COS X
est
sin^ X 4 cos- X 1
— = l + tg^ X, cos- X cos- ,/;
pour toutes les valeurs de x qui n'annulent pas cos x. De même, la dérivée de
cos a? 1 .
COt X = :=
sm X tg X
est
les dérivées de
sin- X \ tg* j'J '
sh X 1
ch X th X
Tanneky. — Théorie.
226 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
sont respectivement
-4- = 1 — th' X, — -4- = 1 - T^ •
ch' X sh* X th- X
Les règles précédentes permettent de trouver les dérivées des fonctions entières ou rationnelles, les dérivées des fonctions œ^., sin a:, cos ce, sh ac, eh ce, et de celles qu'on déduit de ces fonctions par addition, multiplication, division, élévation aux puissances. J'établirai dans les deux paragraphes qui suivent deux théorèmes qui permettent d'obtenir les dérivées des fonctions obtenues par d'autres combinaisons de ces fonctions simples,
133. Soit u = f{x) une fonction de x admettant une dérivée u' dans l'intervalle (a, h) ; soient A et B les limites inférieure et supérieure de la fonction u dans cet intervalle; regardons pour un instant u comme une variable indépendante et soit cp (u) une fonction de cette variable admettant une dérivée o' (w) dans l'intervalle (A, B); il est clair que, à chaque valeur de x appartenant à rinter\-alle (a, fe), correspond une valeur de u appartenant à l'intenalle (A, B) et par conséquent une valeur de o {u); en ce sens ç {u) peut donc être regardé comme une fonction de x définie dans l'intervalle (a, &); je vais montrer qu'elle admet une dérivée égale à o' (w) X u' .
Considérons, en effet, une valeur particulière x appartenant à l'intervalle (a, b); soit u =. f{x). la valeur correspondante de la première fonction. Si l'on donne à x un accroissement h, la fonction u prendra un accroissement h ^ f {x -\- h) — f {x) et il s'agit de montrer que, lorsque h tend vers zéro, le rapport
tend vers une limite, et d'évaluer cette limite.
Supposons d'abord que, pour les valeurs de | /i | inférieures à un certain nombre positif y), k ne soit pas nul, sauf pour h = 0, le précédent rapport pourra s'écrire
Si l'on fait fendre h vers zéro, k tend aussi vers zéro, à cause de la continuité de la fonction u, et le facteur
tend, par définition, vers la valeur u' de la dérivée de la fonction u = f (x) qui correspond à la valeur x de la variable ; le premier facteur
a un sens pourvu que | h | soit inférieur à r, et différent de zéro; lorsque h tend vers zéro, il en est de même de k, et le rapport a pour limite o' (ti); la dérivée de la fonction de x, ç (m), prise par rapport à X, est donc bien le produit de la dérivée de la fonction © (u) prise par rapport à u par la dérivée de u prise par rapport à x.
S'il arrivait que pour les valeurs de \ h \ inférieures à n'importe quel nombre positif y], il y eût toujours des valeurs de k qui fussent nulles, on verrait tout d'abord que la valeur de u' est nécessairement nulle ; on pourrait, en effet, former une suite infinie de nombres
ayant zéro pour limite, et telle que l'on eût, pour toutes les valeurs entières et positives de n,
en sorte que la suite dont le ?i""^ terme est
aurait zéro pour limite.
D'autre part, le raisonnement primitif s'applique pour toutes les valeurs de h auxquelles ne correspondent pas des valeurs nulles de k ; en sorte que l'on peut affirmer que, à chaque nombre positif e correspond un nombre positif s' tel que l'on ait
228 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
pour toutes les valeurs de h plus petites que e' en valeur absolue et auxquelles ne correspondent pas des valeurs nulles de k; mais à ces valeurs de /(- que l'on vient d'exclure correspondent des valeurs nulles du précédent rapport; leur exclusion est donc inutile et l'on peut affirmer que, lorsque h tend vers zéro, le rapport
? (» + k) — cp (u) h a pour limite zéro.
Ce théorème s'étend sans difficulté ; si en conservant les notations précédentes on désigne par A^, Bj les limites inférieure et supérieure de la fonction cp (u) dans l'intervalle (A, B) relatif à la vai'iable u et que, en posant v :=: <f {u), on considère une fonction é (v) de la variable v admettant une dérivée -y (v) dans l'intervalle (Aj, B,), on pourra regarder t]^ (y) comme une fonction de x; cette fonction admettra une dérivée dans l'intervalle (a, h) et cette dérivée sera
(];' (v) X ?' i'u) X u', etc..
Voici quelques applications :
La formule cos x = sin ['- — x] montre que l'on peut regarder
(îH
cos X comme le sinus de la variable h = - — x; la dérivée de cos x est donc égale à la dérivée de sin u = sin l^ — xj par rapport à u, c'est à dire cos u = cos l'^ — xh multipliée par la dérivée de u,
c'est à dire — 1 ; la dérivée de cos x est donc — sin x; on relie ainsi des résultats établis précédemment (i^ 128).
Si u désigne une fonction de X, admeltant une dérivée u', les dérivées des fonctions de x
à", log u, n'" seront
a" il log a, 1 «Mf'"~'« ,
puisque les dérivées de
a^, log X, X"'
sont
Relativement aux fonctions \og u., n'", on doit supposer que pour les valeurs de x appartenant à l'intervalle considéré, ii leste positif; toutefois cette restriction ne serait pas nécessaire pour k'", si m était égal à une fraction iri'éductible à dénominateur impair; en convenant de prendre
si u était négatif. Dans ce cas encore, la règle de dérivation serait la même.
134. Soit /'(jy) une fonction de la variable y admettant,, dans l'intervalle (A, B), une dérivée f {y); considérons l'équation
et supposons (ju'il y ait une fonction continue (^ (.r), continue dans l'intervalle (a, t>), dont les limites inférieure et supérieure relatives à cet intervalle soient comprises entre A et B; telle enfin que, x étant une valeur quelconque appartenant à l'intervalle (a, b), la valeur de f{y) soit égale à x lorsqu'on remplace y par © (x); une telle fonction existera certainement (§87) si la fonction f{y) est croissante dans l'intervalle (A, B) et si l'on prend
Je vais montrer que la fonction ?/ = ? (x), dite fonction inverse de la fonction f {]])■, admet une dérivée pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle («, h) et qui n'annulent pas /'' (?/), et que cette dérivée est
Considérons, en effet, une valeur de x appartenant à l'intervalle (a, h) et la valeur correspondante de y; si l'on donne à x un acci'oissement h, y =o (x) prendra un accroissement k=z<s{x -\- h) — s (x) et l'on aura
/■ (,'/) = *•, /' iU + ^) = x -i- h:
230 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
ces deux égalités montrent d'abord que l'on ne peut avoir k :=0 sans que h soit nul ; on en tire d'ailleurs
A cause de la continuité de la fonction ç (x), k tend vers zéro en même temps que h; dans ces conditions, le premier membre tend vers la limite /" (y); si donc cette limite n'est pas nulle, le rapport
aura pour limite -7—-— lorsque h tendra vers zéro. C'est ce qu'il fallait
démontrer.
