I :, = arc tg X, I r = arc ta: x — arc tu- a
Jo l + Xr ' Ja l -h X-
Cn.\P. VI. — DES INTÉGRALES DÉFINIES. 289
quels que soient a ei x; en donnant à arc tg x le sens précisé au paragraphe 98,
= arc sm x — arc sin a,
en supposant a et a; compris entre — 1 et + 1 On désigne souvent par le symbole
f {x) dx
la fonction primitive de la fonction f{x); la valeur de ce symbole n'est déterminée qu'à une constante près. On lui donne le nom d'intégi'ale indéfinie. On peut le regarder comme une intégrale définie dont la limite supérieure serait x et la limite inférieure arbitraire.
On écrit par exemple
= arc tg ;r, l cos x dx =: s'm x, etc....
C'est l'objet de l'un des chapitres du calcul intégral que de faire connaître des classes très étendues de fonctions f (x) dont on peut obtenir les fonctions primitives exprimées au moyen des fonctions algébriques, des fonctions e^, log x, tg x, arc tg 07, ... et des combinaisons de ces fonctions; un autre problème, qui peut donner lieu à des développements indéfinis, est le suivant : des propriétés de la fonction donnée f{x) déduire les propriétés de la fonction
t/oo
f{x) dx;
on peut, par exemple, chercher à retrouver les propriétés de la fonction logarithmique en partant de la définition
log X
Ç' dx
Jï X
et l'on comprend comment la fonction logarithmique, si elle n'avait pas été connue avant l'invention du calcul intégral, se serait introduite d'une façon nécessaire pour répondre à cette question : quelle est la Tannery. — r/i^one. 19
290 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIADLE.
fonction doul la dérivée est -? la fonction logarithmique aurait ainsi
conduit à la fonction e*" dont elle est la fonction inverse; on pourrait en dire autant des fonctions arc tg x et tg x, etc. On conçoit ainsi comment le problème posé au paragraphe 152 conduit inévitablement à la définition de nouvelles fonctions transcendantes. L'étude des propriétés de ces fonctions, des relations qu'elles ont entre elles ou avec les fonctions précédemment connues, a, dans ce siècle, conduit à des résultats considérables, dont il est irnpossiljlo de prévoir le terme.
158. On a déjà eu plusieurs fois l'occasion de s'appuyer sur ce fait que, si l'on suppose la fonction f (x) finie et susceptible d'intégration dans l'intervalle («„, «), l'intégrale
=fj(^)
dx
est comprise entre M {a — a^) et m (a — «„); en désignant par M et m les linriites supérieure et inférieure de la fonction /"(d*), il est naturel de se demander si la valeur de J peut atteindre une de ces limites, la première, par exemple.
Si l'on considère un mode de décomposition quelconque (a^, «j, ..., a„i, a) de l'intervalle (a^, «), on a vu que J était compris entre les deux nombres
(Oj — ao) m^ -+- («2 — «i) l'ih, + ... + (« — (t„-i) »2„, («1 — «„) Mj + (a^ — «i) Mj + ... + (« — o„i) M„,
en désignant par «jj, »?,, ..., «!„, Mj, M,, ..., M„ les limites inférieures et supérieures de la fonction dans les intervalles partiels; puis donc que les nombres Mj, M^, ..., M„ sont au plus égaux à M, J ne peut être égal à
que si l'on a
Mi=:M, = ... = M„=M.
Par conséquent le nombre J ne peut être égal à (« — «o)^^ ^"6 dans le cas où, quels que soient les nombres différents ^j, q appartenant
à l'inlervalle («„, a), la fonction f {x) a M pour limite supérieure dans l'intervalle {p, q); s'il en était ainsi et si l'on savait d'ailleurs que la fonction f {^c) est continue dans l'intervalle («„, a), ou que cet intervalle peut cire décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction fût, ou continue, ou croissante, ou décroissante, ou constante, on pourrait affirmer que dans l'intervalle (a„, a) la fonction f{x) est constamment égale à M.
De même pour que le nombre ,1 fût égal à (a — a^) rii, il faudrait que, dans tout intervalle (p, q) dont les limites jy, q, supposées distinctes, appartiennent à l'intervalle («„, a), la limite inférieure de la fonction f (x) fût égale à m; si la fonction f{x) était continue dans cet intervalle, ou si l'intervalle («„, a) pouvait être décomposé en un nombre fini d'intervalles tels que, dans chacun d'eux, la fonction f(x) lut certainement ou croissante, ou décroissante, ou constante, on pourrait affirmer qu'elle est constamment égale à m.
