I -, {x) dx
En appliquant les métbodes précédentes, on trouvera par exemple que l'expression
/ e-^' dx
a un sens. On démontre que cette quantité est égale à \/z. Il ne faudrait pas conclure de ce que l'expression
o (x) dx
tend vers une limite lorsque ; augmente indéfiniment pai' des valeurs positives, que le symbole
I 9 (x) dx
a un sens. On a par exemple, en désignant par ^, r, des nombres positifs,
T—r-. = log 1 / ^ + ^ .
Cotte quantité ne tend vers aucune limite lorsque ç, et r, augmentent
indéfiniment et indépendamment par des valeurs positives; elle est au contraire toujours nulle si l'on suppose •/; = ;.
165. Bien que je n'aie pas l'intention d'exposer les divers procédés qui servent à la détermination des intégrales définies ou indéfinies, j'établirai une proposition fondamentale sur laquelle reposent presque tous ces procédés.
Considérons l'intégrale
= i 9 (x) dx;
je suppose que dans l'intervalle (A„, A) la fonction 9 (x) soit continue et que les nombres «„, a appartiennent à cet intervalle. Soit maintenant f (y) une fonction de la variable y admettant, dans l'intervalle (^01 b) (0 "'^s dérivée continue f (7), telle que l'on ait
telle enfin que, pour toutes les valeurs de y appartenant à l'intervalle (60, 6), on ait
on aura, en désignant par -^ (y) la fonction de y que l'on obtient en remplaçant x par f (y) dans ç (x),
= f\iu)f' iy)dy.
Soit en effet, en désignant par y une valeur quelconque appartenant à l'intervalle (h^, b),
W{y) = Ç\{y)r {y)dy, J 60
la fonction U" (jy) admettra dans l'intervalle (b^, b) une dérivée W' (y) égale à '^ (y) f {y) puisque cette dernière fonction est continue (§ 157). Soit de même, en supposant que x appartienne ù l'intervalle («„, a),
<ï>(x)=| o{x)dx;
{') Ou (*, Sf) si l'on avail 5 < 5, : ceci sera sous-entendu dans ce qui suit.
326 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
kl fonction ^ (x) admettra, dans l'intervalle («<„ a), une dérivée par rapport à x égale à ç (x), à cause de la continuité de cette dernière fonclion. Si maintenant dans $ (œ), on remplace x par f {y), on obtiendra une fonction it\ {y) de la variable y définie dans cet intervalle et y admettant (§ 133) une dérivée égale à tj; (y) f (y); dans l'intervalle (&o, b), les deux fonctions W (y) et Wi (y) ont des déiivées égales, elles ne peuvent donc différer que par une constante, et cette constante est nulle puisque l'on a, pour // = h^,
W iK) = 0, 'i\ iK) = ^ (a„) = 0.
Les deux fondions W (y) et ^\ (//) sont donc égales pour toutes les valeurs de .'/ appartenant à l'intervalle (b^, b), en particulier pour y = 6 ; on a donc
W {h) = W, (h) =, tl> (a),
c'est ce qu'il fallait démontrer.
La démonstration suppose essentiellement que l'intervalle (&„, b) ne se réduit pas à zéro; elle repose en effet sur la considération des dérivées des fonctions W (^), H^\ (y) dans cet intervalle; le cas où l'on aurait b^^= b doit donc être formellement exclu, à moins que l'on n'ait aussi a^ = a, auquel cas les deux intégrales seraient nulles. Il convient de remarquer que, lorsque y varie de b^ à b, fonction f (y) qui peut d'ailleurs être tantôt croissante, tantôt décroissante, doit prendre, à cause de la continuité, toutes les valeurs qui appartiennent à l'intervalle (a^, a); il est aisé de voir comment, si elle en prend d'autres, sa variation en dehors de cet intervalle n'influe pas sur la valeui- finale de l'intégrale
J bo
'Hy)f' {y)dy
dont on pourrait alors resserrer les limites ; supposons, par exemple, que l'on ait b^ -<b et que la fonction f {tj) décroisse de a^ à a lorsque b augmente de b^ à 3, puis qu'elle croisse de a à a^ quand b augmente de [i à b^; on suppose d'ailleurs a ^ A^, afin d'être dans les conditions où la méthode est sûrement applicable; on aura alors,
en veiiii do ce qui vient d'être démontré,
/ à {y) f {y) dy = l 9 (x) dx,
j ° ^ (y) f (y) dy = \ ? (x) dx,
et par conséquent
r"'Hi/)r(y)^!/ = o, f\{y)r {y)dy = f" 'Hy)f' {y)dy.
