CHAPITRE VI

DES INTEGRALES DEFINIES.

152. Étant donnée une fonction f (x) définie dans l'intervalle («0, a), il est naturel de se demander s'il existe une fonction F (x) qui, dans le même intervalle, admette f {x) pour dérivée; cette fonction, si elle existe, est dite fonction primitive de la fonction f (x).

Il est aisé de trouver toules les fonctions qui sont finies dans l'intervalle («„, a) et qui y admettent f (x) pour dérivée, si l'on en connaît une F {x) : soit en effet <I> (x) l'une quelconque des fonctions cherchées; dans l'intervalle (0^, a), la dérivée de la fonction finie <I> (x) — F (x) sera constamment nulle; cette fonction (§§ 140, 136, 135) sera donc une constante G, et l'on aura

Réciproquement si G désigne une constante quelconque, il est clair que la dérivée de la fonction F (x) 4- G sera la même que la dérivée de la fonction F (ce). On a donc le théorème suivant :

Si, dans l'intervalle {a^, a), la fonction F (x) est finie et admet pour dérivée la fonction f (ce), toute fonction qui, dans ce même intervalle, sera finie et aura /"(ce) pour dérivée s'obtiendra en ajoutant à F (ce) une constante; toute fonction ainsi formée aura d'ailleurs f{x) pour dérivée.

Si l'on connaît une fonction F (x) qui admette f (ce) pour dérivée, on déterminera sans peine une fonction qui jouisse de cette propriété et qui, pour une valeur x^ de x appartenant à l'intervalle {a^, à), prenne une valeur déterminée F^ : cette fonction sera de la forme F (ce; + C et l'on déterminera la constante G par la condition

en sorte que la fonction cherchée sera

Toutes les fonctions primitives de la fonction

k^x"' + AyV'"-'^ + ... + Am-ioo -+- A„„

où les A désignant des constantes, s'obtiennent en ajoutant une constante arbitraire à la fonction

Je me contenterai d'énoncer les résultats qui suivent; ce sont des conséquences immédiates des paragraphes 128, 130 : les fonctions e% a"", sin X, cos x admettent pour fonctions primitives les fonctions e'',

• 5 — cos X, sin x; dans tout intervalle dont les limites sont des

log a

nombres positifs, la fonction x™, où m est une constante autre que — 1,

admet pour fonction primitive ri la fonction x~^ =2- admet

pour fonction primitive la fonction log x.

Les exemples qui précèdent ne nous apprennent rien sur la réponse à la question posée au début : étant donnée une fonction f (x) définie dans un intervalle («„, a), existe-t-il une fonction F (a^) dont la dérivée soit, dans cet intervalle, égale à /"(x)? La solution de cette question dépend de l'étude de certaines sommes dans lesquelles le nombre des éléments augmente indéfiniment tandis que ces éléments décroissent indéfiniment et qui, sous des conditions qu'on précisera plus tard, tendent vers des limites. La considération de pareilles sommes s'introduit tout naturellement, en géométrie, lorsqu'on cherche à évaluer l'aire d'une courbe ou la longueur d'un arc; je les définirai, dans le paragraphe suivant, en restant au point de vue de la pure analyse.

153. Soient a„, a deux nombres quelconques, a^ étant le plus petit des deux; soit f (x) une fonction dont on suppose seulement, pour le moment, qu'elle est finie (§ 7i) dans l'intervalle («^., a), on

dit que celle fonction est intégrable dans l'intervalle («„, a) s'il existe un nombre J jouissant de la propriété suivante :

A chaque nombre positif e correspond un nombre positif ■/; tel que, si l'on partage l'intervalle («„, a) en intervalles partiels d'une étendue moindre que •/;,

(«„ tti), («1, «2), ..., (a„„ a),

la différence entre le nombre J et la somme

(«1 — a,) i\ + ia, — a,) f^ + ...+(« — a„-i) /;,

où /i, f,, ..., f„ désignent des nombres respectivement compris entre les limites supérieures et inférieures de la fonction / {x) dans les intervalles

(«„, ttj), (rtj, «,), ..., («„„ a)

et pouvant atteindre ces limites, soit en valeur absolue moindre que e.

Je vais établir diverses formes sous lesquelles on peut mettre la condition nécessaire et suffisante à laquelle doit satisfaire la fonction f {x) dans l'intervalle (a„, a) pour que le nombre J existe; on y parviendra par un mode de raisonnement qui est, au fond, identique à celui du paragraphe 78; l'importance de la règle donnée par Cauchy pour qu'une suite infinie admette une limite apparaîtra ainsi encore une fois.