Par conséquent, sauf dans les cas exceptionnels qui viennent d'être précisés, on peut affirmer que le nombre J est égal au produit de a — ((q, par un nombre [j. compris entre m et M, ces limites étant exclues; si la fonction f (x) est continue, il y a (§ 84) un nombre ^ appartenant à l'intervalle (a^, a) tel que l'on ait
On peut donc écrire
(1) jj{x)dx=^{a-a,)f(^);
on peut môme supposer dans ce cas le nombre ; différent de a^ et de o; soient en effet x' et a?" les deux nombres de l'intervalle (a„, a) pour lesquels on a (§ 85)
fi:x') = M, f(x") = m;
la fonction continue f (x) — [j. étant positive pour x = x' , négative pour X z= x\ s'annule pour un nombre ^ compris entre x' et x\ par conséquent compris entre «„ et a et distinct de ces limites.
Si F {x) est une fonction qui, dans l'intervalle («(,, a), admette f{x) pour dérivée, on ;iura
j"nx)dx = ¥{a)-F{a,)
292 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIADLE.
et l'égalité (1) deviendra
cette égalité exprime le théorème démontré d'une autre façon dans le paragraphe 136 ; mais, à la vérité, la nouvelle démonstration suppose la continuité de la dérivée f{x) de la fonction F (x), continuité qui n'était pas supposée dans la première démonstration.
On peut aussi établir de la même façon une formule analogue à celle du paragraphe 146; je vais le faire en suivant une méthode due à M. Darboux ('), et qui peut conduire, comme il l'a montré, à un grand nombre d'autres résultats.
Soit 9 (t) un polynôme entier en t du degré n, et f{x) une fonction de X admettant des dérivées première, seconde, ..., [n + l)*^™»
f'ix), f'ix),..., r-^M^);
considérons la fonction de t
W (t) = f> {t) f{x -h ht) - hf-'-' (t) f {x + /( 0
4- h'f'-'^ (or {-v + ht) +...+(- ly-i /*"-' s' (t)f'-'Hx + ht)
+ {-iyh"^,{t)f"{x-\-ht),
où h est une constante et où o' (t), o" (t), ..., 9"" (t) sont les dérivées successives du polynôme o {t); en prenant les dérivées des deux membres par rapport à t, on trouvera après des réductions faciles
W (0 = (— 1)" h"+'o (0 f" + ' {x + ht).
On en déduira, en intégrant entre les limites zéro et un,
w (1) — n- (0) = (— i)« /("+' / s (/) f"+' (x + h t) dt,
ou, en désignant le second membre par R„ et en remarquant que g'"^ (1) est égal à ç^"^ (0), puisque 9^"^ (t) ne dépend pas de t,
(!) Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable {Journal de Liouville, Z' série, t. II, y. 295j.
Si, dans cette formule, on remplace 9 (t) par (1 — t)" et que l'on divise les deux membres par ( — 4)" 1.2 ... n, on aura
f{x) = jf' {X) + ■ ' h''
f{x + h) - f (x) = - f {X) + YTi ^" ^-^'^ "^"
l . c ... 11 Jo
159. Soient 9 (x) et f (x) deux fonctions finies et intégrables dans l'intervalle («oi «); il en sera de même de leur produit; supposons que, dans cet intervalle, la première fonction 9 (x) ne soit jamais négative, ou jamais positive, on aura
/ <f (x) f {x) dx = [J. j 9 (x) dx,
en désignant par [;, un nombre compris entre la limite inférieure m et la limite supérieure M de la fonction f{x) dans l'intervalle (a^, a) (') ; sauf dans des cas exceptionnels, que la démonstration précisera suffisamment, on peut affirmer que le nombre \). est distinct des nombres m et M. Je suppo-serai, pour la démonstration, que 9 (,r) ne soit jamais négative. Les fonctions
o{x)[li-f{x)l ^{x)[f{x)-ml
ne sont, en vertu des bypotbèscs que l'on a faites, jamais négatives dans l'intervalle («„, a), leurs limites inférieures sont donc, ou nulles, ou positives; on a donc, d'après le théorème démontré dans le paragraphe précédent,
i j%{x)[U-f{x)\dx^(),
f / ? (•^) [/■ {^) '- w] dx^O;
on ne pourrait avoir le signe = dans la première inégalité que si la fonction
Hx)[M-f{x)]
(') On fionne souvent à ce thoorème. le nom de. premier théorème de la moyenne.
294 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
avait pour limite inférieure zéro dans tout intervalle contenu dans l'intervalle (a^, a); de même pour la seconde inégalité.
D'ailleurs les inégalités qui précèdent équivalent aux suivantes :
) / ç {x) dx^ 1% (x) f (.r) dx ^ M / % (x) dx,
qui démontrent la proposition éncmeée. Si la tunclion f (x) est continue dans l'intervalle (a^, a), il y aura une valeur ç appartenant à cet intervalle pour laquelle on aura
et I on pourra écrire
f%{x)f{x)dx = f(X)f%{x)dx.