La proposition resterait vraie si, pour un certain nombre limité de valeurs de y appartenant à l'intervalle (&(,, b), la dérivée f (y) cessait d'exister et devenait infinie aux environs de ces valeurs : il suffira, pour le prouver, de supposer que cette circonstance se présente pour la limite supérieure h, et seulement pour cette valeur; on aura alors, en désignant par b' un nombre quelconque compris entre h^ et h et par a' le nombre f{b'),
r ^{x)dx=f\{y)f' (y) du;
mais si on fait tendre h' vers h par des valeurs croissantes, a' tendra vers a, à cause de la continuité de la fonction f{y) et, par conséquent, le premier membre de l'égalité précédente aura pour limite
9 (as) dx:
le second membre tendra aussi vers cette limite; et la limite du second membre doit être, en vertu des conventions adoptées dans le paragraphe 162, représentée par
r ■> {y) r {y) dy,
quand même f (y) n'aurait pas de sens pour y =r=b.
Au lieu de prendre pour point de départ le théorème relatif aux dérivées des fonctions de fonction, on peut, pour justifier la règle qui fait Tobjet de ce paragraphe, partir de la définition même de l'inté-
328 TilliORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
;;Talo définie; on arrive ainsi à des conditions différentes, encore suffisantes pour l'application de cette règle et moins restrictives sous certains rapports. Je me contenterai de faire, dans ce sens, les remarques qui suivent.
Si la fonction 9 (x) est finie et intégrable dans l'intei'valle (a^, a); si la fonction f{y) est continue et croissante (i) dans l'intervalle {h^, h); si, dans ce même intervalle, elle admet une dérivée finie/"' {y); si l'on a
si enfin, la fonction <b (y) f (y), où à (y) désigne toujours ce que devient -. (x) quand on y remplace x par f{y), est intégrable dans l'intervalle (feo, b), on a
£ ', {x) cLc =£ à {y) r (y) dy:
en efiet, à chaque nombre positif e correspond un nombre positif r, tel que, sous les conditions
on ait
Ceci posé, soit (60, bj, ..., &„i, if?) un mode de décomposition de l'intervalle (6^, h) en intervalles partiels ayant tous une étendue moindre que r, ; si l'on pose
et, de plus, les intervalles partiels qui constituent le mode de décomposition («0, f/j, ..., «„i, a) de l'intervalle («(,, a) auront tous des étendues moindres que s.
Soient encore [i^, [ij, ..., '^,,-1 des nombres respectivement compris
(') Ou poucrail aussi bien la -upposer décroissante: il faudrait alors, dans ce qui suit, changer l'ordre des limites a», a ou ô„, ô; pour la commodité du langage, je supposerai ici do < a, ba < 5.
entre b^ et h^, h^ et b,, ..., fe„i et b tels que l'on ait (§ 136),
soient enfin
les nombres ao, «i, ..., a„i appartiendront respectivement aux intervalles (a,,, aj, (a^ a,), ..., (a„i, a) et les deux sommes égales
(«1 — ('o) V (y-o) + ••• + (« — ««-i) ? (a„i), (^ - ^^o) à (Po) r (i3o) +...+.(&- 6„-0 6 (ii„,) f (^„-0, seront des valeurs approchées des intégrales
r o{x)dx, f\{y)f' {U)dy;
il faut donc que ces intégrales soient égales, car on peut supposer e et r, assez petits pour que les différences respectives entre les intégrales définies et les sommes précédentes soient inférieures à tel nombre qu'on voudra.
