X := -■> z = — log a
lorsque x tendra vers zéro par des valeurs positives, z augmentera indéfiniment par des valeurs positives; on aura d'ailleurs
z — nz
x"- log a? = — — =:: »
lorsque z, ou nz, augmente indéfiniment par des valeurs positives, le dernier membre de l'égalité précédente tend vers zéro; il en est de même de l'expression considérée a;" log x.
On prouvera de la même façon que si n est un nombre positif quelconque, l'expression
log X X"
tend vers zéro quand x augmente indéfiniment par des valeurs positives.
Il résulte de là, par exemple, que la série
(log 2)" (log -.iy (log n)>
est divergente quel que soit le nombre p ; car si on le compare à la série divergente
on voit que le rapport de deux termes de même rang, à savoir
Llog nj
augmente indéfiniment quand n augmente indéfiniment (§65) (^). Si n désigne un nombre positif, l'expression
augmente indéfiniment quand x tend vers zéro par des valeurs positives.
On traitera ce cas directement en développant e^ en série, ou on le ramènera à un cas précédemment étudié en posant
Quand x tend vers zéro par des valeurs négatives, si n est un nombre positif ou négatif tel que l'expression x" ait un sens, la quantité
tend vers zéro ; cela est évident si n est positif, cela résulte du théorème précédent si n est négatif.
Proposons-nous encore de chercher si l'expression
a une limite lorsque x tend vers zéro par des valeurs positives.
Le logarithme de cette expression est x log x; il tend vers zéro quand x tend vers zéro par des valeurs positives; dans ces mêmes conditions l'expression a;* a donc pour limite l'unité.
^1) Ilermite, Cours ..., rédigé par M. Aiuloycr, p. CG.
Tannery. — Thforie. 17
258 THÉORIE DE5 FONCTIO.Nâ D UNE VARIABLE.
150. Avant d'élablir les règles de l'Hospilal qui seiont l'objet piinLii)al du paragraphe suivant, je vais démontrer le lemme que voici :
Soit f{x) une fonction de x qui augmente indéfiniment en valeur absolue quand oc tend vers Xy par des valeurs moindres que a-j, mais qui, dans tout intervalle limité par un noinbi'e donné a <; x^, d'une part, et, de l'autre, par un nombre quelconque h compris entre a eix^, est continue et admet une dérivée/"' {x); il existe une suite infinie de nombres
compris entre a et cc^ et ayant Xi pour limite, telle que la valeur absolue de f (E„) grandisse indéfiniment avec n. Soit en effet
une suite infinie de nombres positifs croissants et telle que A„ augmente indéfiniment avec 7i.
Soit
a^, rt,, ..., rt„, ...
une suite infinie de nombres croissants compris tous entre a et x^, admettant x^ pour limite.
Soient encore A un nombre positif quelconque, a et j? deux nombres quelconques compris entre a et aJ^, on aura (§ 136)
en désignant par z un nombre compris entre % e\. x; or, pour satisfaire à l'inégalité
il suffira de supposer
il existe d'ailleurs certainement un nombre x qui permet de satisfaire à cette inégalité, puisque la valeur absolue de f{x) augmente indéfiniment quand x s'approche de x^.
Désignons en général par ç„ le nombre trouvé pour ;, en prenant
dany le calcul précédent
a =: «„, A = A„, on aura
I f il.) I > A„,
et ces deux inégalités, combinées avec les hypothèses relatives aux suites ttj, a^, ..., a,„ ..., A^, A,, ..., A„, ..., mettent en évidence la proposition annoncée.
Si, lorsque x tend vers x^ par des valeurs croissantes, la dérivée f (x) finissait par croili'e (ou par décroître) constamment, il est clair que cette dérivée augmenterait indéfiniment, par des valeurs positives (ou négatives).
Il est clair aussi qu'on aurait un théorème analogue pour le cas où la fonction f {x) augmenterait indéfiniment quand x tend vers x^ par des valeurs plus grandes que Xi .
151. Les règles que j'ai maintenant en vue concernent la recherche de la vraie valeur d'une fraction
dont le numérateur et le dénominateur s'annulent ou deviennent infinis pour une môme valeur de x.
Plaçons-nous d'abord dans le premier cas, et supposons que les fonctions f (x), ç (x) soient nulles pour x = a, que ce nombre a appartienne à un intervalle {p, q) dans lequel les fonctions f (x), ç (x) admettent des dérivées f (x), 9' {x), dans lequel enfin les fonctions ç (x), ç' (x) ne s'annulent pas, sauf pour x = a.