S'il y a un intervalle contenu dans l'intervalle («q, a) dans lequel la fonction o (x) ait une limite inférieure autre que zéro et dans lequel la fonction continue /" (.r) ne soit pas constante, on peut affirmer que le nombre ç est différent de a„ et de a. Dans ce cas, en effet, il y aura un intervalle contenu dans l'intervalle considéré dans lequel les fonctions M — f{x), f (x) — m ne s'annuleront pas et resteront supérieures à un certain nombre positif; il en sera de même du produit de ces fonctions par 9 {x); en sorte que le signe =: devra être exclu des inégalités (1) ou (2); d'ailleurs si l'on désigne par x' , x" les valeurs appartenant à l'intervalle (a^, a) pour lesquelles on a
les inégalités (2) équivalent à dire que la fonction continue de x
fix) f% (x) dx — f% (x) f{x) dx
(où les intégrales doivent être regardées comme des constantes), est positive pour x = x' , négative pour x = x" ; cette fonction s'annule donc pour un nombre q compris entre x' et x", distincts de ces nombres et par conséquent de a^ et de a.
Si l'on se reporte, par exemple, à l'expression considérée à la fin du dernier paragraphe.
(1 tyf"'+''{.jc + ht) du
on voit que cette expression, si la fonction de t, f" + ^'' (oo + ht), est continue dans l'intervalle (0, 1), peut s'écrire
^f\,^e>'dt^-L^j
fn+i çjo -h e/t) / (i — ty dt = /'f»+" (,c + o/i),
0 étant un nombre compris entre zéro et un; en multipliant cette
quantité par t— r 5 on retrouve l'expression du reste de la série
de Taylor, donnée par Lagrange.
Considérons encore l'expression
r^ dx
«^» Vn — x'-)(]
où la constante kr est supposée plus petite que un et où la limite supérieure x de l'intégrale est un nombre positif plus petit que un; on aura, en désignant par ^ un nombre compris entre zéro et x,
J Vi — /c^;^ = arc sin a', et par conséquent
sin (j Kl — k-) <: a; <; sin J.
160. Au théorème qui fait l'objet du paragraphe précédent se rattache une autre proposition, un peu plus cachée, à laquelle on donne habituellement le nom de second théorème de la moyenne ('); elle repose sur le lemme d'Abel établi au paragraphe 70.
(1) Ce ihôoremo est dû à M. 0. Bounet qui l'a énoucù sous la forme suivaiile : « Si l'iutésrale délinie
^J{co)d,
dans laquelle f (x) est une fonction liuie quelconque, reste comprise entre les limites A et B (juaud x varie de a i\ b, l'intégralo
dans laquelle cp {x) est une fonction toujours positive, et croissante ou constante lorsque x croit, reste comprise pour les mêmes valeurs de x entre A y (a) el Qcp (a). » (Mémoire 6îtr la théorie générale des suites, dans les Mémoires couronnés et Mémoires des Savants étrangers publiés par l'Académie royale de Belgique; l. XXIII, p. 8.) M. Bonnet fait
296 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
Je ferai d'al)ord la remarque suivante : Soit f (x) une fonction finie et intégrable de la variable x dans l'intervalle («„, a); soit (a^, a^, ..., a„i, a) un mode de décomposition de l'intervalle (a„, a) en intervalles partiels: désignons par /o, /"p ..., f„-\-. f„ 'es valeurs de la fonction f{x) pour les valeurs r^„, o^, ..., o„i, a attribuées à la variable x; la somme
{a, — « o) f, -+- («, — o,) /-j + ... + (rt ff„,) /;,,
sera une valeur approchée de l'intégrale
n^^dx,
et l'erreur commise en substituant la somme à l'intégrale sera au plus égale à la somme 5 des oscillations de la fonction f (x) dans les intervalles partiels (a^, a^), (a^, a,), ..., («„,, a) respectivement multipliées par les étendues a, — a^, a, — a^^ ..., a — o„i de ces intervalles; de même les quantités
(«1 — «o) fo^
(«1 — «o) /o + («2 — «l) fv
(«1 — «o) fo + («2 — «l) A + ••• + K — «.-O fi~l
pourront être prises pour des valeurs approchées des quantités //■ i-^) dx, ["''fix) dx, ..., / ' f (x) dx
«,'"0 t/oo t/oo
et, pour chacune d'elles, l'erreur sera moindre que B; si donc on désigne par A^ et A deux nombres tels que l'on ait, pour toute valeur de X appartenant à l'intervalle (a^, a),
/■(.c) dx
repo.-^er la iléinouslraliDii sur le lemme d'Abel. Les transformations do cet énoncé que l'on trouvera dans le texte sont dues à M. Weierslrass; elles ont été publiées par M. du Bois-Reyinond (Journal de Crelle, t. LXIX, p. 6S et suivantes). On peut consulter aussi sur ce sujet une intéressante lettre de M. Krouecker a M. Mansion {Mathesis, t. V, p. 99). On verra dans les remaniues relatives à l'énoncé que l'illustre algébriste se pince à un point de vue très différent de celui qui a été ailopté dans cet ouvrage.