Ainsi le logarithme népérien y d'un nombre positif x peut être
défini par l'équation
la dérivée y' de log x est donc l'inverse de la dérivée de e" par rapport
à î/ ; on a donc
Les fonctions u = arc sin .r, v = arc cos x, iv = arc tg x ont été définies au paragraphe 98 ; elles vérifient respectivement les équations
sin u = X, cos V = x, tg 10 = x,
on en conclut que leurs dérivées sont respectivement
[/l-x' smr ^/i^î
pour les deux premières, le radical doit être pris avec sa signification arithmétique, puisque les arcs u et v doivent être compris l'un entre
— ^ et + ^5 l'autre entre zéro et 7:; en sorte que cos u et sin v sont
certainement positifs.
Avant d'aller plus loin, j'établirai quelques théorèmes généraux dont on verra bientôt l'utilité.
135. Soit f (^r) une fonction qui admet une dérivée f (x) pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, b); si l'on a
f{a) = 0, nh) = 0,
il existe une valeur ^ de x appartenant à l'intervalle (a, b), diflérente de a et de b, pour laquelle on a
f ik) = 0.
En efïet, la fonction f (x), puisqu'elle admet une dérivée pour chaque valeur de x appartenant à l'intervalle (a, 6), est continue pour chacune de ces mêmes valeurs; ceci posé, ou cette fonction est nulle pour chacune des valeurs de x appartenant à l'intervalle, ou il existe de telles valeurs qui la rendent différente de zéro. Dans le premier cas, elle est constante, sa dérivée est nulle pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle (a, b); dans le second cas, elle prend des valeurs positives ou des valeurs négatives; si elle prend des valeurs positives, elle admettra, dans l'intervalle (a, b) une limite supérieure (§ 74) différente de zéro; puisqu'elle est continue, elle atteindra cette limite supérieure (§ 85) pour une valeur ^ de x appartenant à l'intervalle (a, b) et nécessairement distincte de a et de b; dès lors, si /i désigne un nombre positif quelconque assez petit pour que les deux nombres ^ + h, B, — h, appartiennent à l'intervalle (a, 6), on aura
et par suite
Si l'on suppose que h tende vers zéro, les deux rapports tendent par hypothèse vers la limite f (^) ; la première inégalité montre que cette limite est négative ou nulle, la seconde montre qu'elle est positive ou nulle : on a donc
S'il arrivait que f{x) prît, dans l'intervalle (a, b) des valeurs négatives, on arriverait à la même conclusion en considérant la valeur de x qui
fait acquérir à la fonction f {x) sa valeur minimum dans l'intervalle (a, h).
Il convient de remarquer que cette démonstration ne suppose en aucune façon la continuité de la dérivée /' {x) ; elle ne suppose même pas l'existence de cette dérivée pour a? = a et x = b, pourvu toutefois que la fonction soit continue dans l'intervalle (a, h) au sens du paragraphe 75.
Voici maintenant des conséquences importantes de cette proposition.
136. Si la fonction f{x) admet une dérivée f (x) dans l'intervalle (a, î>), on a
'ç, étant un nombre compris entre a et b, différent de a et de b. Ce théorème s'appliquerait lors même que l'existence de la dérivée aux limites a, b ne serait pas assurée, pourvu que cette dérivée existât certainement pour toutes les autres valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, b) et que la fonction fût continue dans cet intervalle. Si l'on considère en effet la fonction de x
on voit de suite qu'elle est nulle pour x = a et x ^b; qu'elle a, pour les valeurs de x comprises entre a et b, une dérivée égale à
r (oc)
cette dérivée doit s'annuler pour une valeur ^ de x appartenant à l'intervalle (a, b), autre que a etb; on a donc
fib)-f{a)
Si l'on désigne par x et x + h deux nombres appartenant à l'intervalle {a, b), on pourra évidemment remplacer, dans le théorème qui vient d'être démontré, a et 6 par x et x + h; le rapport f{x + h)-f{x)
CHAP. V. — DES DÉPJVÉES. 233
est donc égal à la valeur que prend la dérivée f {x) pour une valeur de la variable comprise entre x ei x -\- h: on peut représenter une telle valeur par x + 0/(, en désignant par 6 un nombre compris entre zéro et un, mais qui n'est ni zéro ni un, on peut donc écrire
f(^x + h) — f{x) = hf {x + 0/0
et cette égalité suppose seulement l'existence de la dérivée pour les valeurs de la variable appartenant à l'intervalle (a?, x + h).
137. Si, dans l'intervalle {a, b) les fonctions f{x), © (x) admettent des dérivées f (x), <d' (x) et si cette dernière dérivée ne s'annule pas pour une valeur de x comprise entre a et b, on a
ç étant une valeur comprise entre a et b, autre que a et b.
Il suffit d'appliquer le précédent raisonnement à la fonction de x
qui est nulle pour x = a et x = b, et qui admet dans l'intervalle {a, b) la dérivée
Cette dérivée doit s'annuler pour un nombre ^ compris entre a et b et, puisque la quantité o' (;) n'est pas nulle, on a
f{b)-f{a)^f (^ tW — ?(«) ?' (ç)
On peut remplacer cette égalité par la suivante, où les deux nombres X, X -{- h sont supposés appartenir à l'intervalle (a, b) et où 0 désigne un nombre compris entre zéro et un, qui n'est ni zéro ni un :
f{x-\- h) — f(x) f {x + Oh)
o {x 4-/0 — 9 (•''') """ ?' (^ + f^'O Les démonstrations précédenles sont dues à M. 0. Bonnet.
