J 0 COS X

312 TIIKORIE DES FON'CTIOXS D'uNE YARlAIîLE.

devient infinie comme log- i- — xj quand x lend vers ^ par d(; valeurs croissantes ; on a en effet

cos

|,sin(|-cc)

et le second facteur a pour limite l'unité quand x tend vers- par des valeurs croissantes; on a d'ailleurs, pour x compris entre zéro et '^i

On a considéré au paragraphe 156 l'intégrale

log (1 — 2 a cos X -+■ a-) dx; en supposant a'^i ; pour a =1, la fonction sous le signe/ peut s'écrire

log (1 — cos a:)- = log 4 +4 log sin - ;

elle devient infinie pour x == 0; mais l'identité

log sm -=. X- \x' log sm —y

où Ton suppose que r est un nombre positif quelconque plus i^etit que un et où le facteur qui, dans le second membre, multiplie x~'' a zéro pour limite quand x tend vers zéro par des valeurs positives, montre que l'intégrale proposée a un sens; en appliquant une méthode analogue à celle du paragraphe 156, on trouve

log (1 — cos x)^ rf» = — 2- log 2 (1).

(1) La comparaison a (x — a)—»' d'une funclion (p (a;) qui devient inlinip aux cnvi'ons

de a; := « ne suffit pas toujours à décider de la nature de l'intégrale | e» (m) dx. Oa

Tiout alors avoir recours aux critériums logarithmiques dont l'usage sera exposé à la page 318; le lecteur fera sans peine les légers changements qui permettent d'applii|ui'r cos critériums au problème actuel, lequel, comme on le verra § 165, ne diffère pus au fond du problème traité au § 164.

163. Les résultats du paragraphe précédent montrent que l'on peut donner un sens au symbole

(x) dx,

lors même que dans l'intervalle (a„, a) la fonction cp {x) devient infinie aux environs d'un nombre limité de valeurs; cette intégrale est aloi's la limite d'une somme d'intégrales relatives à des intervalles partiels auxcjuels il faudrait, pour obtenir l'intervalle total (((„, a), adjoindre an nombre fini d'intervalles à étendue infiniment petite. Si cette limite existe, on dira encore que la fonction a; (x), quoiqu'elle ne soit pas finie dans l'intervalle (rr„, a), quoiqu'elle puisse ne pas être définie pour un certain nombre de valeurs, est intégral)le dans l'intervalle («„, a).

Cette notion d'intégrabilité peut encore s'étendre; le même procédé qui a permis de passer de la notion de l'intégrale d'une fonction finie dans l'intervalle {a^, a) à la notion de l'intégrale d'une fonction qui devient, dans cet intervalle, infinie aux environs d'un nombre limité de valeurs, permettrait de passer de cette dernière notion à la notion de l'intégrale d'une fonction qui devient infinie aux environs d'un nombre illimité de valeurs, en supposant que l'ensemble (§ 45) de ces valeurs admette un nombre fini de valeurs limites (§ 37). Cette généralisation donnerait lieu elle-même à une généralisation ultérieure; mais je ne m'étendrai pas davantage sur ce sujet.

Plusieurs des théorèmes démontrés pour les fonctions finies et intégrables dans un intervalle donné s'étendent d'eux-mêmes aux fonctions qui sont intégrables sans être finies; je me contenterai de faire remarquer que si les deux fonctions <p {x), ih (x) sont intégrables dans l'intervalle (a„, a) sans y être finies, on ne peut plus affirmer que leur produit soit intégrable, comme on le voit en prenant par exemple

164. Voici maintenant un autre problème analogue à celui qui a été traité dans le paragraphe précédent.

Soit ç (x) une fonction de a; définie pour toutes les valeurs de x supérieures à a et intégrable dans tout intervalle {a, q), où ^ désigne un nombre quelcoïKpic plus grand que a : lorsque ^ augmente

31i TIIKORIE DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE.

indéniiiiiieiil par dos valeurs positives, l'expression

© (x) dx

tend-elle vers une limite?

S'il en est ainsi, on représente cette limite par le symbole

ç (x) dx.