on peut affirmer que les quantités
sont toutes comprises entre A^ — o et A + 5; enfin, je rappelle que, si £ est un nombre positif arbitrairement donné, on peut supposer le mode de décomposition («„, a^, ..., a„i, a) tel que l'on ait c < s.
Ceci posé, .soit o (x) une fonction de la variable x qui, dans l'intervalle («0, a), ne soit jamais négative, qui, en outre, soit décroissante ou constante; j'entends par là que, quelles que soient les valeurs x, x' appartenant à l'intervalle (a^, a), on doit avoir
,(,,)So, °-W-9/^')<o.
la fonction f{x) o (x) sera intégrable dans l'intervalle («(,, «) (§ 155). Si, tout en conservant les notations précédemment adoptées, on désigne par o^, ^^, ..., ç;„i les valeurs de la fonction © (x) pour les valeurs a^, «j, ..., «„i attribuées à la variable x, la somme
sera une valeur approchée de l'intégrale
= / f{x)o{x)dx,
nJ (ta
et le mode de décomposition (n^, a^, ..., a„i, a) peut être supposé tel que les conditions précédemment imposées, relatives à la fonction f{x), soient vérifiées et que l'erreur commise dans l'évaluation de la dernière intégrale soit moindre que s. Dès lors les quantités îq, Gj, ..., ç;„i étant toutes positives (ou nulles) et formant une suite décroissante, et les quantités s,,, s^, ..., .s„i étant toutes comprises entre A^ — e et A + e, la quantité S sera comprise entre
?o (Ao — e) et 9o (A + c),
ainsi qu'il résulte (§ 70) de l'identité
S = ?o Si + 9i (s, — Si) + ... + ç„i (s„ — s„i)
= Si (So — Çi) + s, (çPi — s,) + ... + S„i(3„2 — 9„i) + S„Ç„i,
dans le dernier membre de laquelle toutes les quantités
sont posilives ou nulles; mais les inégalités
9o (Ao - i; < S < ço (A + e), S — £<J<:S + £,
entraînent les suivantes :
ru^^o - - (ro + 1) < -I < ?o A + £ (ço 4- l);
et, connne t peut être pris aussi petit que l'on veut, il faut que l'on ait
c'est la proposition que j'avais en vue. En résumé si, dans l'intervalle («0, a), la fonction f (jc) est iinie et intégrable; si, dans le même intervalle, la fonction s (x) n'est jamais négative et, en outre, décroissante ou constante (dans le sens précisé plus haut), on aura
9 K"o) Ao ^ rV(^0 ? O^O dx ^ 9 («„) A,
en désignant par Aj, et A deux nombres tels que l'on ait, quelle que soit la valeur de x appartenant à l'intervalle (Oq, a),
fU)dx^A.
On pourra prendie en particulier pour A,, et A les limites inférieure et supérieure (§ 74) de la fonction de x,
rfix)dx,
défmie et continue (§ 157) dans Fintervalle («„, a). Ces limites sont atteintes pour des valeurs de x appartenant à cet intervalle (§ 85).
Les inégalités (1) donnent lieu à la remarque suivante : si la fonction o (.2?) n'est pas continue pour la valeur a? = «„ qui, dans l'énoncé du théorème comme dans la démonstration, est supposée plus petite que a, cette fonction, lorsque le nombre jo tend vers a^ par des valeurs décroissantes, tend vers une limite, puisque, dans ces conditions, elle ne décroît jamais et reste toujours inférieure ou égale à g (a^); désignons, en adoptant une notation employée par Lejeune-Dirichlet, cette limite par o («q 4-0); si la fonction s (x)
était continue pour x =■ cIq, le symbole o («„ + 0) ne représenterait pas autre chose que ç (Uq). Dans tous les cas, la valeur de l'intégrale
iy(x)o{x)dx
ne serait pas modifiée, si l'on remplaçait la fonction o (x) par une fonction <P (x) é<^a\e à o («(, 4- 0) pour x = a^^ et à 9 (ic) pour toutes les autres valeurs de x appartenant à l'intervalle (a^, a); d'ailleurs la fonction <î> {x) jouirait des propriétés requises pour l'application du théorème; on peut donc substituer aux inégalités (1) les suivantes, où les nombres A^, et A conservent les mêmes significations :
(2) A„. {a, + 0) ^\j{^) ? (^ dx^Ao («0 H- 0).