234 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
138, Le théorème du paragraphe 136 met bien en évidence la possibiUté pour une fonction f {x) qui admet une dérivée finie dans l'intervalle (a, h) de trouver un nombre positif •/) correspondant à un nombre positif donné e, tel que l'oscillation de la fonction, dans tout intervalle compris à l'intérieur de (a, h) et d'étendue moindre que •/;, soit plus petite que e; en vertu de la formule
f(x + h)-f{x) = hf' (a? -H 6/0,
il suffit de prendre
en désignant par M la limite supérieure de la dérivée f (x) dans l'intervalle (a, b).
Le même théorème montre encore que si la fonction f (x) admet une dérivée f (x) dans l'intervalle (a, b) et si la dérivée f (x) est continue dans le même intervalle, le rapport
tend uniformément vers f (x) quand h tend vers zéro, c'est à dire qu'à chaque nombre positif e correspond un nombre positif r, tel que l'on ait
nx + h)-f{x)
pourvu que | h \ soit inférieur à •/) et que x appartienne à l'intervalle (a, 6), ainsi que x + h.
En effet, on a, en désignant par 6 un nombre compris entre zéro et un,
et, à cause de la continuité de la fonction /' (a?), il existe un nombre r^ tel que l'on ait
pourvu que h soit inférieur à yj en valeur absolue et que x ei X + h appartiennent à l'intervalle (a, h).
139. Je déduirai d'aljord du théorème établi au paragraphe 436 une règle nouvelle d'une application fréquente pour le calcul des dérivées, règle qui contient comme cas particulier celle qui concerne les fonctions de fonction. Il est nécessaire, aA-ant de l'exposer, de donner quelques définitions relatives aux fonctions de deux ou de plusieurs variables.
Soient u, v deux variables quelconques, A, A', B, B' (A <: A', B <: B') quatre nombres quelconques; je considérerai le champ (E) des systèmes de valeurs attribuées à u, v qui satisfont aux inégalités
A^ît^A', B^v^B',
et je dirai qu'une fonction f (ii, v) est définie dans le champ (E) si à chaque système de valeurs de u, v appartenant à ce champ correspond une valeur de f (u, v).
La fonction f{ii, v) est continue pour le système il, v de valeurs des variables appartenant au champ (E) si à chaque nombre positif e correspond un nombre positif q tel que l'on ait
pour toutes les valeurs de u\ v' qui appartiennent au champ (E) et qui vérifient les inégalités
Si V est une valeur fixe appartenant à l'intervalle (A, A') et si l'on regarde u comme une variable, la fonction de u, f {u, v), sera définie dans l'intervalle (B, B'); il peut se faire que cette fonction admette une dérivée dans cet intervalle ; si cela arrive quelle que soit la valeur de V appartenant à l'intervalle (A, A'), on dit que, dans le champ (E), la fonction f{u, v) admet une dérivée partielle par rapport à m et l'on désigne cette dérivée, qui est une fonction définie de u, v pour
(') On (lit que la fonclion f{ii, v) est continue clans le champ (E) si à chaque nombre positif £ correspond un nombre positif y) tel que l'inég.ilité (1) ait lieu pour tous les systèmes de valeurs u,v,u',v' qui appartiennent à(E)et qui satisfont aux inégalités (2). On montre par un raisonnement analogue à celui du paragraphe 77 que, si la fonction est continue jiour tous les systèmes de valeurs des variables qui appartiennent au chamji (E), elle est continue dans ce champ. Voir à ce sujet une note de M. Darboux, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, 1''= série, t. III, p. 307.
236 THÉORIE DES FONCTIONS D'une VARIABLE.
l'ensemlile de systèmes de valeurs des variables que l'on considère par r.(u,v), '^l^ ou r)J(u,v).
On délinira do même, s'il y a lieu, la dérivée partielle niu.v), "fl^ ou D,/(n,tO
de la fonction considérée.
Supposons que la fonction f (ii, r), définie, comme il a été dit plus haut, admette des dérivées partielles dans le champ (E), et que ces dérivées soient continues pour chaque système de valeurs des variables appartenant à ce champ.
Supposons enfin que i(, v soient des fonctions de x qui, lorsque cette variable reste dans l'intervalle (a, h), restent respectivement comprises entre A et A', B et B', ces limites pouvant d'ailleurs être atteintes. Il est clair que f{ti, v) sera une fonction définie de x dans l'intervalle (o, b) ; je vais montrer que si «, v sont des fonctions continues dans cet intervalle, admettant des dérivées u' , v\ la fonction de X, f{u, v), sera aussi continue dans ce même intervalle et y admettra une dérivée égale à
/",', (u, v) u' + fl {h, v) v' .
Posons en effet, pour abréger l'écriture,
f'u {i(, v) = ç {u, t'), f'v {li, v) = à {ti, v)
et considérons deux valeurs x, x -i- h appartenant à l'intervalle («, h); soient u et u + k, v el v + l les valeurs des fonctions u et v qui correspondent à ces valeurs x ei x + /i, on aura
f {u + A-, V -{- l) — f (îf, v)
mais, en vertu du théorème démontré au paragraphe 136, on a
f{u + A, V + /) — f(u + A, ^0 = ^i^ (^<■ + A, r + 0/), f{u + A, v) — f{i(, V) z= ko (u + 6' A, v),
en désignant par 0 et 0' des nombres compris entre zéro et un : on a donc
supposons maintenant que h tende vers zéro; en vertu de la continuité
des fonctions u et v, k et h tendront aussi vers zéro, et puisque les
k l fonctions u, v admettent des dérivées, les rapports — ? - auront pour
limites les dérivées u' , v'; enfin en vertu de la continuité des fonctions 0 (il, î'), t|/ (w, y), lorsque les quantités A", h et par conséquent b'k, O/i tendent vers zéro, les quantités
9 (u + 6' k, v), d^ {u + k, V + (il)
ont respectivement pour limites les quantités
lors donc que h tend vers zéro, le second membre de l'égalité précédente a pour limite
0 {u, v) u' + à (tt, t') v';
mais le premier membre n'est autre chose que le rapport de l'accroissement de la fonction f (ii, v) regardée comme une fonction de a; à l'accroissement h de cette variable; dire que ce rapport a pour limite 9 (m, v) u' -+- <h (m, v) v' , c'est dire que telle est la dérivée de la fonction!/ {u, v) (i).
