CHAP. YII. — SUR QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIE

égal à l'ordre de celles qui figureront dans les Ibrinules qui vont suivre; posons pour abréger

on pourra écrire

\h''-'l p" - •> (.t) = Y f^P^ {x) + /t^'+ 'pp- >

en posant, suivant qu'on adopte une forme ou l'autre du terme complémentaire du reste île la formule de Taylor,

" 1,2 ... (p — i + l) ou

dans ces formules i doit prendre les valeurs 0, d, 2, ..., 2^ — 1 ; dans la première 'Ei désigne un nombre dont on sait seulement qu'il est compris entre a; et ic + h. Il est clair que, entre les équations (1), on peut éliminer les quantités

h^rix), h^rix),..., h^^r^^ix);

il suffit pour cela de les ajouter membre à membre après les avoir multipliées par des nombres A^, Aj, ..., A^i qui vérifient les équations

/ A^rrrl,

(2) ^ Al ^ .^L + 'h ^ 0,

Tan.neuy. — Th(Ofie.

o5-4 THliOlUIi DKS FONCTIONS o'uNt; VAlUABLi:.

Ces équations per-metlrout de (léleiiuiiiei- successivement les coefficients Ao, A,, A^,, ... et donneiuiil

Alin de les résoudre en général, on !einai<{uera d'abnid que si l'on remplace jj par un nombre plus ^rand, les j^ premières équations restent toujours les mêmes. Imaginons qu'à la suite des équations (1) on ait écrit les équations qu'on déduirait de la dernière en remplaçant p par p ■+ ■], p + 2, ...; multiplions toutes ces équations par z, z-, ..., z^', ... et ajoutons en réunissant les termes placés sur une même verticale; cette opération serait légitime si l'on était assuré de la convergence absolue de lu série à double entrée dont le terme général est

Ay = 0,1,2, ...,p \ \p=l,2,S,...,œ)