J'observerai d'abord, pour éviter toute confusion, que la somme considérée

n'est pas complètement déterminée quand on se donne le mode de décomposition de l'intervalle («„, a) en intervalles partiels

puisque les quantités /"j, /■,, ..., /"„ sont seulement assujetties à être comprises respectivement entre les limites inférieures et supérieures «ij et Mj, m^ et M^, ..., in„ et M„ de la fonction f {x) dans ces intervalles; l'une quelconque de ces sommes sera dite somme relative au mode de décomposition (a„, «j, ..., «„,, a) de l'intervalle (a^, a); toutes ces sommes, puisque les quantités «j — o„, u^ — «i-, •••?

a — a„i sont positives (ou nulles) sont comprises entre

(tti — aj riiy + (aj — a^) m^ ■+■ ...+ {a — «„i) »?„ et

(«1 — a„) Mj 4- («2 — a,) M, + ... + (a — a„i) M„;

elles peuvent d'ailleurs atteindre ces limites qui seront dites, l'une somme inférieure, l'autre somme supérieure, relatives au mode de décomposition considéré.

Ces définitions posées, supposons que le nombre J existe; donnonsnous le nombre positif s, et faisons-lui correspondre comme il a été expliqué le nombre positif ■^^ ; si l'on désigne par S, S' deux sommes quelconques relatives à deux modes de décomposition où les intervalles aient tous une étendue moindre que •^, on aura

si donc le nombre J existe, à chaque nombre positif £• devra correspondre un nombre positif r^i tel que la différence entre deux sommes quelconques relatives à deux modes quelconques de décomposition pour lesquels les intervalles sont moindres que •/;; soit, en valeur absolue, moindre que ô.-. Réciproquement, je suppose réalisée cette dernière condition, et je vais démontrer l'existence du nombre J. Soit

une suite infinie de nombres positifs décroissants ayant zéro pour limite; soit en général r^i un nombre positif correspondant à s-, c'est à dire tel que la différence entre deux sommes quelconques relatives à des modes de décomposition pour lesquels les intervalles partiels sont tous d'étendue moindre que •/],-, soit, en valeur absolue, assurément moindre que s,-; comme on peut toujours remplacer le nombre r,i par un nombre positif plus petit, rien n'empêche de supposer, comme je le ferai désormais, que les nombres de la suite infinie

vont en décroissant. A chaque nombre t- de celle suite fiiisons

272 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

correspondre une somme S,-, prise parmi celles qui sont relatives à un mode de décomposition pour lequel les intervalles partiels sont tous d'étendue moindre que -^j-; on formera ainsi une suite infinie

qui sera convergente : en effet, si on se donne un nombre positif quelconque z, on pourra trouver dans la suite (1) un terme s,- <; ='; si l'on désigne par 23, q deux entiers positifs quelconques plus grands que i, on aura

les intervalles des modes de décomposition auxquels se rapportent les sommes S^, S^ étant moindres que r,i, on a

sous les seules conditions

La suite (3) étant convergente (§ 34), soit .T sa limite. L'inégalité évidente

|S,-J|^iS,-SJ + |S,-J|,

où l'on suppose /), q supérieurs à i, et où, par conséquent, j S^ — S^ I est inférieur à £;, montre, en supposant que p reste fixe et que q grandisse indéfiniment, en sorte que [ S^ — J | tende vers sa limite zéro, que l'on a

sous la seule condition p :>- i.

Soit enfin ^ une somme quelconque relative à n'importe quel mode de décomposition pour lequel les intervalles partiels soient tous d'étendue moindre que r^i on aura, en désignant toujours par p un nombre égal ou supérieur à i

I ^ - S, I < s, < e' et, par suite,

En résumé, si l'on se donne le nombre positif s, il suffira de

prendre s' =^ ~i de déterminer r,i comme il a été expliqué, de

prendre enfin Th pour le nombre r, que l'on veut faire correspondre à s; et l'on sera assuré que la différence entre le nombre J et toute somme relative à un mode de décomposition dans lequel les intervalles ont une étendue inférieure à */; est moindre que t.

Voici donc une i)remière forme sous laquelle on peut mettre la condition nécessaire et suffisante poUr l'existence du nombre J :

I. Pour que la fonction f (.r), finie dans l'intervalle {u^, a) soit intéyrable dans cet intervalle, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif £ corresponde un nombre positif*/] tel que la différence entre deux sommes relatives à deux modes de décomposition soit moindre que t, sous la seule condition que, dans l'un et l'autre mode, les intervalles partiels soient tous d'étendue moindre qu(} r,.

Ceci posé, afin de transformer la condition (I), il est utile d'avoir une limite de la différence entre deux sommes relatives au même mode de décomposition ou à deux modes différents de l'intervalle (a^^, a).