Il faut remarquer que la continuité des fonctions o (.x), f (j/) n'est pas supposée.
Le même mode de raisonnement montré que, si ^) et q sont des nombres fixes, la substitution x = j^y -h q est toujours légitime, en sorte qu'on peut assurément écrire
/'ph + g /» 6
^^{x)dx=j 'P<^{py -h q)dy, pbo + q tJ ho
pourvu qu'on sache que l'un des membres de cette égalité a un sens.
Voici maintenant quelques exemples. Soit l'intégrale
dx
(x — ay + b*
330 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
on posera
X = a -h by;
P — Cl
aux valeurs p et ^ de la variable x correspondront les valeurs - — ^ — - : — - — - de la variable y, et l'on aura
r^ dx 1 r^ dy
J^ (jc — ay + 6* ~" hj^__a 1 + y'
ir ,$ — a p — a~\
le symbole arc tg désigne toujours, suivant nos conventions, un
nombre compris entre — ^ et + ;^ : si l'on suppose que ^ augmente
indéfiniment par des valeurs positives et p par des valeurs négatives, la quantité entre crochets tendra vers t: si h est positif, vers — 7; si h est négatif, en sorte que l'on aura
dx
en choisissant le signe de manière que le résultat soit positif. Soit encore l'intégrale
dx
a sin' x -h b cos' x
où a et b sont des nombres positifs; on est amené naturellement, afin de rendre rationnelle la quantité à intégrer, à Mre la substitution
.7; = arc tg y;
la fonction arc tg y, toujoui^s comprise entre — ^ ^t + '^■> est continue et admet, dans tout intervalle, une dérivée par rapport à y, à
savoir ^- Si ^ est compris entre — 0 et + -5 la fonction arc tg y
prendra les valeurs zéro et | pour y z=: {) el y = Ig ç, en sorte que
CHAr. VI. — DES INTÉGRALES DÉFINIES. 331
l'on aura
ri dx r'^^ ^y
J 0 a sin' X + b cos^ x J o «î/^ + ^' le second membre, comme on le voit en posant
est égal à
mais il en est tout autrement si ^ n'est pas compris entre — ^ et + - :
il ne peut y avoir de valeur r^ attribuée à >j telle que l'on ait
^ = arc tg •/;,
en sorte que la méthode n'est pas applicable. On poui-rait, à la vérité, penser que l'impossibilité tient à la restriction imposée à la fonc-
tion arc tg ;/ d'être comprise entre — ô ®^ + ô' '^^''"'^ ^' ^^'®" ^^^ rien ; en efîet, toute fonction f {y), continue dans un intervalle donné, qui mise à la place de x dans l'équation
y = tg X,
vérifie cette équation pour toutes les valeurs de y qui appartiennent à l'intervalle considéré, est de la forme nx + arc tg y, n étant un nombre entier arbitraire, mais fixe, et arc tg y étant compris entre
— - et + ^-; pour que cette foiiction puisse être substituée à x dans
l'intégrale, il faut qu'il existe deux nombres &o, h tels que l'on ait
UTi + arc tg Iq = 0, nr. ■+- arc tg b = ;, d'où
6, z=0, h = tgc;
l'égalité bQ = 0 entraîne n = 0, et l'égalité arc tg & = ^ est impossible lorsque ; n'est pas compj'is entre — ^ *^t + ^"
332 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
Il n'en est pas moins facile de calculer, quel que soit ;, la valeur de l'intég-rale
