) — /"(«), il convient d'étudier le rapport

on suppose, bien entendu, que x -\- h appartienne comme x à l'intervalle (a, h).

Ce rapport dépend des deux nombres x et h; il n'a point de sens pour /i = 0 ; lorsque l'on fait tendre le dénominateur h vers zéro, le numérateur f (x + h) — f (x), à cause de la continuité de la fonction f{x), a aussi pour limite zéro; dans ces conditions il peut arriver que le rapport tende vers une limite; on dit alors que, pour la valeur considérée de x, la fonction admet une dérivée : cette dérivée n'est autre que la limite du précédent rapport.

L'existence de la limite suppose évidemment la continuité de la fonction pour la valeur considérée de x; parler d'une fonction qui admet une dérivée, c'est supposer implicitement^ que cette fonction est continue.

Si l'on se reporte à la définition du mot limite (§ 79), on voit qu'on devra préciser comme il suit la définilion de la dérivée.

Soit f(x) une fonction continue dans l'intervalle (a, b); soit x une

248 THÉORIE DES FONCTIONS Ij'uNE VARIABLE.

valeur appartenant à cet intervalle; on dira que, pour cette valeur x^ la fonction admet une dérivée s'il existe un nombre X jouissant de la propriété suivante : à chaque nombre positif s, si petit qu'il soit, correspond un nombre positif r^ tel que l'on ait

pour toutes les valeurs de h moindres que r^ en valeur absolue, et telles que a? + /i appartienne à l'intervalle (a, 6) ; le nombre X est la valeur de la dérivée de la fonction f {x) pour la valeur x de la variable.

On remarquera que, si x n'est pas une des limites a, h de l'intervalle, et si le nombre X existe, rien n'empêchera de prendre le nombre •/; assez petit pour que x + r^ et a? — •/; appartiennent à l'intervalle (a, &); dès lors l'inégalité (4) devra subsister pour toutes les valeurs de /*,, autres que zéro, comprises entre — r^ et + •/; ; on pourra donc dire, dans ce cas, que la fonction / {x) admet, pour la valeur considérée x, une dérivée X si à chaque nombre positif e correspond un nombre positif r^ tel que, sous la condition

0 <: I /j I <; •^, on ait

C'est à cette définition précise qu'il faut toujours se reporter quand on parle d'une fonction admettant une dérivée pour une valeur donnée de x; on sous-entend que la fonction est définie pour cette valeur et pour les valeurs voisines, plus petites ou plus grandes, et qu'elle est continue pour la valeur donnée de x.

Revenons maintenant au cas d'une fonction définie dans un intervalle (a, h); si l'on a a? = a, h devra être positif; r^ étant pris moindre que h — a, l'inégalité (4) devra subsister pour toutes les valeurs de h comprises entre zéro et y;; on dit quelquefois, pour éviter loute ambiguïté que, s'il en est ainsi, la fonction f {x) admet, pour x = a, une- dérivée à droite; l'expression à droite vient de l'habitude que l'on a de représenter une valeur de x par un point sur une droite, point dont la distance à un point fixe 0 de la droite est mesurée par

CIIAP. V. — DES DÉRIVÉES. 219

la valeur absolue de x et qui est à droite ou à gauche du point 0 suivant que x est un nombre positif ou un nombre négatif. De même, si l'on a a? = & et si l'on a pris •/)<:?> — a, l'inégalité (1), toujours en admettant l'existence du nombre X correspondant à la valeur X = h, devra subsister pour toutes les valeurs de h comprises entre zéro et — Y]. On dit alors que, pour a? = &, la fonction admet une dérivée à gauche. Au surplus, ce n'est que dans des cas spéciaux qu'il y a lieu de porter l'attention sur les limites de l'intervalle.

Si la fonction admet une dérivée pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, 5), à chacune de ces valeurs correspond une valeur du nombre X précédemment défini; en d'autres termes X peut être regardé comme une fonction de x dans l'intervalle (a, h) ; c'est cette fonction qu'on désigne sous le nom de fonction dérivée, ou plus •simplement de dérivée de la fonction f (x) ; on la représente habituellement par l'un ou l'autre des symboles

On dit dans ce cas que la fonction f (x) admet une dérivée dans l'intervalle (a, h).

Il peut se faire que la fonction f (x) soit continue dans l'intervalle (a, b) ou dans une partie de cet intervalle, et qu'elle y admette elle-même une dérivée; on représentera celle-ci par

ro^), ou ^, ou mnx).

Cetle nouvelle fonction prend le nom de dérivée seconde de la fonction proposée f {x) ; on arrivera de même à la notion des dérivées troisième, quatrième, ..., ?i'*"'%

d'^fix)

dx' '

dx> '

rfa;"

Rien, dans ce qui j)récède, n'autorise à supposer que la continuité

220 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

d'une fonction entraîne l'existence d'une dérivée ; et en effet il n'en est pas ainsi (i).

Toutefois les fonctions qui admettent des dérivées présentent un intérêt si prépondérant qu'il n'y a guère lieu, au moins dans l'état actuel de la science, de considérer les autres ; je ne m'y arrêterai pas davantage.

127. On a déjà rencontré la notion de dérivée au paragraphe 112; si la série

est absolument convergente pour les valeurs de x plus petites, en valeur absolue que le nombre positif a et si x est une telle valeur, on a vu que les séries

f'\x) = n^ + 2u^x -\- ... ■+■ ?2îf„.j?"-' + ...,

sont convergentes, qu'il en est de même de la série

f{^) + Y f (^) + 1^ f' (^) + - + TT^, f"" (^) + •••'

pour toutes les valeurs de h moindres en valeur absolue que a — \ x \,

que, enfin, la somme de cette dernière série est f (x -f- h). On en

conclut que le rapport — -^ y ~:i pour les mêmes valeurs

de h, est égal à la somme de là série

mais la somme de cette série est une fonction continue de la variable /(, pour /i, =:= 0 ; cette somme, lorsque h tend vers zéro, a donc pour limite f (x); f (x) est bien ainsi la dérivée de f (x), et cette dernière

(') Voir le mémoire de M. Darboux, Sur les fonctions discontinues, p. 92 el suivantes, le livre de M. Dini, Fondamenti..., p. 147, un mémoire do M. P. du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der wirkiirlichen Functionen réelle Argumente nach ihren Aenderungen in den Itleinsten Intervalle [Jotirnal de Crelle, t. 79. p. 29), où se tniuvo cilo un exemple dû à M. Weierslrass, etc.

fonction a une dérivée dans tout intervalle dont les limites sont, en valeur absolue, moindres que a ; on voit de même que, dans un tel intervalle, f (x) est la dérivée de f (x) ou la dérivée seconde de f{x), etc.