Observons tout d'abord que si on désigne par tu et M les limites inférieure et supérieure de la fonction fÇr) dans l'intervalle (a^, a) et, comme plus haut, par ln^ et M,, m^ et M,, ..., 7}^„ et M„, les limites inférieures et supérieures de la même fonction dans les intervalles partiels

(«„, «i), («1, «2)..., (a„i, fl), on aura

(«1 — «,) Wj + («2 — a^) w^ 4- ... + (a — a„i) m„^ (u— a„)«i, (a, — a„)M, + («2 — ai)M2 + ... 4- (a — a,,,) M„^(a — a^) M.

Considérons en effet la première inégalité : puisque les quantités f J — ff„, a, — a,, ..., a — a„i sont toutes positives ou nulles, la somme qui figure dans le premier membre ne peut que diminuer quand on remplace toutes les quantités «i,, m^, ..., ?h„ par la plus {)etite d'entre elles, qui est égale à m; or ce premier membre devient alors égal à (a — a„)m. Un raisonnement semblable s'applique à la seconde inégalité. On a déjà fait observer que toute somme relative au mode de décomposition («„ a^, ..., a) de l'intervalle («„, a) était comprise entre les deux sommes considérées, désignées sous le nom

Tannebv. — ThéO'-ir. 18

274 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE ' VARIABLE.

de sommes inférieure et supérieure relatives au mode de décomposition considéré. La différence entre deux sommes quelconques relatives à ce mode de décomposition est au plus égale, en valeur absolue, à

et, à fortiori, au plus égale à {a — o„) (M — m).

Supposons maintenant qu'on considère un second mode de décomposition, obtenu en subdivisant les intervalles partiels (a,„ aj), («i, cQ, ..., («n-i, a); les éléments de toute somme relative au second mode de décomposition pourront se grouper de la façon suivante : d'abord, les éléments qui correspondent aux intervalles p;irliels dans lesquels on a décomposé l'intervalle («„, «/); leur somme est, en vertu de la remarque précédente, comprise entre («j — «o)"'i <?^ (^^'i — f^j^^iî puis les éléments qui correspondent aux intervalles qui proviennent de la décomposition de l'intervalle («j, a^); leur somme est comprise entre (a^ — a,) nu et (a^ — «0 M^, etc. ; enfin les éléments qui correspondent aux intervalles qui proviennent de la décomposition de l'intervalle (a„i, a), dont la somme est comprise entre {a — «;,i) m„ et (a — «„i)M„; en résumé, on voit que la somme considérée est comprise entre les deux sommes inférieure et supérieure relatives au premier mode de décomposition; cette conclusion subsisterait évidemment quand même on aurait laissé, sans le décomposer, quelqu'un des premiers intervalles partiels.

Ces remarques faites, je vais établir la proposition suivante :

II. Pour que la fonction f (x) soit intégrable dans l'intervalle (a^, a), il faut et il suffit que, à cbaque nombre positif s corresponde un nombre positif r, tel que, pour tout mode de décomposition dans lequel les intervalles partiels sont tous d'étendue inférieure à r„ la différence entre les sommes supérieure et inférieure soit moindre que £.

Que cette condition soit nécessaire, c'est ce qui résulte du théorème {Tj et de ce fait que les sommes supérieure et inférieure relatives à un mode de décomposition font partie des sommes relatives à ce mode.

Pour prouver qu'elle est suffisante, je vais la supposer réalisée et en conclure que la condition (I) est aussi réalisée. Soient donc deux modes de décomposition

(«p, tti, ..., rt„-i, «), («„, a\, ..., aj,i, a)

pour lesquels les intervalles partiels aient tous une étendue moindre

que le nombre positif-^, correspondant, d'après la condition (II), au

nombre positif arbitrairement choisi s; si l'on désigne par s, s' les

sommes inférieures, par S, S' les sommes supérieures relatives à ces

deux modes de décomposition, on aura, en vertu de l'hypothèse

admise,

soient maintenant Z, Z' deux sommes quelconques relatives, l'une au premier mode de décomposition, l'autre au second; on aura

rangeons tous les nombres a„, «j, ..., ««], a[, (([, ..., «p-i, ci par ordre de grandeur; il résultera de là un troisième mode de décomposition de l'intervalle («„, a), qui pourra être considéré comme obtenu par une subdivision ultéi'ieure, soit des intervalles

(rt„ «i) («1, a,), ..., (««„ a),

soit des intervalles

Désignons par s' et S" les sommes inférieure et supérieure relatives à ce Iroisième mode de décomposition; on aura, en vertu des remarques précédentes,

On a d'ailleurs

(7) Z — :i' ={1 — s) -{- {a — s") + (s" - s') -{- (s' — r); il résulte des inégalités (4} et (5) que l'on a

276 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIACLE.

puis des iiiégulilés (6) que l'on a

\ s — s" 1 -< ô, 1 .s" — s' I -< s; l'éi^alilé (7) montre donc que l'on a

Puisque le nombre arbitraire e peut être remplacé par -^^ on voit

qu'à chaque nombre positif e correspond un nombre positif -i] tel que la différence entre deux sommes quelconques 1, I' relatives à n'importe quel mode de décomposition pour lesquels l'étendue de chaque intervalle partiel est inférieure à -q soit moindre que s; c'est la première forme que l'on a donnée à la condition nécessaire et suffisante pour l'existence du nombre J. Le théorème (II) est donc démontré.

