DES

DERIVEES.

iéq lient

log {x +

log

à cause de la continuité pour h = 0, du second membre regardé comme une fonction de h, on voit que ce second membre, quand h

tend vers zéro, a pour limite — et que par conséquent la fonction log x

admet pour dérivée —■> pour toutes les valeurs positives de x.

De même l'éoalité

[m 1 m (ni — ]) h ~]

valable, si x est un nombre positif, pour toutes les valeurs de /( telles que l'on ait \ h \ -<: x, montre que la fonction x"' admet une dérivée pour toutes les valeurs positives de x et que cette dérivée est m a?'""'.

131. On a utilisé, pour ces divers exemples, les développements en série établis dans le cbapitre précédent ; le lecteur trouvera dans les divers livres qui traitent de la matière d'autres procédés pour trouver les dérivées des fonctions simples que l'on a considérées dans les derniers paragraphes; il démontrera sans peine les propositions suivantes où t/, t\ w, ... désignent des fonctions de la variable x, en nombre fini, admettant, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle (a, h) des dérivées u' , v\ w' , ...

Si A, B, C, ... désignent des constantes, la fonction de x

y =z An + Bv + Gtv -h ...

admettra, dans l'intervalle considéré, une dérivée et cette dérivée sera

?/' = Au' + Bv' + Gtv' + ...

La fonction

y =r uv

224 THKORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

admet, dans le même intervalle, une dérivée, et cette dérivée est

y' =z u' V •+■ uv' .

On peut encore écrire

y' ri' v'

Si l'on désigne sous le nom de dérivée logarithmique d'une fonction le rapport de la dérivée de cette fonction à la fonction elle-même, on peut donc dire que la dérivée logarithmique d'un produit de deux facteurs est égale à la somme des dérivées logarithmiques de ces facteurs ; cette proposition s'étend au cas de trois, quatre, . . . facteurs : elle est générale.

Par exemple, si l'on suppose

y z= uvw on aura, en désignant par y' la dérivée de y,

y' u' v' il)

= II' vw -+- uv' w +

Si l'on suppose

y = u'", m étant un nombre entier positif, on aura

La fonction

admet une dérivée pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, b) et qui n'annulent pas v ; cette dérivée est