On remarquera d'abord que, lorsqu'on clierche à répondi'e à cette question, on peut remplacer la limite inférieure de l'intéijfrale par tel nombre que l'on voudra, plus grand que a; puis, que la proposiiion générale du paragraphe 78 fournit immédiatement la règle générale que voici :

Pour que l'expression

ç (x) dx

tende vers une limite lorsque ^ augmente indéfiniment par des valeurs positives, il faut et il suftit que, à chaque nombre positif a corresponde un autre nombre positif A, tel que les inégalités

; > A, ^' > A entraînent l'inégalité

0 (a:) dx <; a.

Supposons d'abord que, à partir d'une certaine valeur de x, la fonction ç (x) conserve le même signe. On pourra alors, sans nuire à la généralité, supposer que cette fonction soit positive pour les valeurs de x plus grandes que a; s'il en est ainsi, l'intégrale

o (x) dx,

où ^ est plus grand que «, augmentera avec ^; ou elle augmentera indéfiniment par des valeurs positives, ou elle tendra vers une limit/e ; pour reconnaître ce qui en est, on comparera l'intégrale proposée à une autre de même nature,

dx,

OÙ 6 (x) est aussi une fonction qui reste positive lorsque la valeur de X est supérieure à «; si l'on a, pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe,

et (jue la seconde intégrale tende vers une limite, il en sera de même de la proposée ; si, au contraire, on a

et que la seconde intégi-ale augmente indéfiniment avec ^, il en sera de même de la première.

Il sera souvent commode, pour faire la comparaison, d'étudier le rapport

si ce rapport reste compris, pour toutes les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe, entre deux nombres fixes positifs et non nuls a, ^, les deux intégrales auront le même caractère : toutes deux augmenteront indéfiniment avec leur limite supérieure ç, ou tendront vers une limite ; on sera certainement dans ce cas si, pour x= + ce , le précédent rapport a une limite différente de zéro. Le lecteur reconnaîtra sans peine que, s'il en est ainsi, et si les deux intégrales augmentent indéfiniment avec ^, leur rapport aura, pour; r=: + oc ,

une limite égale à celle du rapport , !•> pour x =: + oo . Si le

(ji [x)

même rapport, pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe, reste plus petit qu'un nombre fixe ^, ce qui arrivera certainement s'il a pour limite zéro, la première intégrale tendra vers une

o (x) limite si la seconde tend vers une limite. Si, enfin, le rapport ' ; ■

finit par rester plus grand qu'un nombre positif et non nul a, et si la seconde intégrale augmente indéfiniment, il en sera de même de la première.

On voit tout d'abord que l'intégrale

o (x) dx

augmentera indéfinimenl si, pour les valeurs de x supérieures à un

316 THÉOrUE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

nombre fixe, la fonction 9 (.r) reste plus grande qu'un nuuiljro (ixe P >- 0 : en effet, l'intégrale

p p. dx

augmente indéliniment avec ;; mais lors même que l'on aurait lim.5(a;) = 0,

on ne pourrait affirmer l'existence d'une limite pour l'intégrale proposée; par exemple, l'intégrale

n dx .,

croît indéfiniment avec H.

L'intégrale la plus simple qui puisse être prise pour terme de comparaison est la suivante :

n dx

où r est un nombre positif; elle est égale à

si r est différent de un, à log - si r est égal à un : elle tend vers une limite, ou augmente indéfiniment suivant que l'on a r <: 1 , ou r ^ 1 ;

on pourra donc appliquer les règles précédentes en comparant la

fonction ç (a;) à la fonction — •

Considérons par exemple l'intégrale

j. F(.c)''-"' où /" (.'').,<-'l 1' OOI^o'it deuxl})olyiiùmes entiers en x et n'admettant

CIIAT. VI. — DF^i INIKCRALES DKFINIES. 3J7

|K»iiit (le (livi.senr.s coiiniiuns; je supjxtserai, afin que la fonction

finisse par rester positive, que les coefficients des plus hautes puissances de X dans les deux polynômes soient de même signe ; pour que cette fonction soit intégrable dans un intervalle, il faut que le polynôme F (ce) n'admette pas de racine dans cet intervalle; pour que rintégrale proposée ait un sens quelque grand que soit le nombre positif H, il faut donc que le polynôme F (ce) n'ait pas de racine positive. Si le degré de f (x) était égal ou supérieur à celui de F (ce),

f(x) la fonction finirait par rester supérieure à un nombre positif

fixe et l'intégrale proposée augmenterait indéfiniment avec ç; si le

degré de f (ce) n'était inférieur que d'une unité à celui de F (,e), le

f (^) '1 rapport de ^, , . à - aurait, pour x inlini, une limite différente de \ {x) X ^

zéro et l'intégrale proposée deviendrait inlînie comme log ç; si enfin le degré de f (x) est inférieur à celui de F (x) de deux unités au

f f ■\ 1 moins, on voit en comparant la fonction à — ? que l'intégrale

proposée a une limite pour ; iniini. Eivrésumé, l'expression

aura un sens si le polynôme F (x) n'a pas de racine positive ou nulle et si le degré de f (x) est inférieur de deux unités au moins à celui de F (ce).

