CHAP. VII. — SUI'. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

permettra, puisqu'elle doit être vérifiée identiquement, quel que soitx, de calculer .successivement P,, P3, ..., P„; d'autres méthodes fournissent l'expression générale des polynômes P„, à savoir

mais la relation précédemment obtenue met en évidence la propriété qu'ont les polynômes P„ de former une suite de Sturm.

168. La formule (1) du paragraphe précédent, lorsqu'on y remplace X par zéro et h par x prend la forme suivante :

f{x) = f{o) + fr{o)-i-^r{o)^...

Elle suppose que la n'^""" dérivée /'<^"' {x) de la fonction /' (ce) existe et est finie dans l'intervalle (0, x) ou {x, 0). On lui donne habituellement le nom de formule de Maclaurin. Elle donne lieu aux mêmes observations que la formule dite de Taylor, d'où elle a été déduite. Si elle est applicable quelque grand que soit n et si le terme complémentaire

lend vers zéro quand n augmente indéfiniment, la série indéfinie

fm + 1 rc) + ^f (0) + ... + ,,^'X-i) ^""" ^"^ "^ -

sera convergente et aura pour somme f{x); si l'on arrive à reconnaître que ces conditions sont réalisées, on pourra donc développer la fonction f{x) suivant les puissances entières et positives de x par la formule

348 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

Tel sera le cas si l'expression f'-'"^ (ce), pour les valeurs de la variable comprises entre zéro et a, reste, quel que soit l'entier positif n, inférieure en valeur absolue à un certain nombre positif M; la formule sera alors applicable pour les valeurs de x comprises eiiti'e zéro et «; en effet, on voit, en supposant p = n, et en désipiant par A la valeur absolue de a, que le terme complémentaire est, en valeur alisolue, inférieur à

or cette expression tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, puisque la série dont le (a -f Iji^^n.e terme est

est convergente, quel que soit A.

Cette circonstance se présente pour les fonctions e"", sin x, cos x : l'application de la formule ("2) à ces fonctions fournira des résultats obtenus antérieurement, à savoir les séries mêmes qui ont servi de définition à ces fonctions.

La formule s'applique encore sans difficulté aux fonctions (1 4- as)"', log (1 4- ce) ; on a ainsi un nouveau moyen d'étaljlir les développements en série, obtenus dans les paragraphes 102, 403; pour que cette nouvelle démonstration ne constitue pas un cercle vicieux, il faut, bien entendu, supposer qu'on soit parvenu aux dérivées de ces fonctions sans se servir de leurs développements en série.

Quoi qu'il en soit, si l'on fait d'abord

/■(,-) = (l + uO"', on aura

et le terme complémentaire de la formule (4), en y faisant successivement j3 z= n, p = 1, prendra les deux formes

X" (l + bxf

\i + ex/

cnAP. VU. — sui; QUKij^r.ri ukvklopi'EMENts f.n séi'vIE. 1)40

La première forme «.onvieiit quand x est positif, la seconde quand

X est négatif. Soient en effet M un noml)re positif égal ou supérieur à

la valeur absolue de m, et a un nombre positif plus petit que un,

La série dont le terme général est

M (M + 1) ... (M + n— 1) „ ' " "~ ïT2T..~n — 1 ^

est convergente (§ 66) : A„ tend donc vers zéro quand n augmente iDdéfiniment; d'ailleurs si x est positif, (1 + 6^)'"~" est plus petit que un dès que l'on a n >- m; le terme complémentaire, pris sous

la première forme, est donc, .si l'on suppose x <: a, inférieur à — '; il

a pour limite zéro quand n augmente indéfiniment. Si x est négatif,

la quantité

\1 -+- 6rr/

est plus petite que un, et le terme complémentaire, pris sous la seconde forme, et si l'on suppose — a; <: o, est, en valeur absolue,

moindre que

A„ (1 + ay'~\

il a encore zéro pour limite quand n augmente indéfiniment; si donc on suppose x inférieur en valeur absolue à a, ou, ce qui revient au même, à un, la formule ('2) est applicable à la fonction (1 + x)'" et l'on peut écrire, en remplaçant /"(O), f (0), /"" (0) ... par 1, ni, m {ni — 1), ...,

(1 -H .,,)•- = 1 + ^ ^ ^. St2~"" • ^" ■■•

Les raisonnements qui précèdent s'appliquent à la fonction log(i + a:) ; le terme complémentaire se déduit en effet de celui qu'on vient d'étudier en remp'.içant m par — 1, et v par n — 1; on aura donc, pourvu que x soit inférieur à un en valeur absolue,

,.,,aH-.,.^ = ^--|-H'^-...

('onsidérons encore la fonction

y = arc tg x ;

;);")() TIIKOKIK DF.S KONCTIONS l('r.NK VAlîlAiM.I..

on a donné plus haut l'expression de la dérivée /i'"-™'^ de -^ c'est

X i -h cc^

à dire de la dérivée {n + 1)'*™'^ de arc tgar; on en tirera immédiatement les valeurs des dérivées successives pour r = 0 et l'expression du terme complémentaire; mais on obtiendra une expression de ce terme qui se prête mieux au calcul, en partant d'une autre forme de la dérivée n'^"^^ de arc tg x; en désignant par y' , y\ ..., ;/"", ... les dérivées successives de cette fonction; on a tout d'abord

//' z= cos^ //;

en prenant les dérivées des deux membres pai" rapjiort à .,\ on a ensuite

II" = — 2 cos )/ sin ij y' = — sin 2// cos" vy, puis

y'" = — 2 cos y (cos 2y cos y — sin 2 y sin y) y' =: — 2 cos 3 y cos' y,

de même

//"■ = 2.3 sin 4?/ cos'' //;

ces formules peuvent s'écrire

//' :zz sin (v + ^j COS .V,

y" rrr sin 2 (y ■+- ^) cos- //,

y'" = 2 sin ^yiJ + ^] fos' */,

yi^rr:2.3sin4h/ + ^jtOS'v/;

elles conduisent à poser

yw = 1 .2 ... (n — 1) sin n (y + f j cos" //,

formule que l'on vérifie immédiatement en en déduisant

,,^(«+u __ 1^2 ... n sin (n + 1)(// + ^ J cos"^' //.

On observera d'abord que, pour .c =: U, // est nul et que, par conséquent, la dérivée •n'^'"^ se réduit à