Il suffit à établir l'existence de l'intégrale si la fonction f {x) est continue, ou si elle est croissante.

Si en effet la fonction f (x) est continue, au nombre positif £ correspondra un nombre positif -q tel que l'oscillation de la fonction dans tout intervalle d'étendue moindre que y; et contenu dans l'intervalle («a, a) soit moindre que s ; si donc on divise l'intervalle («„, a) en intervalles partiels moindres que •^, la différence entre les sommes supérieure et inférieure relatives à ce mode de décomposition, ou la somme des oscillations respectivement multipliées par les étendues des intervalles partiels, sera au plus égale à la somme que l'on déduirait de cette dernière en remplaçant les oscillations par s, c'est à dire au plus égale à (a — a^jz; comme le nombre arbitraire s peut

être remplacé par — - — ■> on voit bien que la condition (II) est

réalisée. Supposons maintenant que la fonction f {x) soit constamment croissante dans l'intervalle («(,, a); on peut même entendre le mot croissante dans un sens un peu moins restrictif que celui qui a été donné au paragraphe 80 et entendre que, quels que soient les nombres ce, x' appartenant à l'intervalle («„, «), l'expression

f{^)-f{^') X — x' est positive ou nuUc.

ClIAP. VI. — DKS INTKGRALES DÉFINIES. 277

Dès lors si l'on considère un mode quelconque de décomposilion (a„, «j, ..., «„i, a), les sommes inférieure et supérieure relatives à ce mode de décomposition seront

(«1 — ««) /(«l) + («2 - "i) fi'h) + ■■■ + (« — ««-•) /■(«)

et leur différence sera

+ ... + (a -«„,) Lr («)-/■ (««-i)]-

Comme toutes les quantités entre crochets sont positives ou nulles, on voit de suite que la somme précédente est au plus égale à celle qu'on en déduirait en remplaçant toutes les quantités a^ — «„, «2 — «1, •••, a — ff«-i par un nombre plus grand -r;, c'est à dire au plus égale à -q [f (a) — f (a^)] ; il suffira, étant donné le nombre positif £, de prendre

'''^f{a)-fiay

il est à peine utile de remarquer que l'on arriverait à une conclusion semblable si la fonction f{x) était constamment décroissante dans l'intervalle (a„, a).

Revenons au cas général : on peut encore transformer la seconde forme donnée à la condition nécessaire et suffisante, de façon à la rendre plus simple.

III. Pour que la fonction f (x) soit intégrable dans l'intervalle («g, a), il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif s corresponde un certain mode de décomposition de l'intervalle (a^, a) tel que la différence entre les sommes supérieure et inférieure relatives à ce mode soit moindre que s.

On a seulement à prouver que cette condition est suffisante : pour cela, je la suppose encore réalisée.

Soit (a„, «j, ..., «„i, a) un mode de décomposition tel que l'on ait

{a^ — «(,) Cj + («2 — a^) 0., + ... + (a — «„i) 5„ <: e,

en désignant par Q^, o^, ..., 3„ les oscillations dans les intervalles partiels; soit r, un nombre positif plus petit que le plus petit des

278 THKOrUK DES FONCTIONS d'uNF, VARIABLE.

nombres

«j — «(,, «2 — Op..., a — a„i;

considéron.ç un second mode de décomposition («„, aj, ..., ap i, a) de l'intervalle (a„, a) dans lequel tous les intervalles partiels soient moindres que r^y et enfin, comme plus haut, un troisième mode de décomposition («„, a\ ..., a^i, a), où «(,, a!|, ..., «5—1, sont les nombres o„, «j, ..., o„i, aj, rr'j, ..., «^',i, a rangés par ordre de grandeur; désignons encore par s, s', .s" les sommes inférieures, par S, S', S" les sommes supérieures l'elatives aux trois modes de décomposition, on aura toujours

chaque intervalle partiel (a„, «J), (aj, al), ..., (rt^'i, o) étant ])lus petit que -^ contiendra au plus l'un des nombres «„, aj, ..., a„i, a. Imaginons qu'on ait écrit explicitement les difTérences S' — ,s', S" — s"; chacune .sera la somme des produits obtenus en multipliant les étendues des intervalles par les oscillations cori'espondantes ; chaque intervalle du second mode qui ne contient aucun des nombres «,, «,, ..., cin—x se retrouve dans le troisième; à ces intervalles correspondent des termes identiques dans S' — s' et S" — s"; un intervalle du second mode tel que («,', a/4.1) qui contient l'un des nombres a; (j = i, 2, ..., n — 1) est remplacé dans le troisième mode par les deux intervalles (a-, a^), (a^, a-^,); le terme de S' — s',