Soit encore l'expression

ou

u a est un noinbi'o positif quelconque; si l'on compare l'expres-

sion X

e '■ à ~j r étant un nombre (Quelconque plus grand que

318 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

un, on sait (§ 149) que l'on a

lim . = 0 ;

X = -hT. 1

par conséquent l'intégrale proposée tend vers une limite lorsque ^ augmente indéfiniment et l'expression

xP-i e— -«; dx

a un sens; il en est de même, en vertu du paragra])he 163, de l'expression

si p est un nombre positif; on démontre que cette intégrale, dite intégrale exdérienne do seconde espèce, est égale à V (p) (§ 125).

Lorsque la comparaison de la fonction o (x) à — ne réussit pas, ce

qui arrive quand le produit x" 9 (x) augmente indéfiniment avec x pour r ^ 1 et tend vers zéro pour r <c 1, on peut employer d'autres termes de comparaison (^), dont je vais dire quelques mots.

Si, en adoptant une notation déjà expliquée au paragraphe 68, on pose

log- X = log log X,

log' X = log log log X,

log'" X =: log log ... log X, on aura, à cause de l'identité

log'" X = log log"'~^ X, et de la règle de dérivation relative aux fonctions de fonction, D, (log'"-^:c) 1

D, (log™ x)

lQg.»i-i X j. jQg j, jpg.2 .,. log'"-' x'

(1) Abel, Œvtrcs., t^ cil., t. II, p. 200.

on en conclul, en désignant par a un nombre plus grand que un, dx

ri dx , ,„ ^

I ■ — = log™ i

J „ X lotr X log^ X ... log"'-' X

log'" a

lors donc que ; augmente indéfiniment, le premier membre augmentera aussi indéfiniment. Il en sera de même de l'inh-grale

I ' ç (x) dx

si, pour les valeurs de x supérieures à un nombre positif fixe, le rapport

? (■^) X log X log^ X ... log"'~^ X

reste supérieur à un nombre positif fixe. Au contraire l'identité

a ■'■ L(log'" xf\ ■'■ log .'■ log-2 X ... log"'-i X (log- a;)' + ^ où l'on suppose que a est un nombre positif, montre que l'on a

ri dx 1 r 1 1 '1

j„ X log ^ log^ X . . . log—' a- (log'»x)' + - ~â L(log'" a)- ~ (log- ^)-J' et cette égalité prouve que le second membre tend vers la limite 1 1

a(log"'«)=' lorsque ; augmente indéfiniment; l'expression

{x) dx

aura donc un sens si, pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe, le rapport

lO^O

X log X log- X ... log"'~^ X (log'" a*)'"^* peste inférieur à un cpitaiii n(uni)i'e positif fixe.

320 THKORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

L'analogie entre ces règles et celles qui regardent la détermination de la convergence ou de la divergence d'une série à termes positifs n'a pu manquer de frapper le lecteur. Le lien qui unit les deux questions est mis on pleine lumière par la remarque suivante, qui est due à Caucliy.

Soit 0 (.'■) une loiiction de x ipii, poui' toutes les valeurs de x supérieures à un certain nombi'e fixe a, soit positive et décroissante ou constante, en sorte que, pour toutes les valeurs de x, x' (|ui satisfont aux conditions

on ait la série

dont les termes finissent par être positifs sera, ou non, convergente suivant que l'intégrale

ç (,r) di

tend, ou non, vers une limite quand ; augmente indéfiniment par des valeurs positives.

Soient en effet p, fy des nombres entiers positifs plus grands que a et supposons q :> p; si l'on divise l'intervalle (/?, q) en q — p inlei^valles égaux à l'unité,

les limites supérieures de la fonction ç (x) dans ces intervalles seront respectivement

tandis que les limites inférieures seront

z(p + l), 9(iJ + 2), ..., o{q).