Enfin, si A^ et A sont les limites inférieure et supérieure de la fonction de x.
f{x) dx,
définie et continue dans l'intervalle (a^, a), cette fonction doit prendre n'importe quelle valeur B appartenant à l'intervalle (A„, A) pour une valeur q de x, appartenant à l'intervalle (a^, a); on voit donc que les inégalités précédentes peuvent être remplacées par l'égalité
f"f{x).{^^-)dx=.{a, + 0)fy{x)d.c
ç étant un nombre dont on sait seulement qu'il appartient à l'intervalle («0, a).
M. Weierstrass a ti'ansf)rmé ce dernier énoncé de manière à obtenir une proposition applicable à une fonction 9 (x) qui, dans l'intervalle («(,, a) est, ou bien décroissante ou constante, ou bien croissante ou constante, c'est à dire, d'une façon plus précise, à une fonction ç {x) telle que, quels que soient les nombres x^ x' appartenant à l'intervalle (0^, a), on ait toujours
300 THÉORIE DES FONCTIONS d'UNE VARIABLE.
OU tuUJOlll'S
Supposons en effet qu'on soit dans le premier cas, la fonction
où 9 (a — 0) désigne la limite vers laquelle tend l'expression 9 (x), lorsque x tend vers a par des valeurs croissantes, sera décroissante ou constante dans l'intervalle (a,,, a) et ne sera négative pour aucune valeur de x appartenant à cet intervalle; on pourra donc lui appliquer le théorème qu'exprime l'égalité (3) et l'on aura ainsi
rvc^) [?(■'•)--.('-« -o)]dx
= [9 {a, + 0) - V (« - 0)] J^ V(.'-) dx, ou
( rf(x),{x)dx
I = . («„ + 0)j^ /-(.r) dx + 9 (« - 0)j^ /-(.x) dx;
^ désigne toujours un nombre appartenant à l'intervalle {a^, a). C'est l'égalité que j'avais en vue; elle subsisterait, si dans l'intervalle («q, a) la fonction 9 (x) était croissante ou constante; on le verra en remplaçant dans l'égalité (3) 9 (ce) par 9 (a — 0) — 9 (ce).
On trouvera plus tard une importante application du second théorème de la moyenne à la théorie des séries trigonométriques.
161. On a supposé jusqu'ici, lorsque l'on a considéré une intégrale définie
V (x) dx.
que, dans l'intervalle («p, a), la fonction 9 (ce) était finie (§ 74); on peut étendre la notion d'intégrabilité à des fonctions qui ne satisfont pas à cette condition.
Soit (tto, a) un intervalle et supposons que, quelque petit que soit
r.HAP. VI. — DES INTÉGRALES DÉFÎMES. 301
le nomln-e positif z<za — o^, la fonction 9 (x) soit finie et intégrable dans l'intervalle («„, a — s) ; si la quantité
tj"a
définie tant que l'on a 0 <; s <; a — a^, tend vers une limite J lorsque s tend vers zéro (par des valeurs positives), il sera naturel de regarder le nombre J comme étant, par définition, la valeur du symbole
o (a-) dx.
Cette circonstance se présentera nécessairement si la fonction 9 (x) est finie et intégrable dans l'intervalle (a^, «), puisque alors y (e) est une fonction continue de s et la nouvelle définition du symbole
(jc) dx
coïncidera avec celle qui avait été primitivement adoptée; mais la quantité désignée par y (e) peut avoir une limite, lors même que la fonction © (x) ne serait pas finie au sens du paragraphe 74 dans l'intervalle (« — s, a), lors même qu'elle ne serait pas définie, ou n'aurait pas de sens pour x = a; on sait, par exemple, que l'on a, quel que soit le nombre x compris entre zéro et un.
dx
arc sni x
Vl-x"-
lorsque x tend vers un par des valeurs croissantes, le second membre tend vers la liinito ^j; il en est nécessaii'ement de même du premiei-,
quoique la lonclion — grandisse indéfiniment quand x tend
vers un par des valeurs croissantes et n'ait point de sens pour x=:z l.
On dira que la fonction — ^z=r est intégrable dans l'intervalle (0, 1)
Kl -x' et l'on écrira
dx T
302 THKÛRIE DES FONCTIONS d'cNE VARIABLE.
Ce qui vient d'être dit pour la limite supérieure a de l'intervalle s'applique à la limite inférieure a^ ; on pourra écrire, par exemple,
r dx r.