Ces considérations et la démonstration qui précède s'étendent sans peine à des fonctions d'un nombre quelconque de variables; je me contenterai d'énoncer le théorème suivant :
Soient m, v, iv, ... n variables. A, A', B, B', C, C, ... (A <: A', B <: B', G <; G', ...), 2 n nombres quelconques; considérons une fonction f{ii, v, iv, ...) des n variables u, r, v.\ ... définie dans le champ (E) formé par l'ensemble des systèmes de valeurs attribuées
C) Celte démouslratioû esl due à M. 0. Bonuct.
238 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
à ces variables qui vérifient les inégalités
supposons que la fonction f{u, v, w, ...) admette, dans le champ (E), des dérivées partielles fl, f'„, flo, ... par rapport aux variables tt, v, IV, ... et que ces dérivées soient continues pour chaque système de valeurs attribuées à ces variables qui appartienne au champ (E); supposons que u, v, iv, ... soient des fonctions de la variable x définies dans l'intervalle (a, 6), admettant dans cet intervalle des dérivées u' , v' , iv' , ..., telles enfin que leurs valeurs restent respectivement comprises entre A et A', B et B', C et C, ..., la fonction f{u, V, lu, ...) pourra être regardée comme une fonction de x définie dans l'intervalle (a, h); elle y admettra une dérivée égale à
f'uU' + fl-v' -h fl,w' + ...
Considérons par exemple la fonction îi", on pourra prendre pour A et A' deux nombres positifs quelconques et pour B et B' deux nombres quelconques; les dérivées partielles par rapport à u et k v seront respectivement vu""^ ei u^logu; il est aisé de voir qu'elles sont continues pour chaque système de valeurs appartenant au champ (E); on en conclut que si u, v sont des fonctions de x définies dans l'intervalle (a, b), continues dans cet intervalle et y admettant des dérivées u' , v' , telles enfin que la première soit toujours positive et par conséquent supérieure à un nombre positif A, la fonction de x, w", admettra pour dérivée, dans l'intervalle (a, b),
M'"-' {vu' + uv' log u).
Laissant maintenant de côté les règles relatives au calcul, je vais montrer le parti que l'on peut tirer des dérivées pour l'étude des
fonctions.
140. Soit f{x) une fonction admettant dans l'intervalle {a, h) une dérivée /' {x), il résulte immédiatement de la définition de la dérivée que si la fonction f{x) est constante dans l'intervalle (a, h) la dérivée f (x) est nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle, que si, dans ce même intervalle, la fonction f (x) est
croissante, la dérivée /' (x) n'est jamais négative, puisque le rapport
étant positif, sa limite, pour h =. 0, ne peut être négative; enfin que, si la fonction f {x) est décroissante, la dérivée f {x) n'est jamais positive.
On est tenté de regarder comme évidentes les réciproques de ces théorèmes; cela serait légitime s'il était vrai qu'un intervalle (a, h) pût toujours être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction f (x) fût ou constante, ou croissante, ou décroissante; c'est la fausseté, aujourd'hui mise hors de doute, de cette supposition qui rend nécessaire la démonstration des théorèmes suivants.
I. Si la fonction f {x) admet dans l'intervalle («, h) une dérivée f (x) et si cette dérivée est constamment nulle, la fonction f{x) est constante dans l'intervalle (a, h).
Soient en edet x^, x^ deux valeurs quelconques qui appartiennent à cet intervalle, on aura (§ 136)
(1) /"w-rw-c^'.-a-orc^),
en désignant par ç un nombre compris entre x^ et x^ ; mais par hypothèse on a
et par conséquent
La fonction f{x) conserve donc toujours la même valeur dans l'intervalle (a, h); cette valeur est nécessairement f{a) = /"(&)•
II. Si la fonction f{x) admet dans l'intervalle (a, h) une dérivée f (x), si, dans cet intervalle, cette dérivée n'est jamais négative, si enfin elle n'est pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle (a', h') contenu dans l'intervalle (a, b), la fonction f{x) est croissante dans l'intervalle (a, h).
Soient encore j-j, x^ deux valeurs quelconques appartenant à l'intervalle (a, h) et soit x^ <:: x^; l'égalité (1) montre, puisque la
240 THÉORIK DES PX)NCTIONS D'UNK VARIABLE.
quantité f (ç) est positive ou nulle, que l'on a
Mais, dans l'intervalle (a;,, x^ la fonction f {x) ne peut être constante, puisque la fonction /' {x) n'est pas constamment nulle dans cet intervalle; il existe donc un nombre x' compris entre x^ et x^ tel que la valeur de f{;x') diffère au moins de l'une des quantités f{x^), f {x^; les ({uantités a?!, x' , x^ étant d'ailleurs rang-ées par ordre de grandeur, ou u
comme les deux égalités ne peuvent avoir lieu siinulfanément, il faut que l'on ait
C'est ce qu'il fallait établir; on prouvera de la même façon le théorème suivant.
III. Si, dans l'intervalle (a, ^), la fonction f {x) admet une dérivée f (x) qui ne soit jamais po.sitive, si cette dérivée n'est pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle (a', h') compris dans l'intervalle (a, h), la fonction / (x) est décroissante dans ce dernier intervalle.
141. Si une fonction f (x) est définie dans l'intervalle {a, b), on dit qu'elle admet un maximum pour la valeur ç attribuée à x, valeur appartenant à l'intervalle (a, b), mais distincte des limites a, b, s'il existe un nombre positif s tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de h inférieures à s en valeur' absolue,
si, dans les mêmes conditions, on avait
on dirait que la fonction f{x) admet un minimum pour x = E.
Si la fonction /"(a?) admet un maximum ou un iiiiuiiiiiiin pour.r = ç, et si pour cette même valeur elle a une dérivée, cette dérivée est nulle; cela résulte du raisonnement employé au paragi^aphe 135:
pour h positif eh suffisamment petit les deux rapports
finissent par être certainement de signes contraires; leur limite commune, pour h = 0, est donc nulle.
Si donc la fonction f{ûc) admet une dérivée dans l'intervalle (a, h), on devra chercher les valeurs de x qui lui font acquérir un maximum ou un minimum parmi celles qui annulent la dérivée; mais le choix et la distinction de ces valeurs exigent une étude plus approfondie.