/'; dx
0 a sin* X +
h cos- X Supposons en effet ç compris entre ^ et ::; l'intégrale cherchée est
égale à
rî dx n
j 0 a sin* X -+- h cos* x J H a sin-
la première partie est la limite de
X + 0 cos X
dx 1
= arc ts
iVi-)
J 0 Cl sin' X + b cos- x y ^^ ^ lorsque x tend vers ^^ par des valeurs croissantes, c'est à dire qu'elle est égale à — ^; la seconde partie, si l'on y fait la substitution
X = ^ + s, devient
en remarquant que tg ; est un nombre négatif, on voit (§ 98) que l'on a
arc t
Ml. 4
=r - + arc U
on a donc dans ce cas
/ ' — r-; ^^T T- = — ^ H = arc tg ( l/ r t^ - );
Jo a sm- X + h cos- x ^/^^ ^^j, \\ h J
lorsque z est un peu plus grand que ^ ? la valeur de arc tg( 1/ 7-*?^ )
est voisine de — ;r et la valeur de l'intégrale est voisine de j
résultat conforme à ce qui précède; pour ^ = tc, on a
r" ax T. ^
J 0 't sin^ X -+- b cos^ x \/^'
si ^ était compris entre x e' '2x, on partirait de l'identité
n dx p dx
J 0 a sin^ x -+- b cos^ x J o ci sin^ x + b cos" x
7t a sin' X
la première partie du second membre est égale à '' ; le calcul de
Krtfo la seconde partie, par la substitution x ^= r. + z, se ramènerait au calcul de l'intét-rale
J » « sni-
b cos^
que l'on sait eflectuer; enfin si ^ était négatif, on n'aurait qu'à faire la substitution ^ = — z.
Considérons encore, en supposant
(1) y = x" + 2px + q,
l'intégrale
9 {y) dx;
je suppose que o (if) soit une fonction continue de la variable y dans l'intervalle (p, [i') ou ([i', ^), en posant, pour abréger,
(i =z 7.- -h 2pa + r/, [î' — a"^ + 2py.' + c^.
Si l'on veut substituer dans cette intégrale, à la place de a-, une ionction de y qui vérifie l'équation (1), il faut d'abord définir cette fonction; on tire de l'équatitm (1)
334 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
si, dans le second membre, on rétablit x- + 'ipx -i- q à la place de y, il devient
— p± \/{x + py.
Le radical, auquel je supposerai qu'on donne toujours le sens arithmétique, est égal à ±.-{x -H p), en choisissant le signe qui donne un résultat positif; d'un autre côté, si l'on veut que le second nKMnbre se réduise à x, il est nécessaire de prendre le signe +.
Ceci posé, il convient de distinguer plusieurs cas; supposons d'abord que l'on ait
pour les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a, a'), x" + p est négatif; si l'on pose
(2) X = —p- Vp- — q-\- il,
le second membre se réduira donc effectivement à x quand on y remplacera y par x' + ^pcc + g, en supposant que x appartienne à l'intervalle (a, a'); en particulier, il se réduira à a pour // = (i, à a' pour y = ^J ; la forme même de l'équation (2) montie que x va en diminuant quand y augmente; on a donc p' <; ^j et lorsque y diminue de ^ à ^', aj augmente de a à a'; on a d'ailleurs
dx — 1
cl y 2 Vp"" --q + y
toutes les conditions requises pour appliquer la méthode sont vérifiées et l'on a
/•='' , , 1 rp' o (y) d
I o{x'-h2px + q)dx=-- ■ "^^^
(y)dv .
