Soit

une série procédant suivant les puissances entières ci posilives de x : î/j, ttg, ..., t(„, ... sont des constantes. Supposons (jue cette série soit convergente sous la condition

s'il en est ainsi, la série est absolument convergenle pour lontos les valeurs de .x qui véi'ilient cette inégalité (§106'); elle peut d'ailleurs être convergente, absolument ou non, pour x =: ± a. On a montré (§ 11 '2} que la série

(3) /" (.'■) = «1 + 2u^x + ... -t- nu„at"-^ + ...

était aussi absolument convergente pour toutes les valeuis de x qui vérilient l'inégalité (2) et qu'elle représentait la dérivée de la fonction f{x) dans l'intervalle ( — a, x), en désignant par y. un nombre positif quelconque plus petit que a ; la série

,^.2 ..li+i

est aussi absolument convoi'gente pour toutes les valeurs de .c qui vérifient l'inégalité (2); en effet les termes sont, en valeur absolue, plus petits que les termes correspondants de la série (\) : (loue, eu

364 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

vertu même du théorème que l'on'vient de rappeler, la dérivée de la fonction F (.<■), dans l'intervalle ( — a, + a) est égale à f(x); il en

est de même de la fonction / f (./■} dx (§ 157) qui, ainsi, ne peut

(liflerer de F (.r) que d'une constante; cette constante est nulle puisque, pour X = 0, les deux fonctions se réduisent à zéro; pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle ( — a, a), ou, ce qui revient au même, pour toutes les valeurs de x qui vérifient l'inégalité (2), on a donc

Tv J /-(.c) dx = u, - -t- U, ~ + ... + H,. — ^ + ... (ij.

(Je théorème, appliqué aux séries

\/l-^,:^- ' ■ 2^'^ ^ 2.4^ " ■•• ' 2.4 ...2n al'solument convergentes tant (|ue l'on a

montre que, pour les valeurs de x qui satisfont à cette inégalité, l'on a

log(l -h.r;= __+...+( 1 )" + ..

X x^ ar' ^ ^ a;-""'"'

arc tg .r r= ~ - - + ^ ... + ( ly

.r l.c^ 1.3.r^^ 1.3...(2n— 1) jS"' + ^

arcsmx- = -4--3+-^^... + -~— ^^^-^^...

Ces égalités subsistent, la première pour .c = 1, les deux autres pour X z=z ±. \.

(1) Il résultera du paragraphe suivant que si la série (1) est convergente pour x = a, il eu est de luème de la série (4), cela résulte aussi du théorème II du paragraphe 71 : l'ég.dité (5) subsiste alors pour a?=: fl.

ClIAP. VII. — SUIl QUELQUF.S DÉVELOl'i'EMKNTS EN SÉHIE. ',M)b

La proposition qu'on vient de démontrer n'est qu'un cas particulier du théorème fondamental qui fera l'objet du paragraphe suivant.