CIIAP. VII. — SUR QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
terminée x au lieu de l'entier p, est ce .que l'on appelle un polynôme de Bernoidli, je le désignerai dans ce qui suit par cp„(a;); si l'on tient compte de la remarque précédemment faite à propos du dernier terme de la formule (B), on voit qu'il convient d'écrire
( ly B. (^^^+ l)2n...(2n-2i + 2) ^.,,,^j ^ ___
Les formules (6) et (8) mettent en évidence les relations suivantes :
En changeant dans la première de ces équations n en 2n, x en 1 — -1- et ajoutant, membre à membre, à la seconde équation, on trouve
(10) '.,„{x)+ ■,,„{l—x) = 0; on obtient de même
Ces relations montrent que 5,,, (x) est une fonction imiiaire de
358 thkouip: des fonctions d'une variable.
X — -1 et par conséquent s'annule pour .r =z - ; au contraire Ç2„i (x)
est une fonction paire de x — -•
Les formules (8) montrent que tous les polynômes ç„ (x) sont nuls pour X = 0; la première des formules (9) montre ensuite qu'ils sont tous nuls pour x = i.
Enfin, si dans les équations (8) on prend les dérivées des deux membres, on trouve de suite les relations
.,.. i ?^n (x) =2hv.«-i(x)-(-1)"B„,
l .i,^,(xj=(2n + 1) .,„(.(■),
qui vont permettre d'établir la proposition suivante :
Le polynôme o,,, (x), nul pour x =z 0, x z= --, x = 1, garde le
même signe pour les valeurs de x comprises entre zéro et -•> cbange
<le signe pour .<■ = -■> et garde un signe constant pour les valeurs
do X comprises enli'e ^^ et nu. Le polynôme :^-,„ + i (.c), nul pourx- = 0
et X = 1, garde un signe constant pour les valeurs de x comprises entre ces deux nombres.
Ce théorème se vérifie sans peine pour les petites valeurs de n; admettons qu'il soit vrai pour les polynômes Ç2„i (x), ç,,, (x), et démontrons c{u'il subsiste pour les polynômes so^ + i (x), Y2»+i (•'')•
Si le polynôme v2»4-i (-'') s'annulait pour une valeur a de ,'■, autre
que zéro et un, apparlenant à l'un des inicrvalles (0, J^ ( -' 11- au
premier par exonq)le, sa dérivée -Jjn+i (•'•) s'annulerait pour un nombre compris entre zéro et a, distinct de ces limites; il en serait de même, en vertu de la deuxième égalité (M) du polynôme s,,, (x), ce qui est contraire à l'hypothèse; il résidie de la même égaillé que la fonction o^n+i {x) varie toujours dans le même sens quand x croit
de 0 à -5 et dans un sens contraire quand x croît de - à un : la
fonction
{'2n -h 2) Vi,.4-i (x) -+- (— ly B„4.,
CIIAP. VU. — SUR QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. ooO
peut donc s'annuler seulement une fois dans l'intervalle yK ,^] et seulement une fois dans l'intervalle (o' i); i' ^n est de même de la
fonction oo„+2 C'O q'^ii lui est égale, en vertu de la première égalité (11). Or si la fonction 02,,+, (*") s'annulait pour une valeur [3
de .1^ autre que zéro, -? un, comprise par exemple entre zéro et -5
la dérivée y^,; 4- s devrait s'annuler pour un nombre compris entre zéro
et (3, et pour un nombre compris entre ^ et -? ce qu'on vient de
démontrer être impossible. Il résulte de ce qui précède que, dans
l'intervalle (0, 1), la fonction -^on+i (•«) passe, pour ^c= -^ par un
maximum ou un minimum et que, dans l'intervalle (0, i), il n'y a pas d'autre valeur de la variable qui lui fasse acquérir soit un maxinmm, soit un minimum.
