Cette règle, appliquée aux séries

cos a? == 1 —

sin X = X —

ch a; = 1 +

montre que ces diverses fonctions ont des dérivées pour toutes les valeurs de x et que ces dérivées sont respectivement

X log- a

x' (log- af

(^+^)' cos j? = sin ( J7 -+- ,^j'

?^, a^ log a, — sin x = cos

sh a?, eh x ; les dérivées ^li^"'"' des quatre premières sont respectivement

e^ a'^ (log a)", cos ix + '^5)' •'^i" \^ + " 5)'

les dérivées tf^'^"^ de ch x et sh x sont sh j? et eh a; si n est impair, ch X et sh a? si n est pair ; les dérivées successives de cos x et de sin x se reproduisent périodiquement de quatre en quatre, elles sont respectivement

sm X,

— cos X,

sm a?,

cos X, ...

cos X,

— sin X,

— cos X,

sin a?, ...

129. Si, au lieu d'avoir affaire à une série illimitée comme dans les

exemples précédents, on considérait un polynôme entier en a?, de degré n,

f{x) = U^ + UiX + u,x^- + ... + u„x",

les mêmes calculs qu'on a faits au paragraphe 112, très simplifiés d'ailleurs et débarrassés do toutes les complications qu'entraîne la considération d'un nombre infini de termes, montreraient que, si l'on pose

f {x) = «1 + 2u.^x + ... + nu^x"-\

f {x) = 1.2 u, + 2.3 u^x + ... + (n — 1) nu„x''-%

f"{x) = 1.2.3 ... nu,, on a'

le second membre est un polynôme entier en h et par conséquent une fonction continue de h; il en résulte, comme précédemment, que f i^)-) f" i^)i ■•■■> f" (^) -orit Iss n premières dérivées de f{x); quant à la ?i + 1 '^"^ dérivée, c'est à dire la dérivée de f" (x) =z i .2 .3 . . . nii^, elle est nulle, comme la dérivée de toute constante, puisque l'accroissement d'une constante est nul, ainsi que le rapport de cet accroissement à celui de la variable. Il en est de même évidemment des dérivées suivantes.

En particulier la dérivée de x", où n est un entier positif, est n x"~^; on retrouvera ce résultat tout à l'heure.

130. Considérons encore les fonctions log x et x"". Si l'on suppose que X est un nomljre positif et que l'on donne à cette variable un accroissement /;, la fonction log x prend un accroissement

log {x -\- h) — log j? = log ( I H — y en supposant | /j ] <; x, on a (§ 103)