Dans ces conditions, je vais montrer que, si lorsque x tend vers a
par des valeurs appartenant à l'intervalle (p, q), le rapport , [ tend
f(x) vers une limite l, le rapport —7-- tendra aussi vers cette limite.
f (•») Si, en effet, le rapport , tend vers /, à chaque nombre positifs
correspondra un nombre positif •/;, tel que l'on ait
sous la condition que x appartienne à l'intervalle {p, q) et que l'on ait
Pour ces mêmes valeurs de x, on a (§ 137)
f{x)^f{.xi)-f{a)^f'(:^^ 9 (a?) cp(j-0 — 9(a) 9' (;)'
^ étant un nombre compris entre a? et a et satisfaisant donc aux inégalités
0 < 1 ç - a I < •/;, on aura donc
\fM^i\-\CJâ)^i\^..
ainsi, à chaque nombre positif e correspond un nombre positif v-, tel que les inégalités
entraînent l'inégalité
en supposant toujours que x appartienne à l'intervalle {p, q). C'est
f (x) dire (§ 79) que lorsque x tend vers a, le rapport ——'- tend vers l.
On ne peut pas conclure de la démonstration précédente que, réciproquement, si le rapport -j-x tend vers la limite l lorsque x
tend vers a, le rapport , ) !• tend vers la même limite : on peut
toutefois affirmer l'existence d'une sr.ito infinie de nombres ;,, ;,,
..., ;„, ... appartenant à l'intervalle {p, q) et ayant pour limite le
CHÂP. V. — DES DÉRIVÉES. 26d
nombre «, telle que la suite inlinie
ait pour limite le nombre l.
En eflet, si l'on considère une suite infinie de nombres .t,, a;,, ..., x„, ... appartenant à l'intervalle (p, g) et ayant a pour limite, la suite infinie
aura pour limite le nombre /; or, à chaque nombre x„ correspond un nombre Ç„, compris entre x„ et a, tel que l'on ait
la suite ^j, ç^, ..., ^,„ ... ainsi formée aura évidemment le nombre a
f ikn)
pour limite et la suite dont le îi'^"^^ terme est , aura pour limite l.
f ' (;r) Si, donc, le rapport — 7— tend vers une limite lorsque x tend vers a,
? W cette limite ne pourra être autre que l. Il en sera ainsi, en particulier, si les deux fonctions f (a:) et 9' {œ) sont continues pour x=za et si l'on a
Au surplus, cette conséquence est contenue dans le théorème direct. Revenons maintenant à ce théorème et à la règle qui en résulte.
Il peut arriver que pour x = a, les termes du rapport , soient
nuls ; dans ce cas il semble qu'on n'ait rien gagné à l'application de la règle; toutefois le nouveau rapport peut être plus simple que l'ancien; il peut être plus facile d'en calculer la limite. Au surplus on peut appliquer à ce rapport la même règle qu'au précédent : si, dans l'intervalle {p, q) les fonctions f (x), o' (x) admettent des dérivées f (as), 9" (x), si les fonctions ç' {x) et (p" (x) ne s'annulent
pas pour d'auti"e valeur que os = a, si enfin le rapport ^ tend
262 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
vers une limite / quand x tend vers «; le rapport , ' tendra vers
la Miùme limite, et il en sera par conséquent de même du rap-
port^-H' etc.
Au surplus, si dans l'intervalle {ji, q) les fonctions f (x), o (x) admettent des dérivées d'ordre 1, 2, ..., i et sont, pour x = a, nulles ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre i — 1, si les fonctions 9 (;r), 9' (x), ..., 9*'"^ (x) ne s'annulent pas pour d'autre valeur que X ^= a, là suite d'égalités, obtenues par l'application répétée du théorème du paragraphe 137,
rc-')
OÙ les nombres ^, ^', ^'', ..., ^^'-" .sont compris entre x et a, met directement en évidence cette proposition : .^^i le rapport
f (x) lorsque x tend vers a, tend vers une limite l, le rajtporl ^— — tend
9 ("Tj vers la même limite.
Si l'on considère par exemple le rapport
X — sin X x" '
dont le numérateur et le dénominateur s'annulent pour a? = 0, on voit, en appliquant la règle précédente, que, lorsque x tend vers zéro, il doit tendre vers la même limite que les rapports successifs
1 — cos 07 sin X 1 .
la Umile du dernier rapport est évidemment -■> lelle est donc la vraie
valeur cherchée.
Supposons maintenant que pour a? = a les deux ternies du ra])port
soient infinis.
Je supposerai qu'on cherche la limite de ce rapport lorsque x tend vers a par des valeurs plus petites que a; l'analyse serait toute pareille si l'on supposait que x tendît vers a par des valeurs plus grandes que a.
Je suppose qu'à chaque nombre positif A, quelque grand qu'il soit, corresponde un nombre positif -^ tel que les inégalités
entraînent les inégalités
Je suppose en outre qu'il existe un nombre 79 <: a tel que dans
tout intervalle limité d'une part par le nombre p, de l'autre par un
nombre quelconque compris entre p et a, les fonctions f (a?), ç {x)
admettent des dérivées f (a?), 9' (a?) et que, enfin, dans un pareil
intervalle les fonctions f{x), o (x), f (x), 0' (x) ne s'annulent jamais;
je ne considérerai d'ailleurs que des valeurs de x comprises entre j9
et a.