(a.'+i — a'i) ol+u

où Oi'^-i, est l'oscillation de la fonctioa dans l'intervalle (a-, 0/4.1), est remplacé dans S" — s" par la somme

{Uj — a,-) s" + (a/n. 1 — a) 0",

somme au plus égale à (0/4.1 — a/)ci4 i, puisque les oscillations B", 0'" de la fonction dans les intervalles (a/, cij) (a^, a/4.,) ne peuvent dépasser 0/4-1. La différence entre S' — s' et S" — s" qui provient de là est donc moindre que (a/4.1 — a/)c/4-i et, à fortiori, moindre que-rjA, en désignant par A l'oscillation de la fonction dans l'intervalle (a„, a) ;

niîA . vr. — DES INTÉGRALES DÉFINIES. 279

on a donc

comme on a d'ailleurs

S' — s" ^ S — s < s, on aura

sous la seule condition que chaque inteivalle du second mode de décomposition ait une étendue moindi'e que •/;. Que l'on prenne par exemple

et la difïerence S' — s' sera sûrement inférieure à 2î; ainsi à chaque nomhre positif arbitraire 2 e correspond un nombre positif •/; tel que la différence entre les sommes supérieure et inférieure relatives à n'importe quel mode de décomposition dans lequel les intervalles ont tous une étendue moindre que -q soit plus petite que 2s. Le théorème (III) se ramène donc au théorème (II).

La forme (III) de la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction /'(.c) soit intégrable dans l'intervalle («„, a) est équivalente à celle qu'a donnée Riemann, qui le premier a résolu la question que l'on vient de traiter (').

Si l'on se reporte à l'expression

(«1 — «o) 5i + («2 — «i) 02 +... + (« — rt„i) o„

de la différeace entre les sommes supérieure et inférieure relatives au mode de décomposition («„, a^, ..., «„!, a), et si l'on désigne par K un nombre positif quelconque, par a la somme des étendues des intervalles partiels pour lesquels l'oscillation est supérieure ou égale à K, on voit de suite que la différence entre les sommes supérieure et inférieure relatives à ce mode de décomposition est comprise entre aK et (a — rv,,) K + aA, en appelant A l'oscillation de la fonction dans l'intervalle total (a^, a) : l'oscillalion dans chaque intei'valle partiel est en effet au plus égale à A.

(•) Sur lapossMUtéde représenter une fonction par une série trigonométriqiie. (Bulletin des sciences mathéniafiqfies et astronomiques, V" série, t. V. p. 35; Werke, p. 226.)

280 THKORIK DES FONCTIONS d'uNF, VARIAIîI.K.

IV. Il résulte de là que, pour que la (onction Unie /"(a") soit intégrable dans l'intervalle {a^, «), il faut et il suffît qu'à chaque couple de nombr-es positifs K', a' réponde un mode de décomposition tel que la somme des étendues des intervalles partiels pour lesquels l'oscillation est égale ou supérieure à K' soit moindre que x .

La condition est nécessaire : en effet, supposons donnés les nombres a', K'; soit t un nombre positif arbitraire; si la fonction est intég-rable, il y a un mode de décomposition pour lequel la différence entre les deux sommes supérieure et inférieure est moindre que e ; il faut donc, en désignant par a la somme des étendues des intervalles où les oscillations sont supérieures ou égales à K', que l'on ait

et, par suite, en prenant s =: a'K',

La condition est suffisante, car si elle est réalisée, si l'on se donne le nombre e et que l'on prenne

2(a — ffj 2 A

il y aura un mode de décomposition pour lequel la différence entre les sommes supérieure et inférieure sera moindre que

Le nombre J dont on a démontré l'existence sous des conditions précises imposées à la fonction /"(.<■), nombre qui dépend de cette fonction et de l'intervalle (a„, a), est ce que l'on appelle utie intégrale définie. On le représente j)ar le symbole

J= f"f(œ)dx «y<'o

que l'on énonce somme depuis a„ jusqu'à a de fÇv)dx; le symbole dx

(1) JJ. Darboux {Mémoire sur les fonctions discontinues, p. 64) a monlré que, élant donnée une fonction quelconque f'{x) finie clans l'intervalle («o, a], les sommes supérieure et inférieure tendent toujours vers des limites lorsque l'on déoumpose l'intervalle (ûj, a) eu un nombre infiniment grand d'intervalles infiniment petits; quand ces deux limites sont égales, la fonction est iulégrable dans l'intervalle (an, a'.