La valeur de ce maximum ou de ce minimum se trouve facilement en partant de ce tiiit que l'on obtient le- polynôme o„ {x) en multipliant pai- l.'J.o ... n le coefficient de z" dans le développement en série, suivant les puissances entières et positives de z, de la fonction (i)
Celte proposition se vérifie immédiatement : la formule (B) fournit les développements en série des fonctions
en mullipliant la première série par
(1) La plupart des propriélés des polyuùnies de Deruoulli peuvciU .se dcduire de là. Voir sur ce sujet le Traité de calcul différentiel de M. Bertrand (p. 352) ; j'ai emprunté au uiènie ouvrage la dêmonstraliou de l'e.'iiileiiiîe du maximum ou du miaiiuum pour
360 rriKORiK des fonctions d'^ne vaiuahle.
et relranclianl du ivsullal la i^econde série, on ol)tieni le développement cherché {}',.
Il suit de là que o.,„i (- j s'obtiendra en multipliant par l/i ...
(2 H — '1) le coefficient de c" dans le développement de
le second mem))re se développe de suite en série au moyen de la formule (B) et l'on trouve
Enfin la première éi^alité (11) conduit à la suivante :
V2„ (1) — r2u (0) = 2?? r .,„, (.r) d.r — (— 1)» B„, d'où (13) .,„^,(j:)dx=^^-^^ B,,
Nous sommes maintenant en mesure de transformer l'expression du terme complémentaire.
En comparant les équations (5) et (8), on voit que l'on a
le second membre, en vertu de la j)reniière éi^alité (iO), est égal à 2ny2„i (t); finalement on a
(1) N(]tons en passant que, en supposant a; entier positif, la fonction coasiiléréc peut être remplacée par
et que lo cootru'ient de z" dans le développement de cette expression est manifestement
CIIAP. VII. — SUR QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉJUE. oGi
La fonction v2«-i (0 i^e changeant pas de signe dans l'intervallr (0, 1), on perd appliquer à l'intégrale définie le prender théorème de la moyenne et, si l'on tient compte de l'équation (13), éci-ire
en désignant par 6 un nombre compris entre zéro et un.
Si dans l'intervalle (0, 1) la fonction de t, f'"^^ {x + ht), ne changeait pas de signe, on pourrait appliquer d'une autre façon le
même théorème de la moyenne et, en s'appuyant sur ce que -jo»-! (^)
est un maximum ou un minimum de la fonction «5/2 «-i (0 dai^^ l'intervalle (0, i), écrire
(16) H.,., = «L^-^-^^/,'"Ar»(.),
en désignant par 0 un nombre appartenant à l'intervalle (0, 1). Les formules (15) et (16) sont dues à M. Malmsten. Lorsque R2„ + i diminue indéfiniment quand n augmente indéfiniment, l'équation (4) peut être remplacée par une autre équation, dans le second membre de laquelle figure une série indéfinie. La convergence de cette séi'ie n'a lieu que dans des cas très particuliers (*); mais la formule (4) n'en a pas moins une grande importance; on a vu plus haut comment elle fournissait immédiatement la somme des puissances n'^"'^' des 2^ pi'eniiers nombres entiers; elle conduit de la même façon à une expression de la somme
qui jxini'ia servir à révalnati(5n appi'ochée de cette sounue, si pour des valeurs ciinvenahh's de n le reste complémentaire se trouve être sufllsaniiiient petit. Je me contenterai de citer dans cet ordre d'idées rapplicati()n de la fornirde d'Euler aux hypothèses suivantes :
1, /■' (,r) = log r (.r),
A/-(,r) = f{.r +!)-/■ (,€) = l log (2::) + x log x - x,
'') Voir le inémoiro de M. Onrhuiix : Sio" quelques développement!' en série.
362 THÉORIE DES FONXTIONS d'uNE VARIABLE.
en renvoyant le lecteur, pour le détail des calculs, au mémoire déjà cité de M. Malmsten. On parvient ainsi à la formule de Stirling, savoir :
log- r {X + ^) = l 1-'^- (2::) + (■'• -f ^) loy .c - x
Bj 1 B, 1 B3 1