Dans ces conditions, on peut énoncer le théorème suivant :
Si lorsque x tend vers a, par des valeurs comprises entre p et a,
f (x) le rapport , tend vers une limite ?, il en est de même du
tp {X)
rapport — --— •
Soit, en effet, e un nombre positif arbitraire, d'après l'hypothèse
f ;lative au rapport -
tel que la différence
relative au rapport , ) ^ y il existe un nombre a compris entre p et a
soit en valevu' absolue moindre que £ pour toutes les valeurs de la variable qui satisfont aux inégalités
Soit X une quelconque de ces valeurs, on aura (,^ 137)
ç étant un nombre compris entre a et x, qui, par conséquent, mis à la place de x, vérifie les inégalités (1), en sorte que les membres des égalités précédentes peuvent être représentés par l + s! , en désignant par e' un nombre dont la valeur absolue est moindre que e.
D'autre part, comme f {x) et ç (x) grandissent indéfiniment en valeur absolue quand x tend vers a, il existe un nombre ^ compris entre a et a tel que, sous la condition
la différence
soit, en valeur absolue, moindre que e; si donc x vérifie les inégalités (2), on peut poser
1 iS^
en désignant par e' un nombre dont la valeur absolue est moindre que e; dès lors, sous la condition (2), on aura
o {x) 1 4- e" la différence entre cette quantité et /, à savoir t' — z'I
CIIAP. V. — DES DÉRIVÉES. 265
est moindre en valeui" absolue que
eji + n
où V désigne la valeur absolue de l; or il est clair que la quantité positive -—. peut être supposée plus petite que tel nombre
positif 6 que l'on voudra; il suffit en effet de prendre
on est donc parvenu à cette conclusion : à chaque nombre positif 0 correspond un nomljre (3 <: «, tel que les inégalités
entraînent l'inégalité
f (x) C'est dire que le rapport —^ tend vers l quand x tend vers a.
f (x) On montrerait sans peine que, réciproquement, si le rapport
tend vers une limite l lorsque x tend vers «, il existe une suite infinie de nombres Çj, Ç.^, ..., ç„, ... plus petits que a, ayant a pour limite, telle que la suite infinie
ait pour limite l.
Revenons maintenant à la règle qui résulte du théorème direct;
il ne semble pas qu'il y ait grand avantage à l'appliquer à la recherche
f {x) de la limite d'un rapport -~r dont les deux termes deviennent
infinis pour x = a, puisque, en vertu du paragraphe précédent, il
f (v) en est généralement ainsi des termes du rapport . ; mais ce
9 {x) rapport peut se présenter sous une forme plus simple, qui permette d'obtenir la vraie valeur cherchée.
266 TIIKOniK DKS FONTTIOXS d'uNE VARIAP.LK.
Soit par exemple, on désignant par ?i nu nombre posiiif, la fraction
iS
dont les deux termes augmentent indéfiniment quand x tend vers zéro par des valeurs positives; pour en obtenir la vraie valeur, on est amené à chercber celle de
on a diminué d'une unité l'exposant de -; en continuant de la même
façon on an-ivera à le rendre nul ou négatif et à s'assurer ainsi que la limite cherchée est zéro.
Il convient enfin de faire quelques remarques relatives à l'application des règles précédentes pour le calcul de la vraie valeur d'une fraction
dont les deux termes, pour x = a, s'annulent ou deviennent infinis; si l'on voit que la fraction
CM
est infinie pour os ^ a, on pourra en général en conclure qu'il en est
de même de la fraction proposée; en effet, si la fraction inverse
est dans les conditions où la règle est applicable, on voit qu'elle a zéro pour limite quand a?iend vers a.
Si c'est pour x infini qu'on a à chercher la vraie valeur de la fraction
il suffira d'y poser x =■ -ei de faire ensuite tendre z vers zéro.
CIIAr. V. — DES DÉRIVÉES. 267
On est ainsi amené, par les règles précédentes, à chercher la limite du rapport
quand z tend vers zéro; on a désigné par f l-\i o f-| ce que
deviennent les dérivées f (.37), o (x) quand on y remplace x par -•
Le changement de variables est évidemment inutile et il suffira de
f (^) chercher la limite du rapport , ) ! quand x grandit indéfiniment.
Considérons par exemple, en supposant n positif, la fraction
x" log X
dont les deux termes sont infinis pour a; = + 00 ; le rapport des dérivées de ces deux termes est no?", ce rapport grandit infiniment quand 07 augmente indéfiniment par des valeurs positives; il en est de même de la fraction proposée.
