Reprenons la formule, établie au paragraphe

f {X + h) = f (x) + ^ f Çr) H- j^ r (,v) + ...

9 est un nombre compris entre zéro et un, n et p sont des nombres entiers positifs. Cette formule sera légitime si la fonction /"(x), dans un intervalle auquel appartiennent les nombres x, x + h, est continue, admet des dérivées continues jusqu'à l'ordre n — i, et une dérivée îi'^™*" qui soit finie.

Supposons que ces conditions soient vérifiées quelque grand que soit n, et que, en outre, pour les valeurs considérées de x et /(, le teime complémentaire

ait pour limite zéro quand n augmente indéfiniment; alors la série indéfinie

sera convergente et aura pour somme / (x + /t), puisque la somme de ses n premiers termes diffère de f{x + /;) d'une quantité qui a |ioni' limite zéro (juand n augmente indéfiniment; on pourra donc

GHAP. Vil. — SlJl? QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉIUE. 345

écrire alors

C'est l;i formule qui s'est présentée, d'un autre point de vue, au paragraphe 112 : elle permetti'a de développer la fonction f{x-\- h) suivant les puissances entières et positives de /i, si les conditions pour qu'elle soit applicable sont réalisées; à la vérité, il est souvent difficile de reconnaître qu'il en est ainsi lorsqu'on part d'une fonction donnée f{x); l'expression générale de la dérivée n'*""" de cette fonction peut être fort compliquée, et il devient alors fort malaisé de reconnaître si le terme complémentaire tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.

Quand on a affaire à une fonction f (x) dont on sait que f {x + h) est développable en une série qui procède suivant les puissances entières et positives de h et pour laquelle on sait effectuer le développement, la formule (2) permet, en s'appuyant sur ce que ce développement ne peut s'effectuer que d'une seule façon (§ 109), de trouver la forme de la n'^""' dérivée f-"^ (x) de f{x); je me contenterai de citer les exemples suivants.

Soit

on reconnaîtra de suite, en se reportant aux paragraphes 111 et 112, que l'expression

est développable en une série procédant suivant les puissances entières et positives de /i, le second facteur du second membre est égal à

on obtiendra le coefiicient de /<" en développant les tenues de cette série par la formule du binôme et réunissant ensemble les termes en /«."; les seuls ternies qui fourniront des termes en h" sont ceux

•34() THÉORIE DES FONCTIONS L»'UNE VAFîIAIîLE.

pour lesquels on a

effectuant ce développement, et égalant à f'"'^ (j-) le coefficient de h" multiplié par 1.2 ... n e-""', on trouvera pour la valeur de D^"' c~'\

{-l)"e-^-^(2xy'

la quantité entre crochets e.st un polynôme de degré /* dont le dernier

ferme s obtiendra en faisant ^ = — - — ou t = -y suivant que /; sera

impair ou pair.

Soit encore

on montre par induction que /■'" (.'■) est de la forme P.,

P„ étant un polynôme entier en x du degré n ; d'ailleurs / (.c + h) est développable en série procédant suivant les puissances entières

de /(, sous les conditions

on a alors

l + (x + ]t)- l+x-^(l+:c=)n {l-hx^Y-^n.2...n

en multipliant les deux nombres par 1 + v"- + '■l.cli + h- et égalant à zéro le coefficient de /*" dans le second membre, on trouve la relation

P,. + 2nx P„„, + n (n — 1.) (1 + x-) P„., = 0:

cette relation jointe à celles-ci,