TT2 ,^ ~ 3T

où 0 est compi-is entre zéro et un. Cette formule, qui est léiiitiine, pourvu ({uc .'• soit positif, fournit des valeuis très approchées de I' (x + 1), ou si X est entier, du produit l.'J ... x, lorsque x est très jirand.

La formule d'Euler, léiièrement niodifiée, permet aussi de calculer approximativement une intéLiraie délinie.

Soit en effet F (,c) une fonction continue et admettant <\q> dérivées dans l'intervalle («, 6), et soit, en désiirnant par jj un nombre entier

h — a positif et en posant li = ■>

S,, = h [F (a) + F (« + /*)+...+ F (a + (p — 1) h)]; si, dans la formule (4), on remplace f (x) par F (.r), A/fr) par

pr + A

I F {x) dx et que Ton ajoute membre à meml)re toutes les

.y .1; équations qu'on déduit de l'équation ainsi obtenue en y remplaçaid

successivement x par a, o + /;, a + '■Ih, ..., a -\- ( p — l)/(, on

trouve

S,=jy{x)dx-'^[¥{h)-Y{a)]

+ ... ^ (- rr ,i::;^:;i,.>iF-"--w)-F--"- v^)]

Quant au terme complémentaire, si l'on se reporte à la formule (15), (') L'expression, du reste, est due à Ciiuchy.

f:)IAr. VH. — SUR QUKLQTKS DÉVKLOPPEMK.NTS F.N SÉRIE. 363

on voit qu'on pourra, en désignant par M2,, un nombre positif égal ou supérieur aux valeurs absolues de F'-"- (.x) dans l'intervalle (a, b), et par 0' un nombre appartenant à l'intervalle ( — 1, + 1), l'écrire sous la forme

Si la formule (16) est applicable, on pourra écrire

Ces formules résolvent entièrement le problème posé.