142. Le cas le plus simple est celui où la fonction f {x) étant continue dans l'intervalle {a, b), cet intervalle peut être partagé en un nomhre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction varie toujours dans le même sens; si, par exemple,' la fonction est croissante dans un intervalle et décroissante dans l'intervalle suivant, il est clair qu'elle présentera un maximum pour la limite commune aux deux intervalles; on dit que, pour cette valeur, elle cesse de croître pour décroître ensuite; de même, si la fonction est décroissante dans un intervalle et croissante dans l'intervalle suivant, elle passe par un minimum pour la valeur de la variahle égale à la limite commune des deux intervalles.
On est certain d'être dans ce cas si, dans l'intervalle (a, h), la fonction f{x) admet une dérivée et si l'intervalle (a, h) peut être divisé en un nombre fini d'intervalles partiels, tels que dans chacun d'eux la dérivée f (x) ait un signe déterminé; si dans un intervalle partiel la dérivée est positive, la fonction est croissante, etc. Peu importe d'ailleurs que dans un intervalle partiel la dérivée s'annule, pourvu qu'elle ne change pas de signe et qu'elle ne soit pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle fini.
Les valeurs qui fournissent les maxima sont alors caractérisées par ce fait que la dérivée y est nulle, qu'elle est positive pour les valeurs plus petites, négative pour les valeurs plus grandes; de même pour les valeurs qui fournissent les minima la dérivée est nulle et passe du négatif au positif.
Par exemple l'expression
4,r^ — 2x'' — în,
'l'ANNEnY. — TIléorie. 16
242 THKORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
OÙ m esl une constante, admet une dérivée dans tout intervalle, cette dérivée est
elle est positive pour toutes les valeurs de x inférieures à un, négative pour toutes les valeurs de x supérieures à un; la fonction proposée est donc croissante dans l'intervalle ( — oC) , 1), en désignant par ce symbole un intervalle dont la limite inférieure est un nombre négatif aussi grand qu'on le veut en valeur absolue ; elle est décroissante dans l'intervalle (1, + x), elle passe par un maximum pour X = i, ce maximum est 1 — wî; la fonction grandit d'ailleurs indéfiniment par des valeurs négatives, quand x grandit indéfiniment par des valeurs positives ou négatives, ou, comme l'on dit habituellement, pour X = ± ce , elle est égale à — oo ; en résumé, quand X croît de — oo à un, la fonction croît de — x à 1 — m, et quand X croît de un à + 00 , la fonction décroît de 1 — m k — oo ; on conclut de là (§ 86) que, si 4 — «i est positif, la fonction 4 0?^ — Sx'' — m s'annule pour une valeur de x inférieure à un et pour une valeur de x supérieure à un, et seulement pour ces valeurs; que, si l'on a m := 1, la fonction s'annule pour a? = 1 et seulement pour cette valeur; enfin que, si 1 — m est négatif, la fonction ne s'annule pour aucune valeur de x.
143. Il peut se faire que, dans l'intervalle où on la considère, la fonction f{x), que je suppose toujours continue, admette une dérivée, sauf pour quelques valeurs exceptionnelles ; une telle valeur x' sépare alors deux intervalles partiels {x^, x'), {x\ x.^) tels que la dérivée existe pour tous les nombres qui appartiennent à l'un ou à l'autre des deux intervalles, sauf toutefois pour le nombre x' ; si la dérivée a le même signe pour toutes les valeurs de la variable qui appartiennent au premier intervalle, si, par exemple, la dérivée est positive pour les valeurs de x comprises entre a?, et x' , on peut affirmer que la fonction f{x) est croissante dans l'intervalle {x^^ x'), sans exclure les limites de cet intervalle; en effet le théorème du paragraphe 13G subsiste alors, ainsi qu'on en a fait l'observation ; il en est de même de ses conséquences. Si, de même, la dérivée est négative dans l'intervalle (.r', ,r,), la fonction sera décroissante dans cet inter-
valle et présentera un maximum pour x :=. x' \ elle aurait passé par un minimum pour cette même valeur si la dérivée était négative dans le premier intervalle, positive dans le second; elle varierait dans le même sens dans tout l'intervalle ix^^ x,) si la dérivée avait le même signe pour toutes les valeurs de x appartenant à cet intervalle, les nombres x^, x\ x^ étant exceptés au besoin.
Par exemple la fonction y = [y'xj , continue dans tout intervalle, n'admet pas de dérivée pour x =:0, pour toute autre valeur de x elle a pour dérivée
'==^Fx'
pour a; = 0, la fonction y passe par un minimum.
144. On voit d'après cela la marche à suivre pour étudier la variation d'une fonction donnée par son expression analytique. On décomposera d'abord l'ensemble des valeurs de x, de — oo à + oo , en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, la fonction soit définie et continue; les limites de ces intervalles pourront être des valeurs de x au delà ou en deçà desquelles l'expression donnée n'aura plus de sens; de telles valeurs se présenteront par exemple quand l'expression contiendra des radicaux à indices pairs, des logarithmes, des arcs sinus, etc. ; ces limites pourront encore être des valeurs pour laquelle la fonction est discontinue, ou des nombres aussi voisins que l'on voudra de certaines valeurs isolées de la variable,
telles que a? = 0 pour la fonction -•> pour lesquelles l'expression
considérée n'a pas de sens, mais dans le voisinage desquelles elle grandit indéfiniment, ce que l'on exprime brièvement en disant que la fonction devient infinie. On se livrera à une étude analogue pour la dérivée, en se bornant toutefois aux valeurs de la variable qui appartiennent aux intervalles qu'il y a lieu de considérer, d'après l'étude préliminaire que l'on a faite de la fonction ; mais, cette fois, on portera essentiellement l'attention sur les valeurs de la variable pour lesquelles la dérivée change de signe, soit qu'elle s'annule, soit qu'elle cesse d'exister en devenant infinie, ou tout autrement. Ces nombres limiteront ainsi des intervalles pour lesquels la dérivée conservera un signe constant. Les nombres qui limitent des inter-
244 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VAPJABLK.