CHAP. VI. — df:s intégrales définies. 281

est mis là pour garder la trace des intervalles partiels «j — a ,, a, — f/,, ..., a — «„i. On [teiit, si l'on veut, supposer tous ces intervalles égaux à

Aj?

et regarder J comme la limite, pour n infini, de la quantité

Ix \ f{x) -f- f(x + \x) + f{x + 2^x) + ... + f[x -+■ (n— 1) \x] \.

Dans la définition de l'intégrale définie, on a supposé la limite inférieure a g plus petite que la limite supérieure a; supposant toujours rt^ -< a, on convient de définir la valeur du symbole

f{x) dx par l'égalité

/ "fix) dx = — f{x) dx;

si l'on avait a^ = «, on regarderait les deux membres de l'égalité précédente comme nuls.

154. En se reportant à la définition de l'intégrale définie et aux conditions qu'implique cette définition, on apercevra sans peine la vérité des propositions qui suivent.

Si une fonction f{x), finie dans l'intervalle («„, a), est intégrable dans cet intervalle, il en sera de même d'une fonction F (x) égale à la fonction f (x) pour toutes les valeurs de x aj)partenant à l'intervalle (a„, rt), sauf quelques valeurs en nombre limité, et l'on a

r f\x)dx= Cy {x)d.i

tJ an O Ois

si, en effet, pour les deux fonctions f(x), F (ce) on considère par exemple deux sommes supérieures relatives à un même mode de décomposition, on voit que les éléments de ces deux sommes ne peuvent difierer que pour les intervalles partiels auxquels appartiennent des valeurs de .r qui rendent diflërentes les yV^wy, fonctions /■(.c), F {x)\ la diflérence entre les deux sommes peut donc être

282 TiiKoruK DES FONCTioN's d'llne vaiuable.

supposée aussi petite qu'on le veuf, puisque ces intervalles sont en nombre limité; le même raisonnement s'applique à deux sommes inférieures relatives au même mode de décomposition, etc.

Si une fonction f (oc), finie dans l'intervalle («q, a) est intégrable dans cet intervalle, elle est intégrable dans tout intervalle (b^, h) contenu dans l'intervalle (a^, a).

Si, en effet, on considère un mode de décomposition de l'intervalle («0, a) tel que &„, b fassent partie des nombres qui limitent les intervalles partiels, on voit que la différence entre les sommes supérieure et inférieure pour l'intervalle (b^, b) sera inférieure ou égale à la différence entre les sommes supérieure et inférieure pour l'intervalle («„, a).

Si b appartient à l'intervalle («„, a), on a

jf (x) dx= f V (-^0 dJO + rf{3c) dx.

Réciproquement une fonction f {x) intégrable dans deux intervalles contigus (a,,, &), (6, a) est intégrable dans l'intervalle («q, a), et l'égalité précédente a toujoiu's lieu; cette égalité subsiste lorsque l'on a r^Q <; a <: l», pourvu que la fonction f (x) soit intégrable dans l'intervalle (Op, b); elle équivaut en effet alors à l'égalité

/ f (x) dx = jf {x) dx-h f f{x) dx.

Elle a lieu, en général, quel que soit l'ordre dans lequel sont rangés les nombres «„, a, b, pourvu que la fonction soit intégrable dans l'intervalle limité par le plus petit et le ])lus grand de ces trois nombres.

Si, étant donnée une fonction f (x) dans un intervalle («„, <(), on peut décomposer cet intervalle en intervalles partiels tels que dans cbacun d'eux la fonction soit, ou continue, ou constante, ou croissante, ou décroissante, la fonction sera susceptible d'intégralion dansTintervalle (a^, a) et l'intégrale définie relative à cet intervalle sera la sonniie des intégrales relatives aux intervalles partiels.

155. Si f{x) et 9 (x) sont des fonctions susceptibles d'intégration

dans l'intervalle («„, cr), on voit (h suite que, en désignant par A et B des constantes quelconques, la foncliini

Af{x)+B.{x)

est aussi suscei)ti]jle d'intégral ion dans le même intervalle et que l'on a

/ "[Af {x) + Bç (x)] dx = A jf{x) dx ^B I \ (x) dx.

Si les deux fonctions /"(a;), 9 {x) sont finies et intégrables dans l'intervalle (a,,, a), il en est de même de la fonction f{x) X 9 (a:).