Supposons maintenant que h étant un nombre compris entre a^ et a, la fonction ç {x), quelque petits que soient les nombres positifs e, r„ soit finie et inlégrable dans les intervalles (a^, h — s), {b + t„ a) et que la quantité
-/ (£, r,) = f ' -, (x) dx + r 0 {x) dx,
Jac, Jh + r,
définie tant que Ton a
tende vers une limite J lorsque les noinlires s, r, tendent vers zéro, indépendamment l'un de l'autre, on dira que la fonction z (x) est intégrable dans l'intervalle (a„, a) et l'on écrira
J — J„ çG^t^-^;
c'est ce qui arrivera certainement si la fonction ç (.t) est finie et intégrable dans l'intervalle (h — e, 5 + r,), et par conséquent dans l'intervalle {a^, a); mais cela pourrait arriver sans que la fonction o {x) fût finie dans l'intervalle (6 — e, b -\- r,), lors même qu'elle n'aurait point de sens, ou ne serait pas définie, pour x =.b. Par exemple, dans tout intervalle qui ne contient pas zéro, la fonction Vx a pour
dérivée — -—•> on en conclut, s et r étant positifs, 3 l>'.i-'
' dx r^' d
J --^ Vx- •/ >3 yx-
lorsque s et •,'; tendent vers zéro par des valeurs positives, le second membre a pour limite le nombre 6; telle est donc aussi la limite du
premier merabro: la fonction -—=: qui grandit indéfiniment quand x
CIIAP. VI. — DES INTÉGRALES DEFIMES. 303
tend vers zéro, qui n'a pas de sens pour x = 0, est inlégrable dans l'intervalle ( — 1, + 1 ) et l'on a
En disant en général que -/ (z, r,) tend vers la limite .1 lorsque s, r, tendent vers zéro par des valeurs positives, on entend qu'à chaque nombre positif a correspond un nombre positif a' tel que les inégalités
(1) 0<£<a', 0 <;•/;< 7.', entraînent l'inégalité
Cette circonstance se présentera évidemment si, lorsque s, r, tendent vers zéro, les quantités
J '■» J l' + ri
tendent respectivement vers des limites Jj, J,, on aura alors
J rrz Jj + J,;
elle ne peut d'ailleurs se présenter que dans ce cas; car si l'inégalité (2) a lieu pour toutes les valeurs de s, r, qui vérifient les inégalités (1), on voit que, en désignant par s, e', •/) des nombres positifs plus petits que ?.', on devra avoir
|x(e',r,)-Ji<:a, et par suite
Celte dernière inégalité devant avoir lieu .sous les seules conditions
il faut (§ 78) que la fonction y (s) ail une limite quand s tend vers zéro par des valeurs positives.
Si, par exemple, en supposant toujours
on prend
on aufa, en remarquant que est la dérivée de log {h — x)
si X est plus petit que h, de log {x — h) si x est plus grand que h^
-'" dx e
,- = log 7
dx , a '— b
= log ;
r''-- dx [*"■ dx , a — b , s
et il suffît de faire tendre s et •/; vers zéro de façon que leur rapport
ait pour limite un nombre positif arbitraire K pour que le second
membre tende vers la limite
log h log K.
On voit qu'il n'y a pas lieu d'attribuer un sens au symbole ■:) dx
quand les deux quantités désignées plus baut par /, (e), y^ (•/;) ne tendent pas vers des limites lorsque e, r^ tendent vers zéro.
En me bornant toujours aux valeurs de x qui appartiennent à un intervalle (a„ a) et b étant une de ces valeurs, je dirai d'une fonction ç [x) qui peut n'être pas détinie ou n'avoir pas de sens pour x ^= b, mais qui est définie pour les valeurs voisines qui appartiennent à l'intervalle (a^, a), qu'elle devient infinie dans le voisinage de b si à chaque couple de nombres positifs A, a, dont le premier peut être aussi grand et le second aussi petit qu'on le veut, correspond une valeur x appartenant à l'intervalle (a^, a) telle que l'on ait à la fois
(1) Il sera facile au lecleur de prouver, en employant un mode do raisonnement analogue à celui du paragraphe 77, que si une fonction est déflnic pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle («o, a) et ne devient infinie dans le voisinage d'aucune valeur appartenant à cet intervalle, cette fonction est finie clans l'iatervalle («o, a], au sjns du paragraphe 74.
Si une fonction o ix) est définie pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle («„, a) sauf, peut-être, pour un nombre limité de ces valeurs, si elle ne devient infinie qu'aux environs d'un nombre limité de valeurs de x appartenant à l'intervalle, si enfin elle est finie (^) et intégrable dans tout intervalle contenu dans (Oq, a) et auquel n'appartient aucune des valeurs de x aux environs desquelles la fonction devient infinie, il est clair qu'on pourra étendre à cette fonction les considérations développées au début de ce paragraphe et chercher si elle est, ou non, intégrable dans l'intervalle (Oq, (i). Comme dans le cas où la fonction ne devient infinie qu'aux environs d'une seule valeur de a;, on ramènera le problème, en décomposant l'intervalle («o, a) en un nombre suffisant d'intervalles partiels, au cas où la fonction ne devient infinie qu'aux environs soit de la limite supérieure, soit de la limite inférieure de l'intégrale. Les raisohnements étant les mêmes pour les deux limites, je ne considérerai que la limite supérieure.