la même conclusion subsisterait si l'on avait
Au contraire si les deux nombres a, a' étaient plus grands que — p, l'intégrale proposée serait égale à
? (2/) ày
Vf- — q + y
CHAP. VI. — DES IXTÉflRALES DÉFINIES. 335
Mais les choses se passeraient d'une façon toute difiërente, si l'on avait
remarquons d'abord que pour ./; =: — jj on a y posé, .si l'on fait
Vi^ - q
le second membre se réduit bien à x quand -on y remplace // par à'- + pj- + '/ et que X appartient à l'intervalle (a, — p); le second membre, ici encore, décroit quand y croît; puisqu'il est égal à x pour y := g, il faut que l'on ait
et que, lorsque y diminue de ^ à q — p-, x augmente de a à — p mais il faut prendre
X = — jj + yp- — q + y
pour que le second membre se réduise à x quand on y remplace y par ./•- -+- 2px -+- q et que x appartient à l'intervalle ( — p, a'); pui.sque le second membre croît avec ^, on a ^' >» g — jj^ et lorsque y croît de q — p- à ^' , ac croît de p à a' . Pour obtenir toutes les valeurs de x comprises entre a et a', il faut donc employer deux substitutions différentes et faire varier y de ^ kq — p* et de g — p^ à ^'. La discussion détaillée qui précède montre bien comment on devra s'y prendre ; on partira de l'identité
r o (y) dx = r" . (?/) dx + r . cv) dx-
J X J CL J — i>
on transformera la première intégrale du second membre par la substitution
./• — — p — Vp- — q h y, la deuxième par la substitution
x = —p + Vp-" — q + y:
336 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.
on aura ainsi
Vp
et par conséquent
-^ {.(■} + 2px + q) dx
^ 1 r? oiy)dy ^ 1 p^' o{y)dy
On sera certainement dans le cas qui vient d'être examiné si y., x sont les racines du trinôme x^ -i- ^px + q, puisque les racines comprennent certainement entre elles leur demi-somme — /) ; on aura alors
,3 = Ti' =0, g — ^3* < 0 et
r o (il) dy
, {X^- + %px + q)dx= - • -^^ ^ •
Les exemples qui précèdent avaient pour but de montrer les principales précautions à prendre dans l'application de la méthode de substitution; j'ajouterai la remarque suivante, qui fera voir, en particulier, comment les problèmes traités dans les paragraphes 16'2 et 164 n'en font qu'un seul, au moins dans le cas on l'on a affaire à des fonctions continues.
Étant donnés les quatre nombres a, a^, h, h^, si l'on considère la fonction
où A, y., a', ;j.' sont des nombres arbitraires, tels cependant que
ne soit pas compris entre h^ et b, on sait que lorsque y varie de b^ à b,
X varie, toujours dans le même sens, de
A^o -f- \j. , Ab + [J.
CIIAP. VI. — T)ES INTEGRALES DEFINIES. .j.i/
on pourra disposer des constantes X, \}. de façon que ces quantités se réduisent à a^^^a; si donc y (ce) est une fonction continue dans l'intervalle («0, ff), on pourra remplacer l'intégrale
par une autre intégrale dont les limites seront b„ et b; on peut de la même façon, si l'intégrale proposée a une limite inférieure finie u^ et une limite supérieure infinie, la ramener à une intégrale dont les deux limites soient finies. Considérons, par exemple, l'intégrale
'î o (x) dx
où a„ et ^ sont positifs, où ç devra grandir indéfiniment, et où o {x) est une fonction continue de x dans l'intervalle («g, S) quelque grand que soit ^; on aura, en faisant la substitution
et en posant
lorsque ç augmente indéfiniment par des valeurs positives, T^ tend vers h par des valeurs croissantes; si dans ces conditions le second membre a une limite, l'intégi-ale
/ ? {x) dx
aura un sens; c'est ce qui aura lieu en particulier si la fonction
tend vers une limite; si cette fonction devient infinie aux environs de y = 6, on pourra appliquer les règles du paragraphe 162. Inversement on peut ramenei- l'étude du cas où l'on a à faire tendre la Tannery. — Théorie. 22
338 riii';(ii;iF. dks fonctions u'rNj-; v.vKiAr.i.i;.
limite supérieure d'une intégrale vers un certain nombre, à l'étude du cas où la limite supérieure augmente indéfiniment; les critériums logarithmiques, dont l'emploi n'a été expliqué que dans le second cas, pourront ainsi être utilisés dans le premier.