Supposons en effet que, dans un même intervalle, les limites inférieures des deux fonctions f{x), 9 (a;) soient respectivement m, \j. et leurs oscillations d, 5; on aura, en désignant par x et x' deux valeurs quelconques appai'tenant à cet intervalle,

f [x) = m -h hd, f {x') = m + Ji' <i, ç (x) =z ij. + r,0, 9 {x') = [J. 4- •/]' 0,

/*, /(', r,, r/ étant des nom])res qui appartiennent à l'intervalle (0, 1); on en déduit

/ (.r) X 9 (x) — / {x') X 9 (•!;') = {h — /i') ;j.t^ + (■/] — •/;') ino

+ (hr, — h'-q) do;

si donc on désigne [)ar A un nombre positif supérieur aux valeurs absolues de ni et 1;,, on voit que, dans l'intervalle considéré, l'oscillation de la fonction f (x) X 9 (x) seia moindre que

A(d+ 0) + do;

ceci posé, considérons un mode de décomposition (a„, «,, ..., On-i-, a) de l'intervalle (a^, rr) : soient d,, f/,, ..., f/„, Cj, c,, ..., o„ les o.scillalions respectives des fondions f (x) et 9 (x) dans les intervalles partiels (o^, «j), (a,, a^), ..., (a„i, a); si A est un nombre auquel les valeurs absolues des fonctions f{x), 9 (x) restent inférieures dans l'intervalle («(,, a), la somme ^ des oscillations de la fonction f{x) X 9 (•^') dans les intervalles (a„, «,), (oTj, a^), ..., («'„,, a), respec-

284 TIIKORIE DF.S FONCTIONS l/UNK VAF'.rAIîLE.

tivciiieiit multipliées par les étendues de ces intervalles, sera moindre que

(a, — a,) [A (c/, + Cl) + d,o,] + (a, — a,) [A (d.^ + S,) + d,o,] + ... + (« — «„,) [A {d„ + c„,) + d„5„);

dès lors, si z désigne un nombre positif arbitraire, on peut, puisque les fonctions f(x), z, (x) .sont intégrables dans l'intervalle (a„, a), supposer le mode de décomposition tel que l'on ait

{a^ — a^) di -h (a, — a^) d, + ... -\- (a — a„i) d„ < £,

si donc on désigne par B un nombre positif égal ou supérieur à l'oscillation de la fonction z, (.r) dans l'intervalle total («„, «), au moins égal par conséquent à cbacun des nombres Oj, o,, ..., o„, on aura

puisque t est arbitraire, et que les nombres A et B sont tixes, ou voit que le mode de décomposition peut être supposé tel que la différence S entre deux sommes supérieure et inférieure soit moindre que tel nombre que l'on voudra; la fonction /"(ce) X ? (^) est donc intégrable dans l'intervalle (a^, a).

On démontrera d'une façon analogue que si 9 {x) est une fonction finie et intégrable dans l'intervalle (a„, a), et dont la valeur absolue

reste supérieure à un nombre positif A, la fonction —^— sera inté-

grable dans le même intervalle.

156. La définition de l'intégrale définie permet, lorsqu'on se donne la fonction à intégrer et les limites de l'intégrale, d'obtenir des valeurs approchées de l'intégrale définie, mais ce n'est que dans des cas très particuliers qu'elle fournit la valeur exacte de cette intégrale; je me contenterai de citer l'exemple suivant (^) :

(1) Cet exemple est tiré des Vorksungen iiber die Théorie der best/mmten Intégrale rie M. Ferdinand Meyer, ouvrage rédigé d'après un cours professé par L'jeune-Dirichlet; la valeur de l'intégrale considérée a été donnée par Poisson [Journal de l'École polytechniqtie, 17= cahier, p. 617).

Soit, en désignant par a un nombre quelconque différent de un en valeur absolue,

J zz= / log (l — 2a cos 00 + a-) dx.

La fonction log (1 — 2 a cos x + 7.~) élant continue dans l'intervalle considéré, elle est intégrable, et l'on a par définition

im - y log (1 — 2a cos ^ 4- a*)

= lim - log n (1 — 2a cos — + a-);

mais, en vertu d'une identité bien connue, on a

'•="-', ir. ,, (a^" — l)(a-l)

II (1 — 2acos — + a-)=:^ ^^- \

on aura donc

J ou

Jzr:]

=: lim - flog ] ^ + log (1 - a^")l'

'rJ^â-n"'''""^''*"-')]'

suivant que a sera, ou non, compris entre — 1 et + 1 ; dans le premier cas, J est manifestement nul; dans le second cas, l'identité

log (a^" — 1) =: ?i log

montre que J a pour valeur t: log a^.

On aperçoit bien que c'est grâce à une circonstance très particulière que l'on a pu parvenir au résultat final. On va voir comment le calcul d'une intégrale définie se relie à la recherche de la fonction primitive d'une fonction donnée et comment ainsi ce calcul peut être effectué dans des cas très généraux.