162. Soit donc cp {x) une fonction qui, quelque voisin du nombre a que soit le nombre ^ compris entre a^ <; a et «, soit finie et intégrable dans l'intervalle («q, ^), il s'agit, en supposant que la fonction 9 (.r) devienne infinie aux environs de x = «, de reconnaître si l'intégrale
^ ic) = ['' o {x) dx
tend vers une limite lorsque ; tend vers a par des valeurs croissantes.
C'est un problème qui est de la même nature que celui qui consiste à reconnaître si une série donnée est convergente ou non.
On remarquera d'abord que rien n'empêche, quand on cherche à répondre à la question posée, de substituer au nombre a^ un nombre fixe quelconque compris entre «q et a, mais distinct de a.
Le théorème du paragraphe 78 fournit ensuite immédiatement la règle suivante :
Pour que l'intégrale proposée ait une limite, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif a corresponde un nombre positif a' <; ff , tel
(1) Kii verlu .lo Im, uoIo précodonto la oondilion qu'expriinp TépillRMc /«à- csl imj quéu p.ir i'uUl's qui iirécùdeiil.
Tan.nerv. — Théorie. 20
P.OG THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
quo les inégalités entraînent l'inégalité
(x) dx
mais l'application de cette règle générale est souvent malaisée et il ne sera pas inutile de donner des règles particulières qui, dans des cas assez étendus, permettent de trancher la question.
Supposons que la fonction ç {x) puisse être mise sous la forme /■(x) X ^ Cï"), f G'c) étant une fonction finie et intégrable dans l'intervalle (a^, a) et <b (x) étant une fonction qui, quelque voisin de a que soit le nombre ; compris entre «„ et a., soit finie, intégrable, positive (ou nulle), dans l'intervalle («„, H), qui enfin devienne infinie aux environs de x z= a;\Q premier théorème de la moyenne fournira l'inégalité
V(«) '^ {x) dx I < A r 'h {x) dx
en désignant par A un nombre positif auquel la valeur absolue de /"(x) reste inférieure ou égale dans l'intervalle (Op, a). Supposons en outre que l'intégrale
<b {x) dx
reste inférieure à un nombre fixe quand ç tend vers a par des valeurs croissantes; on voit d'abord que cette dernière intégrale tendra vers une limite, puisque, la fonction 6 {x) étant essentiellement positive (ou nulle), l'intégrale augmente avec sa limite supérieure. On voit aussi que, dans les mêmes conditions, l'intégrale proposée
(x) dx
reste, lorsque ç, s'approche de «, inférieure en valeur absolue à un nombre fixe. Si la fonction /"(x) n'était jamais négative, au moins à partir d'une certaine valeur de x < «, cela suffirait à prouver que l'intégrale proposée tend vers une limite, puisque, alors, elle irait en
CIIAP. Vf. — DES INTÉGRALES DÉFINIES. 307
augmentant avec sa limite supérieure; la même conclusion subsisterait si la fonction f (x) n'était jamais positive, elle subsiste d'ailleurs dans tous les cas; si, en effet, ^ et ç' >- ^ désignent des nombres compris entre a„ et o, le même théorème de la moyenne fournit l'inégalité
P f{:c) <^ (x) dx I < A P 'h (x) dx; puisque, d'ailleurs, l'intégrale
d/ (x) dx
tend vers une limite quand ^ tend vers a par des valeurs croissantes,
à chaque nombre positif -^ correspondra un nombre a' <=; a tel que
l'on ait
<b {x) dx <z—i
sous les conditions
on aura donc, à cause de l'inégalité (3), sous les mêmes conditions, <p (x) dx
ce qui, en vertu du théorème général, suffit à prouver l'existence d'une limite pour l'intégrale
ç (x) dx.
Supposons maintenant que, la fonction ^ (x) satisfaisant toujours aux mêmes conditions, l'intégrale
<i^ (x) dx
grandisse indéfiniment quand ^ tend vers a par des valeurs croissantes, s'il arrive que, «ô désignant un nombre fixe quelconque compris entre «q et «, et distinct de ce dernier nombre, la fonction
308 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIADLE.
f {x) dans l'intervalle («ô? ^0 conserve le même signe et reste supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif B, le premier théorème de la moyenne fournira encore l'inégalité
T' f{x) à (:x) dx > C )' 6 {x) dx,
qui montre clairement que le premier membre, comme le second, grandit indéfiniment quand ^ tend vers a par des valeurs croissantes, il en est de même de la valeur aJjsolue de l'intégrale proposée
0 (x) dx.