Il ne me reste plus, avant d'abandonner ce sujet, qu'à traiter un exemple annoncé au paragraphe précédent.
Soit
= i ' sin X- d:
il s'agit (\o montrer que, lorsque le nombre positif ç augmente indéfiniment, l;i (jii;uitité J tend vers une limite. La fonction sin .<;*
reste positive quand x varie de V'^lnr. à vi^ln -h 1)-, négative
quand x vaiie de Vi^n + l)z à K(2n + 2)-::; on peut donc poser
.T = I/o — u^ -f- u, — ... ± Uj,^ u',., en l'aisant
u..„ z=j sin ./■' dx,
u.,,n., = — I sin X- dx;
l'indice p est égal à la partie entière de — ; le dernier terme rp h',, est égal à
I sin .ir d.r.
Kii laisiiiil (liins les deux termes îf,„, n-,„ + i les substitutions respectives
.r = l/2??z + y. X = 1/(2 H -t- 1) - + vy,
tldiivc s.ilis |iciiif'
l r,' sin // dij
1 r>' sin y dy ^
2jo K(2n + 1) :: -+- y
CIIAI'. VI. — l>i:s INTKCRALKS DÉFINIES. o'.l'i)
en posant
ini voit de suite rjiK» l'on a
Les deux quantités u^^, Uo^+i sont positives el l;i secoiuie est plus petite que la première; en efïet on a
rp sin // du r?' sin y dy rii sin //
J^ 1/2 nx + y *^ « K2n- + y J i^' [/Ïiit^
dy
le second terme du second membre est positif; d'ailleurs on a rp' sin y dy TP' sin y dy
-'» V^nr. + y Jo 1/(2 n + I) x + // ' puisque l'on a, pour les valeurs de .;/ comprises entre 0 et tt, sin y sin y
]/2n% + y [/{2n + 1)7:"^^^/ ' on voit de la même laçon que l'on a
u-.„^i <: ((•.,«4.,., ("le.
Les termes u^,,, ti,.,,.*-! tendent vers zéi'o quand n aui^menle indéfiniment; dans l'intervalle (0, [i), en eflet, on a
sin ;/ 1
[/2nr. + y y2nr.
et par suile
Mo» <
enfin on voit de môme que le dernier lei'me u], est plus petit que a^ et par conséquent décroit indéfiniment ([uand ;, et par suite p, augmentent indédniment. Dans ces condilions J a pniir limite la soinuK} de l;i séiic convergenle (§ G9)
;}'(() TIIKORIE DES FONCTIONS n'CNK VA RIA l!l.E.
On déuiuiitie d'ailleurs que l'on a
I sin x^ dx =: l cos x' dx = ^ 1/ - •
166. Soif l'(x, y) une fonction des deux variables x, ]j définie et Unie [)our l'ensemble des valeurs qui satisfont aux conditions
(1) a.^x^a, h.^ii^b,
«^, a, bg, b étant des nombres donnés. Si, lorsque l'on attribue à (/ une valeur fixe appartenant à l'intervalle (t^, b), la fonction f{x, y), regardée comme une fonction de x, est intégrable dans l'intervalle («„, a), et cela, quelle que soit la valeur choisie pour y, l'intégrale
f{x,y)dx
déliniia, dans Tinlervalle (6^, b), une fonction de y : désignons cette fonction par -v (y) ; on peut se demander si elle est continue et si elle admet une dérivée dans l'intervalle (b^, b).
Soient y', y' deux valeurs appartenant à cet intervalle, on aura
(2) 9 (>/) - s (//') = [^" \f(x, y") - f {x, y')] dx.