157. Si /■ (a^j est une fonction finie susceptible d'intégration dans

286 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

l'intervalle (a„, a), l'intégrale

f (x) dx

est comprise, ainsi qu'on l'a vu (§ 153), entre les nombres m {a — a^ et M (a — aj en désignant par m et M les limites inférieure et supérieure de la fonction f{x) dans l'intervalle («„, a). Soit maintenant j? un nombre quelconque appai-tenant à cet intervalle, rintt''«iiale

f {x) dx

aura un sens (§ 15i); elle peut être considérée comme une fonction de X définie dans l'intervalle (a„, a); elle est d'ailleurs comprise entre les nombres

m {x — «,) et M {x — aj,

elle est donc finie (§ 74) dans l'intervalle (a„, a); elle y est aussi continue (§ 75) : en effet, si l'on désigne par x dix -h h deux nombres appartenant à l'intervalle («„, a), on aura (§ 15-4)

XX 4- A f^x fx + h

f (x) dx— f {x) dx= f{x)dx

et le second membre est compris entre mh et M/î; sa valeur absolue est au plus égale à M | /i |; si donc on se donne un nombre positif quelconque t et si on fait correspondre à ce nombre s le nombi-e

positif -^ =: ;^5 on voit que la différence entre deux valeurs de la

funcliun

o{x)=rf{x)dx

qui correspondent à deux valein^s de la variable x appartenant à l'intervalle («j, a) et ayant entre elles une différence moindre que -q est, en valeur absolue, moindre que z; la fonction ç {x) est donc continue dans l'intervalle (a,,, a).

Enfin, si la fonction f(x) est continue dans l'intervalle («„, a), la fonction ^ {x) a, dans cet intervalle, une dérivée égale k f{x); en effet

l fx+h

si l'on désigne par iu' et M' les limites inférieure et supérieure de la fonction f {x) dans l'intervalle {x, x + /*), l'intégrale

f(x) dx

est comprise entre »^'/( et M7;, le second membre de l'égalité précédente est donc compris entre liî.' et M'; si la fonction /"(.a?) est continue pour la valeur considérée x de la variable, on peut affirmer qu'à chaque nombre positif s correspond un nombre positif •/] tel que la ditïérence M' — m.' soit moindre que s, si la valeur absolue de h est moindre que -^ ; puisque la valeur de /' (x) est comprise entre m' et M' , on aura certainement, sous la même condition | /i | <; •^,

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Il convient de faire en passant la remarque suivante : si l'on a

et si fa {x), /"j ix) sont deux fonctions respectivement continues dans les intervalles («„, Oj), («j, a^), mais telles que l'on n'ait pas

fo («i) = fi («i),

une fonction f {x), définie dans l'intervalle (a^, a^) par cette condition qu'elle soit, dans l'intervalle (a„, a^), constamment égale à f^ {x), et, dans l'intervalle («i, a^), constamment égale à f^ (x), sauf pour la valeur x = a^ qui lui fait acquérir la valeur f («j) = f, («j), sera, d'après les propositions établies dans les paragraphes 153 et 154, intégrable dans l'intervalle (a^, a^; dans cet intervalle, la fonction

f{x) dx est une fonction continue de x\ elle admet (au sens du paragraphe 126)

f„ {x) pour dérivée dans l'intervalle («„ a^), /j (x) pour dérivée dans l'intervalle («j, «,); pour a; = «j, cette fonction admet /j, (a^) pour dérivée à gauche, f^ («,) pour dérivée () droite; considérée dans tout l'intervalle (a,,, «,) cette fonction continue n'admet pas de dérivée pour X =^ a^. On voit bien nettement, sur cet exemple, comment, au moins pour une valeur particulière de la variahle, la continuité n'implique en aucune façon l'existence de la dérivée.

On va maintenant répondre à la question posée au paragraphe 152. Étant donnée une fonction f {x) continue dans l'intervalle («„, «), il existe une fonction o (x) continue et admettant f{x) pour dérivée dans cet intervalle; elle est définie par l'égalité

9{x)=rf{x)dx.

Toutes les fonctions qui jouissent de la même propriété s'obtiendront en ajoutant à celle-là une constante arbitraire.

Inversement, si l'on connaît une fonction F {x) définie dans l'intervalle (rt(„ a) et admettant f (x) pour dérivée, on peut être certain qu'il existe une constante C telle que l'on ait, pour toutes les valeurs de X appartenant à l'intervalle (a„, a),

F(ir) + G=r / f{x) dx;

cette égalité devant subsister pour x = «„, il faut que l'on ait

on aura donc

. {X) = rf (x) dx = F {X) - F (a,).

Par exemple on aura

C'' dx , r^' dx , X

/ — = log X, / — = log -

Ji X Ja X a

en supposant a ei x de mêmes signes ;

p dx r- dx