On voit sans peine que, dans ce cas, le rapport
/ç (x) dx tp
/à (x) dx
finit par rester, lorsque ^ tend vers a par des valeurs croissantes, compris entre deux limites fixes, dont aucune n'est nulle; c'est ce que l'on exprime en disant que le numérateur devient infini comme le dénominateur; cette locution prendra un sens plus précis si f{x) tend vers une limite, f{a — 0), différente de zéro, quand x tend vers a par des valeurs croissantes ; le précédent rapport a aussi pour limite f{a — 0); on voit en effet tout d'abord que, dans ce cas, le numérateur augmente indéfiniment par des valeurs positives ou négatives, suivant que la quantité f (a — 0) est positive ou négative. Soit maintenant a un nombre positif aussi petit qu'on le voudra, on pourra lui faire correspondre un nombre a' <za tel que sous les conditions
a' <; X <; «, on ait
en désignant par s un nombre positif égal ou inférieur à a — a' et par q un nombre compris entre a — e et «, on aura, toujours en
cil A p. VI. — DES INTÉGRALES DÉEINIES. 309
vertu du premier théoième de la moyenne
r f{.v)à{œ)dx
r <^ (,.) dx
d'ailleurs, une fois s fixé comme on vient de le dire, on pourra prendre \ assez voisin de a pour que les deux rapports
r %(,€)d..: r " ^h{A^dx
r o{£)dx r 'b{.r)
soient, en valeur absolue, moindres que a, puisque leurs dénominateurs peuvent être supposés aussi grands qu'on le veut; dès lors l'idenlité
r %{x)dx
J Oo
1 9 (x) dx i o (x) dx I ç (ic)
1 à{x)dx r ' à {x) dx f à {x) d.i
J a, ' J a-t ' , .'Ijll
I ' d/ {x) dx montre que le premier membre est compi'is entre
Or, le nombre a pouvant être supposé assez petit pour que l'un et l'autre de ces deux nombres soient aussi voisins que l'on voudra de f{a — 0), la proposition énoncée est démontrée. Le lecteur ne manquera pas de rapprocher cette proposition de l'une des règles de l'Hospilal (§ 151).
310 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIAliLE.
Les remarques précédentes permettront, dans bien des cas, de ramener le problème proposé à un problème plus simple.
Supposons, par exemple, qu'on puisse mettre la fonction sous le
signe / sous la forme
A (x-) et A {x) étant des fonctions finies et intégrables dans l'intervalle (05, a) et r un nombre positif, on aura
p 9 {x) dx = p f, (x) dx + p {a - x)-'- A (:/•) dx;
on n'a pas à s'occuper de la première intégrale du second membre ; quant à la seconde, si l'on applique la méthode précédente en prenant
pour (1; {x) la fonction positive -•> on voit de suite, en partant
de l'identité
valable tant que t est différent de un, que l'on a
(a — x)-'- dx = — -^ [(rt — ^)i-'- — {a — a,y-'] ;
si l'on a )• <: '1, le second membre tend certainement vers une limite quand ç, tend vers a par des valeurs croissantes; dans ce cas l'intégrale
<i (.r) dx
a un sens; si l'on a r r> 1 et si, dans l'intervalle (o^, a), la fonction f, (x) garde un signe constant et reste supérieui'e, en valeur absolue, à un nombre positif fixe, l'intégrale
{x) dx
grandit indéfiniment en valeur absolue quand ç tend vers a par des valeurs croissantes ; elle devient infinie comme
si l'on avait r = 1, on aurait
I (a — x)~^ dx =: log
si la fonction f^ (x) iînit encore par garder un signe constant et par rester supérieure en valeur absolue à un nombre positif fixe, l'intégrale proposée deviendra infinie comme log (« — ce). Par exemple, l'intégrale
dx
où A;- est un nonihi'e plus petit que un, a un sens, puisque l'on a
i et que le facteur (1 — x) ' qui devient infini aux environs de x = 1
est affecté de l'exposant — - dont la valeur absolue est moindre que
un; au contraire si l'on avait /r =: 1, l'intégrale proposée n'aurait pas do sens et l'intégrale
dx
K(i — xy
deviendrait, quand x tend vers un par des valeui's croissantes, infinie comme log (i — x).
L'intégrale eidérienne de première csjièce
j as*-' (1 — x)«-^ dx,
où p, q sont des nombres positifs, bien que la quantité sous le signe 1
devienne infinie aux limites inférieure et supérieure de l'intégrale, a un même sens, si les nombres p, g sont [)lus petits que un. L'intégrale
r dx
