Cn — 1) sin n

ciiAP. vi[. — sni Qi:Ki,(,>ri;s r)i':vKiX)i'i'KMEN'is kn skiuk. i?."")! (inaiitité qui est nulle si n est pair, égale à

si n est impair.

Quant au terme complémentaire, si l'on fait p =r 1 dans l'expression générale, on obtient pour sa valeur

cos y

en désignant par $ = 0.i' une valeur comprise entre zéro et x. Soit a un nombre positif plus petit que un, on voit que si la valeur absolue de X est moindre que a, la valeur absolue du terme complémentaire

sera moindre que — ; par conséquent, si x est en valeur absolue

moindre que a, ou, ce qui revient au même, moindre que un, la formule (2) sera applicable à la fonction arc tg x, et, si l'on tient compte des valeurs que prennent, pour x = 0, les dérivées successives de cette fonction, on pourra écrire

.y. ,-j.3 j.li -p'J «4-1

arct,.,- = --- + -g + ...+(-irg^^^H-...;

le second membre est une série convergente poiu* x = ± 1 ; c'est donc (§ 107) une fonction continue dans l'intervalle ( — i, + 1); il en est de même de arc tg x, en sort^ que l'égalité précédente subsiste pour X = ± i : on a donc l'égalité suivante, due à Leibniz.

La série

ne peut d'aillcni's être convergente poui' des valeurs de ,c plus grandes que un en valeur ;djsolue, puisqu'elle n'e.st pas ab.«;olument convergente pour X = 1 : ce n'est donc cei'tainement que pour les valeurs de r([ui apparliennenl à rinlervalle ( — I, -H 1) que le développemeni

:&2 , ïiIKOP.IR DF.S FONCTIONS D'CNF VARlAlil.K.

de arc Ig x est valable. L'expression donnée plus liaul pour y se

prêterait mal au calcul des valeurs approchées de ce nombre, à cause du peu de convergence de la série ; mais on peut déduire du développement de arc ty x des séries très convergentes qui permettront de calculer t: avec telle approximation que l'on voudra; je mécontenterai de citer l'identité, bien facile à vérifier,

qui, lorsqu'on remplace arc tg - et arc tg — par leurs développements en série, fournit, pour le calcul de y une série très convergente.

On a, pour prouver la légitimité de la formule (2) appliquée à la fonction arc tg x, utilisé une forme spéciale de la dérivée n'^"'" de cette fonction ; on pourrait encore, au moyen d'artifices particuliers (•), prouver qu'elle est applicable à la fonction arc sin x ; mais le développement de cette fonction, comme d'ailleurs ceux de arc tg x et de log (1 + X'), s'obtiendra bien plus facilement en suivant une méthode qui sera exposée dans le paragraphe 170.

169. A la formule de Taylor se rattache une formule importante, dite habituellement formule sommatoire de Maclaurin, bien qu'elle soit due à Euler, qui en a d'ailleurs tiré grand parti (-).

Soit f (x) une fonction dont je. supposerai qu'elle admette, dans un intervalle auquel appartiennent les valeurs a;, x + h de la variable, des dérivées finies et continues f (x), f (x), ... d'un ordre au moins

(1) \o\r le Recueil compJrmentaire d'exercices sur le calcul infinitésimal, de M. Tisserand, p. 45.

(2) Instituiîones calculi differentialis, cliap. V. L'altriLuliou de ceUe formule à Euler est due à M. Euestroai; vuir dans le t. V des Acta Mathematica, p. 2, la réimpression du mémoire de M. Malmsten : Sur la formule

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Ce mémoire a paru pour la première fois dans le Journal de Crelle, l. XXXV (1847). L'analysa qu'où trouvera dans le texte ue diffère de relie de M. Malmsten que par des simplifications de forme. On trouvera dans le mémoire plusieurs fois cité de M. Darboux sur les développements en série des fonctions dîme variable une autre dcraonstralion de la formule d'Euler déduite d'une formule citée au ])ara2raphc 158.