valles soit pour la fonction proposée, soit pour la dérivée, étant ensuite rangés par ordre de grandeur, on se liouve avoir décomposé le champ de la variable x en intervalles partiels pour lesquels on peut appliquer les théorèmes du paragraphe 140; à l'aide de ces théorèmes et des remarques contenus dans les paragraphes suivants, on parvient à avoir une idée nette de la marche de la fonction. Soit par exemple la fonction
y z=z 6=" Vx + 4 ;
elle n'a de sens ni pour les valeurs de x plus petites que — 4, ni pour a; = 0; sa dérivée, pour les autres valeurs de x, est
1 {.v + 2) {x - 4) 2 a?2 Vx + 4
elle est positive pour x <: — 2, négative pour x compris entre — 2 et 4, positive pour .» >- 4; si l'on désigne par s un nombre positif, aussi petit qu'on le veut, la fonction est continue de — 4 à — s, de 4- £ à 4- 00 ; si l'on considère la suite des nombres
4, 2, — £, + £, 4, + co ,
et que l'on exclue l'intervalle ( — £, + £), la fonction sera continue et admettra (sauf pour x =:. — 4) une dérivée de signe constant dans chacun des autres intervalles. On en conclut que lorsque x varie
de — 4 à — 2, la tonction augmente de zéro à 1/ -:> qu'elle diminue depuis cette valeur jusqu'à
quand x varie de — 2 à — s, qu'elle diminue encore depuis
(2) . e' yin
jusqu'à c' 1/<S quand x varie de £ jusqu'à + 4, enfin qu'elle augmente quand x varie depuis + 4 jusqu'à + co . Il reste à avoir des valeurs approchées des nombres (i) et (2)
pour £ positif et très petit; on les déduit des formules
l/ii
la première, où le dénominateur peut être supposé aussi grand qu'on le veut, montre que lorsque e tend vers zéro, l'expression (i) a pour limite zéro; on voit de même que lorsque e tend vers zéro, l'expression (2) augmente indéfiniment par des valeurs positives; c'est ce qu'on exprime plus brièvement en disant que, x croissant de — 2
/2 à zéro, y diminue depuis 1/ —jusqu'à zéro, et que, x croissant
depuis zéro jusqu'à + 4, ;/ diminue depuis + 00 jusqu'à la valeur
e* V'S. Des deux valeurs 1/ 7 et c' |/8, la première est un maximum correspondant à la valeur x=- — 2, la seconde est un minimum correspondant à la valeur a? = 4; enfin on voit de suite que lorsque x augmente indéfiniment par des valeurs positives, il en est de môme de?/.
145. Il est quelquefois commode, pour reconnaître si une valeur a de X qui annule la dérivée f (x) d'une fonction f (x) fait acquérir à cette fonction un maximum ou un minimum, de recourir à la dérivée seconde f" (x), à supposer qu'elle existe. Si f" (a) est un nombre positif et si la fonction f (x) est encore positive pour les valeurs voisines de a, ce qui arrivera assurément si elle est continue, on voit que dans un petit intervalle comprenant a la fonction f (x) sera croissante; puisqu'elle s'annule pour x = a, elle passe pour cette valeur du négatif au positif, il en résulte que, pour x = a, \sl fonction f(x) présente un minimum. De même, si pour x = a, \e nombre f" {n) est négatif et si la fonction f (x) est continue pour a; =: a, on voit que, pour x = a, la fonction f{x) présente un maximum. Si l'on a /■' (a) = 0, on pourra recourir à la dérivée troisième; si celle-ci n'est pas nulle pour x = a el est continue pour cette valeur, elle conser-
24G THÉORIE DES FONCTIONS d'UNE VARIABLE.
vera le même signe dans un petit intervalle comprenant le nombre a, dans cet intervalle la fonction f (x) croîtra constamment ou décroîtra constamment, puisqu'elle s'annule pour x = a, elle changera de signe en s'annulant, la fonction f {x) admettra donc un maximum ou un minimum pour x =^ a; comme elle est nulle pour x =z a, on voit que, dans un petit intervalle comprenant ce nombre, elle reste négative ou nulle si x = a correspond à un maximum de f (x), positive ou nulle si x = a correspond à un minimum de f (x); dans le premier cas la fonction f (ai) est décroissante dans ce même intervalle, dans le second cas elle est croissante : elle ne présente, pour X = a, ni maximum ni minimum. Si l'on a f" (a) = 0, on recourra à la dérivée quatrième Z"'^' (x) et l'on verra sans peine que suivant que l'on aura
la fonction f{x) admettra, pour x = a, un maximum ou un minimum, pourvu toutefois que la fonction /"' soit continue pour x = a. Si l'on avait f^^ (a) = 0, on pourrait recourir à la dérivée cinquième, etc. On peut, en admettant l'existence et la continuité des dérivées successives f (a?), f (x), f" (x), ... de la fonction f (x), pour x = a, formuler la règle suivante : Si pour x = a h dérivée f (x) est nulle ainsi que quelques-unes de celles qui la suivent, la fonction f{x) n'admet, pour x = a, ni maximum, ni minimum lorsque la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre impair ; si la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre pair, la valeur x = a correspond à un maximum ou à un minimum, selon que cette dérivée est négative ou positive. Au reste, cette conclusion va résulter immédiatement d'une formule très importante, que je vais établir dans le paragraphe suivant.
146. Soit f {x) une fonction continue dans l'intervalle (a, &); supposons qu'elle admette dans cet intervalle des dérivées première, seconde, ... n'^'"^: f (x), f (x), ..., /"^"^(a?). Supposons que les n — 1 premières dérivées soient continues dans l'intervalle (a, 6) ; quant à la ?i'^™® dérivée, on suppose seulement qu'elle existe pour les valeurs de X qui appartiennent à l'intervalle (a, b), il n'est même pas nécessaire qu'elle existe pour les limites o, h de l'intervalle.
Sous ces conditions, on aura la formule suivante, où ^ désigne un nombre appartenant à l'intervalle (a, h) différent de a et de h, et p un nombre entier positif quelconque, au plus égal à n (•) :
f c^) - fia) + ^-^ r (a) 4- ^-^^ r («) + ... (1) {
+ (ft „)..-, f..~„ („) + \^^">l-^^>^ r« (?).
Il convient tout d'abord d'indiquer comment on a pu se proposer (l'établir une pareille formule. C'est par une voie toute naturelle (ju'on est parvenu (§ HT) à la formule
où f{z) désigne une fonction de la variable z développable en une série procédant suivant les puissances entières et positives de z, convergente tant que | z | est inférieur à un certain nomlire positif P et où /'' (z), f" (z), ... désignent les séries dérivées de f{z); cette formule convient tant que l'on a
Si f(z) désigne une fonction continue quelconque, admettant des dérivées première, seconde, ..., n'*™", il est dès lors naturel de chercher une expression de l'erreur que l'on commet en prenant pour f{z~h h) la somme des n premiers termes du second membre, c'est à dire d'évaluer la différence
n^ + '.) - rw - 'i r (^) - ... - i,,'X~v> f""" (-);
(1) On (lonno d'habitude à cette formule le nom de Taylor; il convient toutefois de remarquer «luo Taylor n'a considéré que la série illimitée; l'expression du dernier terme de la formule, dit terme complémentaire, a été donné, pour^j =: n, par Lagrango dans le Traité des fonctions. L'expression générale de ce terme a été donnée par M. Sclilomilch et par M. lAoche [Journal de Lioiiville, t. III, p. 271); la démonstration qui suit est due à M. îlouché.