En se reportant au paragraphe 158 et en désignant en général par s„ la somme des n premiers tei'mes de la série proposée, en

sorte que l'on ait

on voit que l'on aura

(1) Sç — Sp-^ 9 (.») dac < s^i — s,,,.

Supposons que la série proposée soit convernenle, et soit S sa somme; si, p restant fixe, q augmente indéfiniment, l'intégrale

9 (ûc) dx

reste toujours inférieure à s,j i — Sp i et par suite à S — Sp i : donc puisqu'elle augmente avec q, elle tend vers une limite; il en est de même de l'intégrale

I 9 (x) dx

quand c, augmente indéfiniment par des valeurs positives.

Réciproquement, si cette dernière intégrale a une limite L, l'intt' grale

pi

G (x) dx

restera, lorsque q augmentera indéfiniment, inféi-ieure au nombre L— j o{x)dx;

il en sera de même, à cause de l'inégalité (1) de la quantité s^ — s^, ce qui suffit à prouver la convergence de la série proposée. On a dans tous les cas

(2) 0 <£' 9 {x) dx- (.5, - s,) < 9 (p) - 9 (g) ;

cette inégalité donne lieu, aux remarques suivantes :

Si la série est convergente, en sorte que l'on ait certainement

lim.9 (q) = 0,

Tanneuy. — Théorie. 21

322 THI^.ORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

on voit, en désignant par R^ le reste de la série limitée au p' terme s (p) et en faisant croître q indéfiniment, que l'on a

0<J^^ 9(a0dx-R^<v(p); ainsi, en prenant pour le reste R^ de la série la valeur ? {x) dx,

on commettra une erreur au plus égale au dernier terme conservé o (p).

Supposons maintenant que la série soit divergente, mais que s (,(■) n'augmente pas indéfiniment avec x; on déduit des inégalités (2) les suivantes :

(3) a^ iij) < 4> (g) < o {p) - V {q) + 4> ip),

en représentant en général par <!) (n) la quantité

■j (x) dx — s,„

où ?i est un nombre entier positif, plus grand que a. Ces inégalités montrent que la fonction <1j (n) augmente avec n et qu'elle n'augmente pas indéfiniment; elle tend donc, lorsque n augmente indéfiniment par des valeurs entières et positives, vers une limite. Par exemple, l'égalité

dx

= log x,

1 -t; jointe aux remarques précédentes, montre que la quantité

F (n) = 1 + - + - 4- ... -i log n

tend vers une limite lor.sque n augmente indéfiniment; les inégalités (1) montrent que log n est compris entre

et

la quantité F (n) est donc positive, plus petite que un, elle tend vers sa limite en décroissant. Cette limite est la constante d'Euler (§ 104). Enfin les propositions que l'on vient de démontrer montrent que la série dont on obtient les termes en faisant x = 2, 3, 4, ... dans l'expression

X log X loi^-^ X ... log""' X (log" xy-^^

est convergente si a est positif, divergente si y. est nul ou négatif (^^ G8j. Si, dans l'intégrale

la fonction 9 (x) ne garde point un signe constant pour les valeurs de X supérieures à un nombre fixe, les méthodes précédentes ne peuvent s'appliquer; c'est ce qui arrivera par exemple si l'on suppose

ç {x) r=z sin x} ou 9 (x) — cos x- ;

on montrera toutefois, dans le paragraphe suivant, que les intégrales

I sin x^ c/x, i J 0 J 0

ont un sens; ces intégrales jouent un rôle important en physique mathématique et dans la théorie des nombres.

Au lieu de supposer que, dans une intégrale, la limite supérieure augmente indéfiniment par des valeurs positives, on peut supposer que la limite inférieure augmente indéfiniment par des valeurs négatives; si la valeur de l'intégrale

r ii,^)àx

J -ri

tend vers une limite lorsque r, augmente indéfiniment par des valeurs positives, on représentera cette limite par le symbole

9 (x) dx.

Enfin si lorsque les nombres r, et ; augmentent indéfiniment par

des valeurs positives, indépendamment Tun de l'autre, l'expression

I o (x) dx

tend vers une limite, on représente cette limite par le symbole

I o (x) dx.

Pour que ce symbole ait un sens, il faut et il suffit que les deux symboles

I 9 (x) dXy I o (x) dx,

où a est un nombre quelconque, aient aussi une signification; la somme de leurs valeurs est alors é^rale à