p-q) quoi qu'il en soit, on trouve ainsi

{e' — 1) (Ao + Al" + A,c^ + ... + ApZ" + ...) = z; d'où (3) — ^j =A, + A^; + A,i'- + ... + A,:" + ...;

en sorle qu'on est amené à penser que les nombres cherchés A^, A^, A,, ..., A„ no sont aulres que les p -h i premiers coefficients du développement de la fonction

suivant les puissances entières et positives de z, développement dont on a établi la légitimité au paragraphe 117; on s'assure qu'il en est bien ainsi en constatant que, si l'on l'egarde pour un moment, dans l'équation (3), les quantités A^, A^, A^, ... comme des coefficients indéterminés, si l'on multiplie le second membre de cette équation par

(;iiAP. vu. — sui; quelques develui'I'Kmk.xis k.\ skiue. ,),jo ol si, eiiliii, ou écrit que le pioduil est iileutiquemeut éyal à z, ou retrouve les équaiious (2), pour délerminer les coellicieuts A; on a d'ailleurs (§ 117), pour \ z \ <: 2-,

en désignanl par P.j, I!^,, ..., B„, ... les noinlti'cs de Bornnulli; ii laul dune que Ton ait

■ A. = l, A, = --^ A,= ii, A. = 0

^" = -<-""nâè2Tï' A=,,., = 0. .:«=I,2,3,...).

Si donc, dans les équations (1), on suppose p =: '•In et (ju'on les ajoute après les avoir respectivement multipliées par A^, Aj, A,, ..., As,,-!, on aura

hf (,r) = ^f{x) - ~ If (X) + ^ Af (x)

C'est, abstraction faite du reste Ro,,^, et de quelques changements , dans les notations, la formule d'Eulei'.

— ^ — — - est vme fonction linéaire, à coefficients numériques, des

quantités p^, p^, ..., p-.n-2- Si Ton adopte, pour ces diverses quantités, la forme où figure une intégrale définie, on poui'i-a écrire

356 THKORIE DES rONf/nONS D'fXE VARIABLE.

en posant

Dan? cette formule, en avant des vioml)res de Bernoulli tiiiurent les coefficients binomiaux, pris de deux eu deux, et relatifs à la puissance 'in'^""". Avant de transfoiiner l'expression de ll,„ + i, je ferai de la formule (-4) une application qui nous conduira à des résultats importants en eux-mêmes et indispensables pour cette transfoumation.

Si l'on suppose que, dans la formule (i), /(-c) soit un polynôme de degré inférieur à 2n + 1, le reste disparaîtra de lui-même; par exemple, en faisant

f(œ) = ix-ry'-^\ h = h on aura

' („ + i)(^i)«^^«..(,^iy.^.^i[,."u i)"]

Le dernier terme contient [x — {x — 1)] si n est pair et [a:- — {x — 1)-] si n est impair. Si l'on désigne par p un nombre entier positif, que l'on remplace dans l'équation (6) x successivement par i, % ..., p et que l'on ajoute, on aura, après avoir divisé par >i -F 1,

Le second membre de celte formule, quand on y replace l'indé-