248 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
cette différence, quand on y remplace z par a et 2 + /i par h devient
c'est précisément cette quantité dont on va trouver une expression qui justifiera l'égalité (1), et cela par un procédé tout semblable à celui que l'on a employé dans le paragraphe 136, pour établir un cas particulier de la proposition que nous avons en \iie. Soit donc, pour abréger,
I^,[fW-f(«)--7-"r(a)
et considérons la fonction de x
^'(«)--ETf(&)^'-(«)]
xY)
cette fonction est continue dans l'intervalle (a, h) puisque c'est une somme de produits de fonctions continues dans cet intervalle; elle est nulle identiquement pour a? = &, et, en vertu de l'égalité (2), pour a; = a ; elle admet une dérivée pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, 6), sauf peut-être pour les limites a, h ; dans ces conditions, on sait (§ 135) que cette dérivée est nulle pour une valeur ; comprise entre a et &, différente de a et de b; cette dérivée est d'ailleurs
HH r w + -7^ ('(.) + ... + lïZS-^) f'" w
on a écrit sur la première ligne les termes où figurent les dérivées des facteurs f{x)^ f Ç^)-! ••■> f''"~^- i^)-, sur la seconde ligne les
CIIAP. V. — DES DÉRIVÉES. 249
termes où figurent les dérivées des facteurs h — x, {b — xy, ..., (b — a?)"~S sur la troisième ligne la dérivée de — A {b — x)'' ; après des réductions évidentes, on aura pour la dérivée cherchée
o' {x)=.pA{b- xy-^ - ^^l~^^^2i) f" (^)-
En écrivant que cette dérivée est nulle pour a; = ^, en supprimant le facteur (b — ^)^~^ qui n'est pas nul, on a
en remplaçant A par cette valeur dans l'égalité (2), on obtient l'égalité (1), qu'il s'agissait de démontrer.
Si l'on remplace a par x, h par x + h et '^ par x + 0^, en désignant par 6 un nombre compris entre zéro et un, qui n'est d'ailleurs ni zéro ni un, l'égalité (1) prend la forme
f{x + h) = fix) + ^' f (x) + 1^ r (x) + ...
Le dernier terme porte le nom de terme complémentaire; pourp = n il prend la forme
147. Pour faire une application de cette formule à la théorie exposée dans le § 145, supposons que, pour x = a, la formule soit applicable et que l'on ait, en conservant les notations du paragraphe précédent,
supposons enfin que dans un intervalle suffisamment petit comprenant le nombre a, la fonction f " (x) conserve le signe de /"" (a), ce qui arrivera sûrement si /"" (x) est une fonction continue pour a; = a,
250 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
la formule (1) donnera
Supposons que la valeur a + h reste comprise dans l'intervalle où la fonction f " (x) conserve le signe de f" (a) ; la formule précédente montre que, si n est pair, la quantité f {a + h) — /"(a) est de même signe, quel que soit le signe de /«, que f^"-'^ (a); suivant donc qu'on aura
/■'"^ (a) < 0, ou /■(") (a) > 0, on aura
f{a + h)<f (a) ou f {a + h) > f (a) ;
dans le premier cas, la fonction f{x) admet un maximum pour a? = a, dans le second cas elle admet un minimum. Au contraire, si n est impair, le second membre change' de signe avec h et la fonction /' (x) n'admet, pour x =: a, ni maximum ni minimum.
148. On a déjà rencontré (§§ 81, 144) des exemples de fonctions
données par des expressions analytiques qui cessent d'avoir un sens
pour certaines valeurs de la variable; telles sont, pour a? = 0, les
fonctions
X — sin a?
-, ' ochgx;
on dit souvent que, pour une telle valeur de la variable, l'expression considérée prend une forme illusoire. S'il arrive que, lorsque la variable tend vers la valeur a qui donne une forme illusoire à l'expression, celle-ci tende vers une limite, il y a lieu de chercher à déterminer cette limite et de continuer en quelque sorte la fonction en lui attribuant, pour la valeur a de la variable, cette valeur limite, à laquelle on donne souvent le nom de vraie valeur. Je donnerai tout à l'heure des règles, connues sous le nom de lègles de l'Hospital, qui permettent, dans des cas assez nombreux, de trouver ces vraies valeurs. Je veux montrer auparavant sur quelques exemples comment on peut les obtenir par l'emploi des développements en série et comment on parvient souvent ainsi à des formules simples qui permettent de reconnaître la façon dont se comporte la fonction considérée pour
CIIAP. V. — DES DÉRIVÉES. 251
les valeurs de la variable voisines de celle qui fait, acquérir une forme illusoire à l'expression de cette fonction.
Pour abréger le langage, je me conformerai à l'usage en vertu duquel on dit qu'une fonction est infinie pour x = a lorsqu'elle n'a pas de sens pour x = a et qu'elle grandit indéfiniment en valeur absolue quand x tend vers a; il peut d'ailleurs être nécessaire de distinguer le cas où x tend vers a en restant plus petit que a du cas où X tend vers a en restant plus grand que a ; la fonction considérée peut devenir infinie dans un cas et ne pas devenir infinie dans l'autre ; ou bien elle peut grandir indéfiniment par des valeurs positives dans un cas, par des valeurs négatives dans l'autre, etc. ; je dirai de même qu'une fonction a pour x infini une valeur A, ou tien est infinie pour X infini, lorsque x grandissant indéfiniment, soit en valeur absolue, soit par des valeurs positives, soit par des valeurs négatives (suivant les circonstances il convient on non de distinguer ces divers cas), la fonction a pour limite A, ou bien grandit indéfiniment (soit en valeur absolue, soit par des valeurs positives, soit par des valeurs négatives).