Regardons pour un nionient ;/' comme donné; si à chaque nombre positif; correspond un nombre positif r, tel que, pour toutes les valeurs de X, y" qui vérilient les inégalités
on ail
(4) I fÇr^ >.n — f('^^ y') 1 <^.
la fonction -j {y) sera continue pour y = y'; on aura en effet, pour toutes les valeurs de y" qui vérilient les inégalités (3),
I ? 0/") — ? (.'/') I ^e(« — aj,
le nombre arbitraire s pouvant être remplacé par - — - — •> la fonction est continue pour y = y' (^ 76).
Si à cluiqiie )ioi(i])re positif e correspond un nombre positif -q tel que l'inéiralité (4) soit vérifiée pour toutes les valeurs de x, ij\ y", ({iii vérifient les inégalités
«0 ^ X- ^ «, ho ^ ;/' ^ &, \^ il" ^ h,
la fonction o (y) sera (§ 75) continue dans l'intervalle (fa„, 6). 11 en sera ainsi certainement si la fonction des deux variables x, y est continue dans le champ (E) défini par les inégalités (1), c'est à dire si (§ 139) à chaque nombre positif a correspond un nomlire positif ^j tel (}ue l'on ait
\fU,fi)-fÇ/,y' I ^y.
sous les conditions
rtg ^ X ^ a, Uq ^ x' ^ «,
Si, en particulier, la fonction f{x, y) admet une dérivée f'y (x, y) par rapport à y, pour chaque système de valeurs x, y appartenant au champ (E), et si cette dérivée reste toujours inférieure à un certain nombre positif M, on aura, quelles que soient les valeur.^ .r, y\ y" appartenant au champ (E),
|/'(,r,/)-/XA//')|<M| //"-//' I;
dans ce cas la continuité de la fonction » (y) est manifeste.
Cette continuité étant supposée, ainsi que l'existence de la déri^ée f'y {x, y), on a, en supposant toujours que (/', y" appartiennent à l'intervalle (6^, h),
Ilegardons dans celte égalité //' comme tixp et faisons tendre f/" vers y' , \â quantité
où la seule vaiiablc est y", tendra vers la limite f'y {x, y'), en dési-
•inniil par ce symbole ce que devient fi, {x, y) quand on y remplace y \ydi //'; ou ne peut en conclure que le second membre ait pour limite
I fù (^*% !/') d.
ni même que ce symbole ait un sens; mais cette conclusion deviendra légitime, si la fonction de x, fy i^''-, >./)■> est intégrable dans Tintervalle («5, a) et si, en outre, à chaque nombre positif e correspond un nombre r, tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle («(,, «),
SOUS les seules conditions
Dans ce cas, en effet, la valeur absolue de la quantité r {y") — 9 iu')
-j fùÇ^,U')dx, ou
sera pour toutes les valeurs de y* qui vérifient les inégalités (7) plus petite que {a — «^t.
On sera certainement dans ce cas si la fonction fy {x, y) est continue dans le cliamp (E); on a, en effet (§ 136),
en désignant par y'" un nombre compris entre y' et y' \ l'inégalité (6) équivaut donc à la suivante :
I /".' (p,y"') — fl {^, !/') I <^;
si à chaque nombre positif i coi'iespond un nombie positif r/ tel que
CIIAI". VI. — DES i^'TÉC.UALE^< DÉFÎMES. 343
celle iiiéi^alité .soil vériliée .sous les seules cmiditioiis tto ^ X ^ o, ^0 — y" < ''^
et c'est ce qui aui\i certainement lieu quand la l'onction /', (x, y) des deux variables x, y sera continue dans le champ (E), il est clair que l'on poiH-ra satisfaire aux inégalités (6) .sous les conditions (7) et que l'emploi de la formule
'' = / D,[f(;r,l/)jc/.r
\iX Çj-{x,u)d.^=r v>„
sera légitime pour toutes les valeurs (!<> // (pii appartiennent à l'inlervalle (/>„, //).