Soit f (x) une fonction qui devient nulle ou infinie pour x = a; on a vu (§§ 110, 115) que, dans un grand nombre de cas, cette fonction, en y remplaçant x par a -+- /i, prend la forme
P (11) est une série qui procède suivant les puissances entières et positives de h, convergente tant que- 1 h \ est inférieur à un certain nombre positif; et dans laquelle le terme indépendant de h n'est pas nul, en sorte que l'on a
n est un nombre entier positif si la fonction f (x) s'annule pour X = a, négatif si elle est infinie. Réciproquement, si une fonction f (x), lorsqu'on y remplace x par a + h, prend la forme (1), on sait comment elle se comporte pour des valeurs de x voisines de a; on peut, en limitant la série P (h) à tel terme que l'on veut, avoir des formules qui permettent de calculer la valeur de la fonction avec une grande approximation; on peut (§ 110), si elle devient infinie, en séparer la partie qui devient infinie, etc.. Il n'est même pas néces-
252 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
saire que n soit entier; toutefois, lorsque n n'est pas entier, h" n'a de signification que si h est positif, à moins que n ne soit égal à une fraction dont le dénominateur est impair. Considérons maintenant une expression de la forme
si le numérateur et le dénominateur deviennent ou nuls ou infinis pour une valeur a attribuée à x et si, en posant x = a + h, le numérateur et le dénominateur prennent la forme (i), en sorte que l'on ait
f {a + It) = /i" P (/i),
en désignant par P (/(.), Q (/;) des séries qui procèdent suivant les puissances entières et positives de /(, convergentes tant que | ii \ est inférieur à un certain nombre positif et dans lesquelles enfin le terme indépendant de h n'est pas nul, pour les valeurs de h suffisamment petites, autres que zéro, on aura
fjx) ^ f{a + h) ^ P^)
ç(.r) 'o(a + h) Q{hy
d'ailleurs (§ 110), le rapport prjT\ peut se mettre sous la forme d'une
série R (/t) procédant suivant les puissances entières et positives de h, dans laquelle le coefficient du terme indépendant de h n'est pas
nul, on aura ainsi mis —7 ~ sous la forme (1) et le problème
sera résolu; en particulier, ce rapport n'aura de limite pour h = 0
que si l'on a n^p. Cette limite sera nulle si n est plus grand que p^
différente de zéro et égale au premier terme de la série R (h) si l'on
a 71 =r p. Lorsque n et p sont des entiers positifs et que l'inégalité
précédente est vérifiée, on voit de suite, en se reportant à la forme
des développements P (h) et Q (h) que la limite cherchée est égale à
La même méthode s'appliquera à des expressions de la forme
f{x)Xo{x)
dans lesquelles le premier facteur est nul et le second facteur infini pour X = «, ces deux facteurs prenant tous les deux la forme (1) quand on fait x = a + /«, comme aussi à des expressions de la forme
où les deux termes, infinis pour x = a, prennent encore la forme (1) pour X = a + h; on a dans le premier cas à faire le produit de deux séries, et dans le second cas, la différence de deux séries.
Enfin, dans le cas où l'on aurait à chercher des valeurs limites
pour X infini, on poserait x^ - et l'on serait ramené à chercher des
valeurs limites pour z=0; on y parviendra sans peine si les méthodes précédentes s'appliquent.
Voici quelques exemples :
Le numérateur et le dénominateur de la fraction
X — sin X x^
s'annulent pour x = 0; en y remplaçant sin x par le développement en série
on voit que la fraction, pour toutes les valeurs de x autres que zéro, est égale à
en lui attribuant la valeur - pour x = 0, la fraction proposée sera
une fonction continue dans tout intervalle. La valeur approchée -
x^ — — - montre que cette fonction passe par un maximum pour x = 0
et que ce maximum est -•
254 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
L'expression
(2x-7:)tfx
a un facteur nul et un facteur infini pour x = '^-y en faisant x = + h, on voit aisément qu'elle se met sous la forme
if- h h\ 37
en sorte que, dans le voisinage de - ? on
{2x — 7:) Uf X
pour a7 = ^'> l'expression proposée devient infinie; elle diffère peu de — - — lorsque x est voisin de ^ •
Soit encore l'expression
Vx- -\- X + l + V^x- — 1 — 3a;;
cherchons à l'évaluer pour des valeurs de x très grandes et positives; on a, pour de telles valeurs, en vertu des propositions démontrées dans les §§ 102 et 118,
Vx^ + X -\- l=x\ l + - + ~,y
-'[-Kl'i)-K^i)"-]
V^x'- — 1 =2x(\ — AV^= 2x — ^+ ...
et par conséquent
l/.r-^ + X 4- 1 4- Vii3f- 1 3a' = - + ^ - + ...
2 Sa?
il est clair que le second membre quand x augmente indéfiniment a
pour limite -• Lorsque x augmente indéfiniment par des valeurs
négatives, l'expression proposée augmente indéfiniment par des valeurs positives.
149. Voici maintenant quelques autres exemples où on parvient encore aux vraies valeurs par l'emploi de développements en séries; mais où l'on n'a pas, à proprement parler, des formules d'approximation comme dans les cas précédents.
Soit l'expression
où n est un nombre positif, le numérateur et le dénominateur augmentent indéfiniment quand x augmente indéfiniment par des valeurs positives; cherchons comment se comporte la fraction. On a, quel que soit a?,
X X^ cr.P
et, puisque x est positif,
XP
or, si l'on prend p >- n, il est clair que le second membre augmentera indéfiniment avec a? ; il en est de même, à fortiori, du premier. Mais le second membre ne fournit pas, pour x très grand, de
valeurs approchées pour — ? car les termes qu'on a négligés dans le
développement de e^ sont très grands par rapport à ceux que Ton a conservés.
Il résulte de la démonstration précédente, ou l'on voit directement de la même façon, que, si P (x) désigne un polynôme entier en x de degré quelconque, le rapport
256 TIIKORTE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
augmente indéfiniment, par des valeurs positives ou négatives suivant le signe du coefficient de la plus haute puissance de x dans P (a?), lorsque x augmente indéfiniment par des valeurs positives. .
Le précédent rapport tend vers zéro quand ce augmente indéfiniment par des valeurs négatives, puisque e'^ tend alors vers la limite zéro.
L'expression
tend vers zéro, quel que soil n, quand x augmente indéfiniment par des valeurs positives.
Si n est un nombre posilif, il y a lieu de chercher si l'expression
.-r" log X
tend vers une limite quand x tend vers zéro par des valeurs positives; si l'on fait
